北師大版九年級數(shù)學下冊教案

北師大版九年級數(shù)學下冊教案1．1銳角三角函數(shù)第1課時正切與坡度優(yōu)秀領先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．理解正切的意義，并能舉例說明；(重點)2．能夠根據(jù)正切的概念進行簡單的計算；(重點)3．能運用正切、坡度解決問題．(難點)一、情境導入觀察與思考：某體育館為了方便不同需求的觀眾，設計了不同坡度的臺階．問題1：圖①中的臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？問題2：如何描述圖②中臺階的傾斜程度？除了用∠A的大小來描述，還可以用什么方法？方法一：通過測量BC與AC的長度算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度；方法二：在臺階斜坡上另找一點B1，測出B1C1與AC1的長度，算出它們的比，也能說明臺階的傾斜程度．你覺得上面的方法正確嗎？二、合作探究探究點一：正切【類型一】根據(jù)正切的概念求正切值分別求出圖中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出結論：直角三角形的兩個銳角的正切值互為________．解析：根據(jù)勾股定理求出需要的邊長，然后利用正切的定義解答即可．解：如圖①，tan∠A＝eq\f(16,12)＝eq\f(4,3)，tan∠B＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)；如圖②，BC＝eq\r(732－552)＝48，tan∠A＝eq\f(48,55)，tan∠B＝eq\f(55,48).因而直角三角形的兩個銳角的正切值互為倒數(shù)．方法總結：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出對應三角函數(shù)值即可．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第1題【類型二】在網(wǎng)格中求正切值已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E都在小正方形的頂點上，求tan∠ADC的值．解析：先證明△ACD≌△BCE，再根據(jù)tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根據(jù)題意可得AC＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).方法總結：三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個角的三角函數(shù)值的問題轉化為另一個與其相等的角的三角函數(shù)值．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題【類型三】構造直角三角形求三角函數(shù)值如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D為AC的中點，求tan∠ABD的值．解析：設AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理可求得AB＝2eq\r(2)a，再根據(jù)等腰直角三角形的性質，可得DE與AE的長，根據(jù)線段的和差，可得BE的長，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可得答案．解：如圖，過D作DE⊥AB于E.設AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理得AB＝2eq\r(2)a.由D為AC中點，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝eq\f(\r(2)a,2).∴BE＝AB－AE＝eq\f(3\r(2)a,2)，tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3).方法總結：求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答，當所求的角不在直角三角形內(nèi)時，可作輔助線構造直角三角形進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題探究點二：坡度【類型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的橫斷面如圖．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長是13米，那么斜坡AB的坡度是()A．1∶3B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2解析：由勾股定理得AC＝12米．則斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故選C.方法總結：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1∶m的形式．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型二】利用坡度解決實際問題已知一水壩的橫斷面是梯形ABCD，下底BC長14m，斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，另一腰CD與下底的夾角為45°，且長為4eq\r(6)m，求它的上底的長(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．解析：過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，根據(jù)已知條件求出AE＝DF的值，再根據(jù)坡度求出BE，最后根據(jù)EF＝BC－BE－FC求出AD.解：過點A作AE⊥BC，過點D作DF⊥BC，垂足分別為E、F.∵CD與BC的夾角為45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4eq\r(6)m，∴DF＝CF＝eq\f(4\r(6),\r(2))＝4eq\r(3)(m)，∴AE＝DF＝4eq\r(3)m.∵斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4eq\r(3)＝10－4eq\r(3)(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4eq\r(3)≈3.1(m)．所以，它的上底的長約為3.1m.方法總結：考查對坡度的理解及梯形的性質的掌握情況．解決問題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題三、板書設計正切與坡度1．正切的概念在直角三角形ABC中，tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊).2．坡度的概念坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值．在教學中，要注重對學生進行數(shù)學學習方法的指導．在數(shù)學學習中，有一些學生往往不注重基本概念、基礎知識，認為只要會做題就可以了，結果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強的題目．通過引導學生進行知識梳理，教會學生如何進行知識的歸納、總結，進一步幫助學生理解和掌握基本概念、基礎知識1.1銳角三角函數(shù)第1課時正切與坡度教學目標:1、理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正切值。2、了解計算一個銳角的正切值的方法。