2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試試卷（數(shù)學(xué)）

數(shù)學(xué)2008春—第10頁(yè)（共1頁(yè)）2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考座位號(hào)、校驗(yàn)碼等填寫(xiě)清楚.得分評(píng)卷人得分評(píng)卷人一.填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分.1．已知集合或，，則.2．計(jì)算：.3．函數(shù)的定義域是.4．方程在區(qū)間內(nèi)的解是.5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，.若成等比數(shù)列，則.6．化簡(jiǎn)：.7．已知是雙曲線右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若，則.8．已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開(kāi)圖如右圖所示，則該凸多面體的體積.9．已知無(wú)窮數(shù)列前項(xiàng)和，則數(shù)列的各項(xiàng)和為.10．古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件出現(xiàn)的概率是（結(jié)果用數(shù)值表示）.11．已知；（是正整數(shù)），令，，.某人用右圖分析得到恒等式：，則.12．已知，直線：和.設(shè)是上與兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)，則△的面積是.得分評(píng)得分評(píng)卷人四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，否則一律得零分.13．已知向量，若，則等于[答]()（A）.（B）.（C）.（D）.14．已知橢圓，長(zhǎng)軸在軸上.若焦距為，則等于[答]（）（A）.（B）.（C）.（D）.15．已知函數(shù)定義在上，，則“均為奇函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的[答]()（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.16．已知，且為虛數(shù)單位，則的最小值是[答]()（A）.（B）.（C）.（D）.三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟.得分評(píng)卷得分評(píng)卷人已知，求的值.[解]得分評(píng)卷人得分評(píng)卷人在平面直角坐標(biāo)系中，分別為直線與軸的交點(diǎn)，為的中點(diǎn).若拋物線過(guò)點(diǎn)，求焦點(diǎn)到直線的距離.[解]得分評(píng)卷人19.(本題滿分14分)得分評(píng)卷人第2小題滿分8分.已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.[證明]（1）[解]（2）得分評(píng)卷人20.(本題滿分14分)得分評(píng)卷人第2小題滿分8分.某廠根據(jù)市場(chǎng)需求開(kāi)發(fā)折疊式小凳（如圖所示）.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.（1）若凳面是邊長(zhǎng)為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到）；（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長(zhǎng)為，節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為.確定三根細(xì)鋼管的長(zhǎng)度（精確到）.[解]（1）（2）得分評(píng)卷人21.(本題滿分16分)本題共有得分評(píng)卷人第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)，簡(jiǎn)記為.若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱(chēng)為點(diǎn)列.（1）判斷，是否為點(diǎn)列，并說(shuō)明理由；（2）若為點(diǎn)列，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方.任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷△的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；（3）若為點(diǎn)列，正整數(shù)滿足，求證：.[解]（1）（2）[證明]（3）得分評(píng)卷人22.(本題滿分18分)本題共有3得分評(píng)卷人第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知是實(shí)系數(shù)方程的虛根，記它在直角坐標(biāo)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.（1）若在直線上，求證：在圓：上；（2）給定圓：（，），則存在唯一的線段滿足：①若在圓上，則在線段上；②若是線段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則在圓上.寫(xiě)出線段的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；（3）由（2）知線段與圓之間確定了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究，填寫(xiě)表一（表中是（1）中圓的對(duì)應(yīng)線段）.[證明]（1）[解]（2）（3）表一線段與線段的關(guān)系的取值或表達(dá)式所在直線平行于所在直線所在直線平分線段線段與線段長(zhǎng)度相等2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明1.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.2.評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱.當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.3.第17題至第22題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).4.給分或扣分均以1分為單位.答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.1..2..3..4..5..6..7.5.8..9..10..11..12..二．（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.題號(hào)13141516代號(hào)CDAB三．（第17至22題）17.[解]原式……2分.……5分又，，……9分.……12分18.[解]由已知可得，……3分解得拋物線方程為.……6分于是焦點(diǎn).……9分點(diǎn)到直線的距離為.……12分19.[證明]（1）任取，則，，，，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.……6分[解]（2），……9分[解法一]，……11分當(dāng)時(shí)，，的取值范圍是.……14分[解法二]解方程，得，……11分，解得.的取值范圍是.……14分20.[解]（1）設(shè)△的重心為，連結(jié).由題意可得，.設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為.已知凳子高度為.則.……3分節(jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.就是與平面所成的角，亦即.，解得，.……6分即節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為.（2）設(shè)，.設(shè)△的重心為，則，……10分由節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為，可知.設(shè)過(guò)點(diǎn)的細(xì)鋼管分別為，則，，對(duì)應(yīng)于三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長(zhǎng)度分別為，和.……14分21.[解]（1），，顯然有，是點(diǎn)列.……3分（2）在△中，，.……5分點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，，為點(diǎn)列，，，則.為鈍角，△為鈍角三角形.……8分（3）[證明]，.①.②同理.③……12分由于為點(diǎn)列，于是，④由①、②、③、④可推得，……15分，即.……16分22.[證明]（1）由題意可得，解方程，得，……2分點(diǎn)或，將點(diǎn)代入圓的方程，等號(hào)成立，在圓：上.……4分（2）[解法一]當(dāng)，即時(shí)，解得，點(diǎn)或，由題意可得，整理后得，……6分，，.線段為：，.若是線段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則實(shí)系數(shù)方程為.此時(shí)，且點(diǎn)、在圓上.