2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試試卷（數(shù)學(xué)）

數(shù)學(xué)2008春—第10頁（共1頁）2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考座位號、校驗碼等填寫清楚.得分評卷人得分評卷人一.填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律得零分.1．已知集合或，，則.2．計算：.3．函數(shù)的定義域是.4．方程在區(qū)間內(nèi)的解是.5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，.若成等比數(shù)列，則.6．化簡：.7．已知是雙曲線右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點.若，則.8．已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如右圖所示，則該凸多面體的體積.9．已知無窮數(shù)列前項和，則數(shù)列的各項和為.10．古代“五行”學(xué)說認為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件出現(xiàn)的概率是（結(jié)果用數(shù)值表示）.11．已知；（是正整數(shù)），令，，.某人用右圖分析得到恒等式：，則.12．已知，直線：和.設(shè)是上與兩點距離平方和最小的點，則△的面積是.得分評得分評卷人四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，否則一律得零分.13．已知向量，若，則等于[答]()（A）.（B）.（C）.（D）.14．已知橢圓，長軸在軸上.若焦距為，則等于[答]（）（A）.（B）.（C）.（D）.15．已知函數(shù)定義在上，，則“均為奇函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的[答]()（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.16．已知，且為虛數(shù)單位，則的最小值是[答]()（A）.（B）.（C）.（D）.三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.得分評卷得分評卷人已知，求的值.[解]得分評卷人得分評卷人在平面直角坐標系中，分別為直線與軸的交點，為的中點.若拋物線過點，求焦點到直線的距離.[解]得分評卷人19.(本題滿分14分)得分評卷人第2小題滿分8分.已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.[證明]（1）[解]（2）得分評卷人20.(本題滿分14分)得分評卷人第2小題滿分8分.某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳（如圖所示）.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為，②三根細鋼管相交處的節(jié)點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.（1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節(jié)點分細鋼管上下兩段的比值（精確到）；（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節(jié)點分細鋼管上下兩段之比為.確定三根細鋼管的長度（精確到）.[解]（1）（2）得分評卷人21.(本題滿分16分)本題共有得分評卷人第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.在直角坐標平面上的一列點，簡記為.若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點列.（1）判斷，是否為點列，并說明理由；（2）若為點列，且點在點的右上方.任取其中連續(xù)三點，判斷△的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；（3）若為點列，正整數(shù)滿足，求證：.[解]（1）（2）[證明]（3）得分評卷人22.(本題滿分18分)本題共有3得分評卷人第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知是實系數(shù)方程的虛根，記它在直角坐標平面上的對應(yīng)點為.（1）若在直線上，求證：在圓：上；（2）給定圓：（，），則存在唯一的線段滿足：①若在圓上，則在線段上；②若是線段上一點（非端點），則在圓上.寫出線段的表達式，并說明理由；（3）由（2）知線段與圓之間確定了一種對應(yīng)關(guān)系，通過這種對應(yīng)關(guān)系的研究，填寫表一（表中是（1）中圓的對應(yīng)線段）.[證明]（1）[解]（2）（3）表一線段與線段的關(guān)系的取值或表達式所在直線平行于所在直線所在直線平分線段線段與線段長度相等2008年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標準說明1.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.2.評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱.當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分數(shù)之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.3.第17題至第22題中右端所注的分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分數(shù).4.給分或扣分均以1分為單位.答案及評分標準一．（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.1..2..3..4..5..6..7.5.8..9..10..11..12..二．（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.題號13141516代號CDAB三．（第17至22題）17.[解]原式……2分.……5分又，，……9分.……12分18.[解]由已知可得，……3分解得拋物線方程為.……6分于是焦點.……9分點到直線的距離為.……12分19.[證明]（1）任取，則，，，，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.……6分[解]（2），……9分[解法一]，……11分當時，，的取值范圍是.……14分[解法二]解方程，得，……11分，解得.的取值范圍是.……14分20.[解]（1）設(shè)△的重心為，連結(jié).由題意可得，.設(shè)細鋼管上下兩段之比為.已知凳子高度為.則.……3分節(jié)點與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.就是與平面所成的角，亦即.，解得，.……6分即節(jié)點分細鋼管上下兩段的比值約為.（2）設(shè)，.設(shè)△的重心為，則，……10分由節(jié)點分細鋼管上下兩段之比為，可知.設(shè)過點的細鋼管分別為，則，，對應(yīng)于三點的三根細鋼管長度分別為，和.……14分21.[解]（1），，顯然有，是點列.……3分（2）在△中，，.……5分點在點的右上方，，為點列，，，則.為鈍角，△為鈍角三角形.……8分（3）[證明]，.①.②同理.③……12分由于為點列，于是，④由①、②、③、④可推得，……15分，即.……16分22.[證明]（1）由題意可得，解方程，得，……2分點或，將點代入圓的方程，等號成立，在圓：上.……4分（2）[解法一]當，即時，解得，點或，由題意可得，整理后得，……6分，，.線段為：，.若是線段上一點（非端點），則實系數(shù)方程為.此時，且點、在圓上.