教學重點：理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正切值。教學難點：計算一個銳角的正切值的方法。教學過程：一、觀察回答：如圖某體育館，為了方便不同需求的觀眾設計了多種形式的臺階。下列圖中的兩個臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？圖（1）圖（2）[點撥]可將這兩個臺階抽象地看成兩個三角形答：圖的臺階更陡，理由二、探索活動1、思考與探索一：除了用臺階的傾斜角度大小外，還可以如何描述臺階的傾斜程度呢？可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。（思考：BC與AC長度的比與臺階的傾斜程度有何關系？）答：_________________.討論：你還可以用其它什么方法？能說出你的理由嗎？答：________________________.2、思考與探索二：ACAC1C2AC3B1B2B3我們可以作出無數(shù)個相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……根據(jù)相似三角形的性質，A對邊bC對邊aA對邊bC對邊aB斜邊c（2）由上可知：如果直角三角形的一個銳角的大小已確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也_________。3、正切的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分別是∠A的對邊和鄰邊。我們將∠A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A_______，記作______。即：tanA＝________＝__________（你能寫出∠B的正切表達式嗎？）試試看.4、牛刀小試BCBCA1BABAC35A2C1B（通過上述計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？___________________.）5、思考與探索三：怎樣計算任意一個銳角的正切值呢？（1）例如，根據(jù)書本P39圖7—5，我們可以這樣來確定tan65°的近似值：當一個點從點O出發(fā)沿著65°線移動到點P時，這個點向右水平方向前進了1個單位，那么在垂直方向上升了約2.14個單位。于是可知，tan65°的近似值為2.14。（2）請用同樣的方法，寫出下表中各角正切的近似值。θ10°20°30°45°55°65°tanθ2.14（3）利用計算器我們可以更快、更精確地求得各個銳角的正切值。（4）思考：當銳角α越來越大時，α的正切值有什么變化？ABAABACBADCBAECBA1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，則tanA＝________，tanB＝______。2、如圖，在正方形ABCD中，點E為AD的中點,連結EB，設∠EBA＝α，則tanα＝_________。四、請你說說本節(jié)課有哪些收獲？五、作業(yè)p40習題7.11、21.2m2.5m1.2m2.5m1m(單位：米)1、如圖是一個梯形大壩的橫斷面，根據(jù)圖中的尺寸，請你通過計算判斷左右兩個坡的傾斜程度更大一些？2、在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），試求tanB的值。1.1銳角三角函數(shù)第2課時正弦與余弦優(yōu)秀領先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．理解正弦與余弦的概念；(重點)2．能用正弦、余弦的知識，根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點)一、情境導入如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？根據(jù)相似三角形的性質可知，當直角三角形的一個銳角的大小確定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．二、合作探究探究點：正弦和余弦【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.解析：利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義計算即可．解：由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).方法總結：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題【類型二】已知一個三角函數(shù)值求另一個三角函數(shù)值如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求sinB的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角函數(shù)的定義解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,\r(41))＝eq\f(4\r(41),41).方法總結：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關系，結合勾股定理是解答此類問題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題【類型三】比較三角函數(shù)的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小關系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故選D.方法總結：當角度在0°<∠A<90°間變化時，0<sinA<1，1>cosA>0.當角度在45°＜∠A＜90°間變化時，tanA＞1.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第10題【類型四】與三角函數(shù)有關的探究性問題在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊(除端點外)上的一點，設∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα與sinβ的大小關系；(2)試證明你的結論．解析：(1)因為在△ABD中，∠ADC為△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sinα，sinβ的關系式即可得出結論．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝eq\f(AC,AD)，sinβ＝eq\f(AC,AB).∵AD＜AB，∴eq\f(AC,AD)＞eq\f(AC,AB)，即sinα＞sinβ.方法總結：利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進行比較是解題的關鍵．【類型五】三角函數(shù)的綜合應用如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求證：AC＝BD；(2)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝36，求AD的長．解析：(1)根據(jù)高的定義得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分別利用正切和余弦的定義得到tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，再利用tanB＝cos∠DAC得到eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13)，可設AD＝12k，AC＝13k，再根據(jù)勾股定理計算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.