遼寧省六校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及參考答案

—2023學(xué)年度（下）六校協(xié)作體三月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘 滿分150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A．－15 B．15 C．20 D．－202．某市2015年至2019年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）年份20152016201720182019年份代號(hào)x01234年銷量y101520m35A．25.5 B．28.5 C．30 D．32.53．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．3 B．4 C．5 D．64．某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對(duì)2022年卡塔爾世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽樣調(diào)查了110名學(xué)生，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，列聯(lián)表及臨界值表如下：男生女生合計(jì)關(guān)注50不關(guān)注20合計(jì)301100.150.10.050.0250.012.0722.0763.8415.0246.635附：，其中．則下列說法中正確的是（）A．有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別無關(guān)B．男生不關(guān)注卡塔爾世界杯的比例低于女生關(guān)注卡塔爾世界杯的比例C．在犯錯(cuò)誤概率不超過1%的前提下可認(rèn)為學(xué)生對(duì)卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤概率不超過1%的前提下可認(rèn)為學(xué)生對(duì)卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別無關(guān)5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，公比為，且－6，，14成等差數(shù)列，則（）A．2 B．－2 C．4 D．－46．某學(xué)習(xí)小組共12人，其中有5名是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從該小組中任選5人參加競(jìng)賽，用表示這5人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，若C的離心率為，連結(jié)交C于點(diǎn)B，則（）A．C的方程為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，計(jì)20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得零分，部分選對(duì)得2分．9．隨機(jī)變量且，隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．10．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的是（）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是11．甲袋中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球，黑球的事件；再從乙袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．12．如圖，長方體中，，，點(diǎn)P是底面ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A．△QBD的面積的最小值是B．四面體的體積為定值C．若與所成角為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線D．若點(diǎn)P在直線BD上，則PR與平面所成角的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，計(jì)20分．13．已知，，BE⊥平面BCD，則AB與平面BCD所成角為______．14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且不是常數(shù)列，則以下命題正確的是______．①若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；②若數(shù)列為等差數(shù)列，恒成立，則是嚴(yán)格增數(shù)列；③若數(shù)列為等比數(shù)列，則為等差數(shù)列；④若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則的最大值在n為8或9時(shí)取到．15．為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響．若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則______．16．過拋物線的焦點(diǎn)F作直線PQ，MN分別與拋物線C交于P，Q和M，N，若直線PQ，MN的斜率分別為，，且滿足，則的最小值為______．四、解答題：本題共6小題，計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）已知圓，直線．（1）判斷并證明直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B分圓周得兩段弧長之比為1：2，求直線的方程．18．（本題滿分12分）某校組織1000名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)間[60，70）內(nèi)的人數(shù)為400．（1）求出直方圖中a，b，c的值；（2）估計(jì)中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）若用頻率估計(jì)概率，設(shè)從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．19．（本題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（本題滿分12分）2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測(cè)定并公布珠峰高程的45周年．華為幫助中國移動(dòng)開通珠峰峰頂5G，有助于測(cè)量信號(hào)的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測(cè)量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號(hào)覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號(hào)的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡(jiǎn)易設(shè)備傳輸視頻信號(hào)的可能性．正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù)．”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里．現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)，．參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．21．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC（不與端點(diǎn)重合）上的點(diǎn)，，，．（1）求證：平面平面PQB；（2）當(dāng)PM的長為何值時(shí)，平面QMB與平面PDC所成的角的大小為60°？22．（本題滿分12分）橢圓的焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C上一點(diǎn)，的面積最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若B、D分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，不垂直坐標(biāo)軸的直線交橢圓C于P、Q，（P在上方，Q在下方，且均不與B，D點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，直線PB，QD的斜率分別為，，且，求面積的最大值．2022—2023學(xué)年度（下）六校協(xié)作體三月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題1--5BCACA6--8BAD二、多項(xiàng)選擇題9、ACD10、AD11、AC12、ABD三、填空題13、14、①②④15、16、四、解答題17.（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以，由得，，所以直線恒過定點(diǎn)，………2分因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交；………5分（2）因?yàn)閳A的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，半徑為2，因?yàn)辄c(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長之比為1：2，故,所以，故圓心到直線的距離，直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以直線滿足條件，即直線的方程可能為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為，故直線的方程為或.………10分18.（1）依題意可得：，又a，b，c成等差數(shù)列，所以且，解得：所以.………4分（2）因?yàn)?，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，解得：，即中位數(shù)約為，平均數(shù)為.………6分（3）由題意可知：得分在區(qū)間內(nèi)概率為，根據(jù)條件可知：的所有可能值為，且，所以.………12分19.（1）∵，∴，則，所以為等比數(shù)列，又，得，所以，………2分由知是等差數(shù)列，且，，∴，得，．∴.………………6分（2）因?yàn)?，，所以，所以則上面兩式作差得…………9分，∴………12分20.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型；………2分（2）因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，因?yàn)椋运?所以，即，所以.令，得，故預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.…………………6分（3）前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.………12分21.（1）∵ADBC，Q為AD的中點(diǎn)，BC=AD，∴BCQD，BC=QD，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴BQCD.∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ.∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q，∴BC⊥平面PQB.∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB.………………6分（2）由（1）可知PQ⊥平面ABCD.如圖，以Q為原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(-1，，0)，∴=(0，，0)，=(0，，0)，=(1，0，)，=(-1，，-)，PC=.設(shè)=λ，則=(-λ，λ，-λ)，且0<λ<1，得M(-λ，λ，λ)，∴=(-λ，λ，(1-λ)).設(shè)平面MBQ的法向量為=(x，y，z)，則，即令x=，則y=0，z=，∴平面MBQ的一個(gè)法向量為=，0，.設(shè)平面PDC的法向量為=(x'，y'，z')，則，即令x'=3，則y'=0，z'=-，∴平