(1)證明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC).∵tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD；(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).設AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題三、板書設計正弦與余弦1．正弦的定義2．余弦的定義3．利用正、余弦解決問題本節(jié)課的教學設計以直角三角形為主線，力求體現(xiàn)生活化課堂的理念，讓學生在經(jīng)歷“問題情境——形成概念——應用拓展——反思提高”的基本過程中，體驗知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生感受探究的樂趣，使學生在學中思，在思中學．在教學過程中，重視過程，深化理解，通過學生的主動探究來體現(xiàn)他們的主體地位，教師是通過對學生參與學習的啟發(fā)、調(diào)整、激勵來體現(xiàn)自己的引導作用，對學生的主體意識和合作交流的能力起著積極作用.1.1銳角三角函數(shù)第2課時正弦與余弦［教學目標］理解并掌握正弦、余弦的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。2、能用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切。［教學重點與難點］在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。［教學過程］一、情景創(chuàng)設1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？20m13m20m13m2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進了多遠？二、探索活動1、思考：從上面的兩個問題可以看出：當直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對邊與斜邊的比值________；它的鄰邊與斜邊的比值________。（根據(jù)是__________________。）2、正弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______，記作________，即：sinA＝________=________.3、余弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______，記作=_________，即：cosA=______=_____。（你能寫出∠B的正弦、余弦的表達式嗎？）試試看.___________.4、牛刀小試根據(jù)如圖中條件，分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值。5、思考與探索怎樣計算任意一個銳角的正弦值和余弦值呢？如圖，當小明沿著15°的斜坡行走了1個單位長度時，他的位置升高了約0.26個單位長度，在水平方向前進了約0.97個單位長度。根據(jù)正弦、余弦的定義，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根據(jù)圖形求出sin30°、cos30°嗎？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用計算器我們可以更快、更精確地求得各個銳角的正弦值和余弦值。（4）觀察與思考：從sin15°，sin30°，sin75°的值，你們得到什么結論？____________________________________________________________。從cos15°，cos30°，cos75°的值，你們得到什么結論？____________________________________________________________。當銳角α越來越大時，它的正弦值是怎樣變化的？余弦值又是怎樣變化的？____________________________________________________________。6、銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。三、隨堂練習1、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.3、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,cosB=______,sinB=_______四、請你談談本節(jié)課有哪些收獲？五、拓寬和提高已知在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c＝5：12：13，試求最小角的三角函數(shù)值。1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義；(重點)2．能夠進行30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的計算；(重點)3．能夠根據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值說出相應銳角的大?。?難點)一、情境導入在直角三角形中(利用一副三角板進行演示)，如果有一個銳角是30°(如圖①)，那么另一個銳角是多少度？三條邊之間有什么關系？如果有一個銳角是45°呢(如圖②)？由此你能發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？二、合作探究探究點一：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值【類型一】利用特殊角的三角函數(shù)值進行計算計算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法總結：解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍若cosα＝eq\f(2,3)，則銳角α的大致范圍是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴銳角α的范圍是45°＜α＜60°.故選C.方法總結：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型三】已知三角函數(shù)值，求角度根據(jù)下列條件，確定銳角α的值：(1)cos(α＋10°)－eq\f(\r(3),2)＝0；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0.解析：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來求α的值；(2)用因式分解法解關于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝eq\f(\r(3),2)，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0，(tanα－1)(tanα－eq\f(\r(3),3))＝0，tanα＝1或tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝45°或α＝30°.方法總結：熟記特殊角的三角函數(shù)值以及將“tanα”看作一個未知數(shù)解方程是解決問題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題探究點二：特殊角的三角函數(shù)值的應用【類型一】特殊角的三角函數(shù)值與其他知識的綜合已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：根據(jù)非負性的性質求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進而可得出結論．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．方法總結：一個數(shù)的絕對值和偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值或偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用特殊角的三角函數(shù)值求三角形的邊長如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，若AC＝eq\r(3)，求線段AD的長．解析：首先根據(jù)直角三角形的性質推出∠BAC的度數(shù)，再求出∠CAD＝30°，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長度．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.方法總結：解決此題的關鍵是利用轉化的思想，將已知和未知元素化歸到一個直角三角形中，進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題【類型三】構造三角函數(shù)模型解決問題要求tan30°的值，可構造如圖所示的直角三角形進行計算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此圖的基礎上，通過添加適當?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．解析：根據(jù)角平分線的性質以及勾股定理首先求出CD的長，進而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD).解：作∠B的平分線交AC于點D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法總結：解決問題的關鍵是添加輔助線構造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題三、板書設計30°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.應用特殊角的三角函數(shù)值解決問題課程設計中引入非常直接，由三角板引入，直擊課題，同時也對前兩節(jié)學習的知識進行了整體的復習，效果很好．設計引題開門見山，節(jié)省了時間，為后面的教學提供了方便．在講解特殊角三角函數(shù)值時也很細，可以說前部分的教學很成功，學生理解的很好.1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值教學思路（糾錯欄）教學思路（糾錯欄）教學目標：1.能利用三角函數(shù)概念推導出特殊角的三角函數(shù)值.2.在探索特殊角的三角函數(shù)值的過程中體會數(shù)形結合思想.教學重點：特殊角30°、60°、45°的三角函數(shù)值.教學難點：靈活應用特殊角的三角函數(shù)值進行計算.☆預習導航☆一、鏈接：1.如圖，用小寫字母表示下列三角函數(shù)：sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=2.中，如果∠A=30°,那么三邊長有什么特殊的數(shù)量關系？如果∠A=45°,那么三邊長有什么特殊的數(shù)量關系？二、導讀：仔細閱讀課本內(nèi)容后完成下面填空：角度a三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana☆合作探究☆1.求下列各式的值（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos2300求滿足下列條件的銳角：(1)tan(a+10°)=1，(2)sin(a-20°)=.已知：如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AC=2,AD=.分別求出△ABC、△ACD、△BCD中各銳角的度數(shù).☆歸納反思☆☆達標檢測☆1．若sinα=,則銳角α=________.若2cosα=1,則銳角α=_________.2．若∠A是銳角，且tanA=,則cosA=_________3．若∠A=41°，則cosA的大致范圍是（）A．0＜cosA＜1B.＜cosA＜C.＜cosA＜D.＜cosA＜14.計算：（1）tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°（2）（說明：）1.3三角函數(shù)的計算優(yōu)秀領先飛翔夢想成人成才1．熟練掌握用科學計算器求三角函數(shù)值；(重點)2．初步理解仰角和俯角的概念及應用．(難點)一、情境導入如圖①和圖②，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運動．如果楔子斜面的傾斜角為10°，楔子沿水平方向前進5cm(如箭頭所示)．那么木樁上升多少厘米？觀察圖②易知，當楔子沿水平方向前進5cm，即BN＝5cm時，木樁上升的距離為PN.在Rt△PBN中，∵tan10°＝eq\f(PN,BN)，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．那么，tan10°等于多少呢？對于不是30°，45°，60°這些特殊角的三角函數(shù)值，可以利用科學計算器來求．二、合作探究探究點一：利用科學計算器解決含三角函數(shù)的計算問題【類型一】已知角度，用計算器求三角函數(shù)值用計算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟練使用計算器，對計算器給出的結果，根據(jù)題目要求用四舍五入法取近似值．解：根據(jù)題意用計算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法總結：解決此類問題關鍵是熟練使用計算器，使用計算器時要注意按鍵順序．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題【類型二】已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù)已知下列銳角三角函數(shù)值，用計算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結果精確到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解析：熟練應用計算器，對計算器給出的結果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值．解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.方法總結：解決此類問題關鍵是熟練使用計算器，在使用計算器時要注意按鍵順序．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型三】利用計算器比較三角函數(shù)值的大小(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，則sin2α________2sinαcosα；(2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，請根據(jù)提示，利用面積方法驗證(1)中提出的猜想．解析：(1)利用計算器分別計算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大?。?2)通過計算△ABC的面積來驗證．解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝(2)已知0°＜α＜45°，則sin2α＝2sinαcosα.證明：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·sin2α·AC，S△ABC＝eq\f(1,2)×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法總結：本題主要運用了面積法，通過用不同的方法表示同一個三角形的面積，來得到三角函數(shù)的關系，此種方法在后面的學習中會經(jīng)常用到．探究點二：利用三角函數(shù)解決實際問題【類型一】非特殊角三角函數(shù)的實際應用如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．(1)求改直后的公路AB的長；(2)問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米(精確到0.1)?解析：(1)過點C作CD⊥AB于D，根據(jù)AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB＝AD＋BD列式計算即可；(2)根據(jù)(1)可知AC、BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．解：(1)過點C作CD⊥AB于點D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝eq\f(CD,sin∠CBA)＝eq\f(4.2,sin45°)≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的長約為13.3千米；(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后該段路程比原來縮短了約2.6千米．方法總結：解決問題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利用三角函數(shù)關系求出有關線段的長．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型二】仰角、俯角問題如圖，課外數(shù)學小組要測量小山坡上塔的高度DE，DE所在直線與水平線AN垂直．他們在A處測得塔尖D的仰角為45°，再沿著射線AN方向前進50米到達B處，此時測得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡頂E的仰角∠EBN＝25.6°.現(xiàn)在請你幫助課外活動小組算一算塔高DE大約是多少米(結果精確到個位)．解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關系表示出BF的長，進而求出EF的長，得出答案．解：延長DE交AB延長線于點F，則∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.設EF＝x，∵tan25.6°＝eq\f(EF,BF)≈0.5，∴BF＝2x，則DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(50＋2x,2x)＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大約是81米．方法總結：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題三、板書設計三角函數(shù)的計算1．已知角度，用計算器求三角函數(shù)值2．已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù)3．仰角、俯角的意義本節(jié)課盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節(jié)，讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步．只有這樣，才能真正提高課堂教學效率，提高成績.1.3三角函數(shù)的計算教學目標學會計算器求任意角的三角函數(shù)值。教學重難點重點：用計算器求任意角的三角函數(shù)值。難點：實際運用。教學過程拿出計算器，熟悉計算器的用法。下面我們介紹如何利用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對應的銳角.求已知銳角的三角函數(shù)值.求sin63゜52′41″的值.（精確到0.0001）解先用如下方法將角度單位狀態(tài)設定為“度”：顯示再按下列順序依次按鍵：顯示結果為0.897859012.所以sin63゜52′41″≈0.8979例3求cot70゜45′的值.（精確到0.0001）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結果為0.349215633.所以cot70゜45′≈0.3492.由銳角三角函數(shù)值求銳角例4已知tanx=0.7410,求銳角x.（精確到1′）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結果為36.53844577.再按鍵：顯示結果為36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.已知cotx=0.1950,求銳角x.（精確到1′）分析根據(jù)tanx＝，可以求出tanx的值，然后根據(jù)例4的方法就可以求出銳角x的值.四、課堂練習使用計算器求下列三角函數(shù)值.（精確到0.0001）sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角a.（精確到1′）（1）sina=0.2476;（2）cosa=0.4174;（3）tana=0.1890;（4）cota=1.3773.五、學習小結內(nèi)容總結不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣。同一銳角的正切值與余切值互為倒數(shù)。在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的保管與使用。方法歸納在解決直角三角形的相關問題時，常常使用計算器幫助我們處理比較復雜的計算。布置作業(yè)習題：3，4，5；練習冊1.4解直角三角形優(yōu)秀領先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．正確運用直角三角形中的邊角關系解直角三角形；(重點)2．選擇適當?shù)年P系式解直角三角形．(難點)一、情境導入如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風景帶成為該市的一道新景觀．在數(shù)學課外實踐活動中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點處，利用測角儀分別對東岸的觀景臺D進行了測量，分別測得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根據(jù)以上條件你能求出觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離嗎？二、合作探究探究點：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對應邊分別為a、b、c，按下列條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．解析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，eq\f(a,c)＝cosB，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝6eq\r(2)，∠A＝∠B＝45°.方法總結：解直角三角形時應求出所有未知元素，盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關系式求解．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題【類型二】構造直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長．解析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法總結：解答此類題目的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形，然后利用所學的三角函數(shù)的關系進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題【類型三】構造直角三角形解決面積問題在△ABC中，∠B＝45°，AB＝eq\r(2)，∠A＝105°，求△ABC的面積．解析：過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)勾股定理求出BD、AD的長，再根據(jù)解直角三角形求出CD的長，最后根據(jù)三角形的面積公式解答即可．解：過點A作AD⊥BC于點D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)(CD＋BD)·AD＝eq\f(1,2)×(eq\r(3)＋1)×1＝eq\f(\r(3)＋1,2).方法總結：解答此類題目的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形，然后利用所學的三角函數(shù)的關系進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題三、板書設計解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本類型及其解法3．解直角三角形的簡單應用本節(jié)課的設計，力求體現(xiàn)新課程理念．給學生自主探索的時間，給學生寬松和諧的氛圍，讓學生學得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新能力、合作能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性、主動性.1.4解直角三角形課題解直角三角形教學目標1、使學生綜合運用有關直角三角形知識解決實際問題．2、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．教學重點歸納直角三角形的邊、角之間的關系，利用這些關系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有關知識解決實際問題．教學難點利用解直角三角形的有關知識解決實際問題．教學用具執(zhí)教者教學內(nèi)容共案個案一、新課引入：1、什么是解直角三角形？2、在Rt△ABC中，除直角C外的五個元素間具有什么關系？請學生回答以上二小題，因為本節(jié)課主要是運用以上關系解直角三角形，從而解決一些實際問題．學生回答后，板書：(1)三邊關系：a2+b2=c2；(2)銳角之間關系：∠A+∠B=90°；(3)邊角之間關系第二大節(jié)“解直角三角形”，安排在銳角三角函數(shù)之后，通過計算題、證明題、應用題和實習作業(yè)等多種形式，對概念進行加深認識，起到鞏固作用．同時，解直角三角形的知識可以廣泛地應用于測量、工程技術和物理之中，主要是用來計算距離、高度和角度．其中的應用題，內(nèi)容比較廣泛，具有綜合技術教育價值．解決這類問題需要進行運算，但三角的運算與邏輯思維是密不可分的；為了便于運算，常常先選擇公式并進行變換．同時，解直角三角形的應用題和實習作業(yè)也有利于培養(yǎng)學生空間想象能力，要求學生通過觀察，或結合文字畫出圖形，總之，解直角三角形的應用題和實習作業(yè)可以培養(yǎng)學生的三大數(shù)學能力和分析問題、解決問題的能力．解直角三角形還有利于數(shù)形結合．通過這一章學習，學生才能對直角三角形概念有較完整認識，才能把直角三角形的判定、性質、作圖與直角三角形中邊、角之間的數(shù)量關系統(tǒng)一起來．另外，有些簡單的幾何圖形可分解為一些直角三角形的組合，從而也能用本章知識加以處理．基于以上分析，本節(jié)課復習解直角三角形知識主要通過幾個典型例題的教學，達到教學目標．二、新課講解：1、首先出示，通過一道簡單的解直角三角形問題，為以下實際應用奠定基礎．根據(jù)下列條件，解直角三角形．教師分別請兩名同學上黑板板演，同時巡視檢查其余同學解題過程，對有問題的同學可單獨指導．待全體學生完成之后，大家共同檢查黑板上兩題的解題過程，通過學生互評，達到查漏補缺的目的，使全體學生掌握解直角三角形．如果班級學生對解直角三角形掌握較好，這兩個題還可以這樣處理：請二名同學板演的同時，把下面同學分為兩部分，一部分做①，另一部分做②，然后學生互評．這樣可以節(jié)約時間．2、出示例題2．在平地上一點C，測得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進20米到D處，再測得山頂A的仰角為45°，求山高AB．此題一方面可引導學生復習仰角、俯角的概念，同時，可引導學生加以分析：如圖6-39，根據(jù)題意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB與BC之間的關系，因此山高AB可求．學生在分析此題時遇到的困難是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一條已知邊，而題目中的已知條件CD=20米又不會用．教學時，在這里教師應著重引②，通過①，②兩式，可得AB長．解：根據(jù)題意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．∵∠ADB=45°，∴AB=BD，∴BC=CD+BD=20+AB．在Rt△ABC中，∠C=30°，通過此題可引導學生總結：有些直角三角形的已知條件中沒有一條已知邊，但已知二邊的關系，結合另一條件，運用方程思想，也可以解決．3．例題3(出示投影片)如圖6-40，水庫的橫截面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB壩底寬AD(精確到0.1m)．坡度問題是解直角三角形的一個重要應用，學生在解坡度問題時常遇到以下問題：1．對坡度概念不理解導致不會運用題目中的坡度條件；2．坡度問題計算量較大，學生易出錯；3．常需添加輔助線將圖形分割成直角三角形和矩形．因此，設計本題要求教師在教學中著重針對以上三點來考查學生的掌握情況．首先請學生分析：過B、C作梯形ABCD的高，將梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形來解．教師可請一名同學上黑板板書，其他學生筆答此題．教師在巡視中為個別學生解開疑點，查漏補缺．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，則BE=23m．在Rt△ABE中，∴AB=2BE=46(m)．∴FD=CF=23(m)．答：斜坡AB長46m，坡角α等于30°，壩底寬AD約為68.8m．引導全體同學通過評價黑板上的板演，總結解坡度問題需要注意的問題：①適當添加輔助線，將梯形分割為直角三角形和矩形．③計算中盡量選擇較簡便、直接的關系式加以計算．三、課堂小結：請學生總結：解直角三角形時，運用直角三角形有關知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大?。诜治鰡栴}時，最好畫出幾何圖形，按照圖中的邊角之間的關系進行計算．這樣可以幫助思考、防止出錯．四、布置作業(yè)板書設計教學反思小結與復習(二)

一、新課引入二、新課講解三、課堂小結四、布置作業(yè)1.5三角函數(shù)的應用優(yōu)秀領先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；(重點)2．能夠建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題．(難點)一、情境導入為倡導“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點：三角函數(shù)的應用【類型一】利用方向角解決問題某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達點B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．(1)試說明點B是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．解析：(1)求點B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過構造直角三角形來求CB的長，作CD⊥AB于D點，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD的長，再求出CB的長；(2)本題實際上是問C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無觸礁危險，反之則有，CD的值在第(1)問已經(jīng)求出，只要進行比較即可．解：(1)作CD⊥AB于D點，設BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x，CD＝eq\f(\r(3),2)x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3).∴x＝18.∵18>16，∴點B是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)x＝9eq\r(3)，9eq\r(3)＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險．方法總結：解決本題的關鍵是將實際問題轉化為直角三角形的問題，通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中解決．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問題某中學九年級學生在學習“直角三角形的邊角關系”時，組織開展測量物體高度的實踐活動．在活動中，某小組為了測量校園內(nèi)①號樓AB的高度(如圖)，站在②號樓的C處，測得①號樓頂部A處的仰角α＝30°，底部B處的俯角β＝45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號樓AB的高度(結果保留根號)．解析：根據(jù)在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，求出BE的值，再根據(jù)在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，求出AE的值，最后根據(jù)AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6eq\r(3)(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6eq\r(3)(米)．所以，①號樓AB的高為(18＋6eq\r(3))米．方法總結：解決本題的關鍵是結合仰角、俯角構造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：設AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關于x的方程，進一步即可求解．解：設AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.所以，AB的長約為546.7m.方法總結：解題的關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或寬度．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學的數(shù)學知識測量某個娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點E處測得山頂A的仰角是30°，然后，她沿著坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分鐘抵達C處，此時，測得A點的俯角是15°.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，結果精確到0.1米)．解析：作輔助線EF⊥AC于點F，根據(jù)速度乘以時間得出CE的長度，通過坡度得到∠ECF＝30°，通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的長度．解：作EF⊥AC于點F，根據(jù)題意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝eq\r(2)EF＝135eq\r(2)≈190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡AE的長度約為190.4米．方法總結：解決本題的關鍵是能借助仰角、俯角和坡度構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設計三角函數(shù)的應用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實際應用本節(jié)課盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節(jié)，上課前多揣摩．讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角．教師盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步．只有這樣，才能真正提高課堂教學效率.1.5三角函數(shù)的應用教學目標(一)教學知識點1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用.2.能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能對結果的意義進行說明.(二)能力訓練要求發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和解決問題的能力.(三)情感與價值觀要求1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣.2.選擇生活中學生感興趣的題材，使學生能積極參與數(shù)學活動，提高學習數(shù)學、學好數(shù)學的欲望.教具重點1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.2.發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力.教學難點根據(jù)題意，了解有關術語，準確地畫出示意圖.教學方法探索——發(fā)現(xiàn)法教具準備多媒體演示教學過程Ⅰ.創(chuàng)設問題情境，引入新課[師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個問題(多媒體演示).海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.下面就請同學們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)Ⅱ.講授新課[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?[生]應該是“上北下南，左西右東”.[師]請同學們根據(jù)題意在練習本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.[生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?[生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較.[師]這位同學分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉化成數(shù)學問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.[師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.[師]那該如何是好?是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮?[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.[師]有何聯(lián)系呢?[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想之一.下面我們一起完整地將這個題做完.[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.[師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結果精確到1m)[師]我想請一位同學告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?[生]當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答.(教師留給學生充分的思考時間，感覺有困難的學生可給以指導)[生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30°=，即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50m，得-=50.解得CD≈43(m)，即塔CD的高度約為43m.[生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高.[師]這位同學能根據(jù)實際大膽地提出質疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高，更準確一點應考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.如果設小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?[生]示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知CC′≈43m，則CD＝43+1.6＝44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.[師]同學們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學們幫忙解決一下.多媒體演示：某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0lm)請同學們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉化成數(shù)學問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法)[生]在這個問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量.根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉化為數(shù)學問題即為：如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.[師]這位同學把這個實際樓梯調(diào)整問題轉化成了數(shù)學問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧![生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原樓梯占地長BC＝4cos40°m.調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，則AD＝m.樓梯占地長DB=m.∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).Ⅲ.隨堂練習1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB＝5m，現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=，BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m).所以鋼纜ED的長度為7.96m.2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD＝6m，坡長CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大?。?2)如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足.(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6m.在Rt△FDC中，DC＝8m.DF＝FC＝CD.sin45°=4(m).∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在Rt△AEB中，AE＝DF=4(m).tanABC＝≈0.308.∴∠ABC≈17°8′21″.(2)梯形ABCD的面積S＝(AD+BC)×AE=(6+30)×4=72(m2).壩長為100m，那么建筑這個大壩共需土石料100×72≈10182.34(m3).綜上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大壩共需10182.34m3土石料.Ⅳ.課時小結1.6利用三角函數(shù)測高1．經(jīng)歷運用儀器進行實地測量以及撰寫活動報告的過程，能夠對所得到的數(shù)據(jù)進行分析；(重點)2．能綜合應用直角三角形的邊角關系的知識解決實際問題．(難點)一、情境導入如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°，并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實際高度．你知道計算的方法嗎？實際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計算旗桿的高度，而這一問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容．二、合作探究探究點：利用三角函數(shù)測高【類型一】測量底部可以到達的物體的高度如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60°，眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結果精確到0.1米，eq\r(3)≈1.732)．解析：由題意可得四邊形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根據(jù)tan∠AEC＝eq\f(AC,EC)，即可求出AC的長．解：∵BD＝CE＝6m，∠A