線性代數(shù)課件

第二章線性方程組§2.1

消元法§2.2

n維向量§2.3

向量組的秩§2.4

矩陣的秩§2.5

線性方程組解的一般理論1引例1一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析用消元法解下列方程組的過程．§2.1

消元法2解3用“回代”的方法求出解：最后一個(gè)方程是多余的，不再寫出。上述方程組等價(jià)于4方程組的特點(diǎn)是:自上而下的各個(gè)方程所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)依次減少，這種形式的線性方程組，一般稱為階梯型方程組。由原方程化為階梯型方程的過程稱為消元過程，由階梯形方程組得各未知量的過程稱為回代過程。所以方程組的一般解為5其中c為任意常數(shù).（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（以替換）（以替換）（與相互替換）對(duì)方程組施行了如下三種變換：6這三種變換的每一種變換都稱為線性方程組的初等變換.上述三種變換都是可逆的．

由于三種初等變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．7提出這些數(shù)構(gòu)成矩形數(shù)表橫排稱行，豎排稱列，這樣的4行5列數(shù)表就稱為一個(gè)四行五列矩陣。簡稱45矩陣。這個(gè)矩陣也稱為方程組的增廣矩陣。矩陣中的各個(gè)數(shù)也稱為該矩陣的元素。對(duì)方程組(1)施以初等變換，就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣的各行施以相應(yīng)的變換。它們都稱為矩陣的初等行變換。利用矩陣記號(hào)，上述消元過程可以非常簡單地寫成下述形式：8用矩陣的初等行變換解方程組（1）：910回代過程階梯形矩陣11只要任意取定x3的值，就可以唯一地確定出對(duì)應(yīng)的x1，x2的值，從而得到原方程組的一組解。因此原方程組有無窮多組解。這時(shí)，變量x3稱為自由未知量可以看出與原方程組同解12這種解的表達(dá)式稱為線性方程組的一般解引例2解線性方程組13解方程組的增廣矩陣是一個(gè)35矩陣，對(duì)這一矩陣施以初等行變換，化為階梯形矩陣由最后的階梯形矩陣，可得對(duì)應(yīng)的階梯形方程組14這是一個(gè)矛盾方程組，無解。所以原方程組也無解。由上面的討論可以看出，線性方程組可能無解；也可能有解。在有解的情況下，可能有唯一解；也可能有無窮多組解。利用消元法解線性方程組時(shí)，我們只需對(duì)其增廣矩陣施以初等行變換，并把消元過程和回代過程合并在一起寫出即可二、線性方程組解的情況為了便于討論一般的n元線性方程組的情況，首先須引入矩陣的概念。定義2.115由數(shù)域F中mn個(gè)數(shù)稱為數(shù)域F上的一個(gè)mn矩陣.簡稱mn矩陣。排成的m

行n

列的數(shù)表簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.16例如是一個(gè)24實(shí)矩陣,是一個(gè)33復(fù)矩陣,是一個(gè)31矩陣,是一個(gè)14矩陣,是一個(gè)11矩陣.17定義2.2下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換:矩陣的初等行(列)變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。18下面考慮一般的線性方程組方程組中各未知量的系數(shù)組成一個(gè)mn矩陣，19稱為方程組的系數(shù)矩陣稱為方程組的增廣矩陣為了討論方程組的解，只需對(duì)增廣矩陣施行初等行變換不妨設(shè)A的前n列中任意一列的元素不全為零，20再對(duì)右下角的(m-1)n矩陣重復(fù)施行上述變換，直到最終化為如下的階梯形矩陣為止：2122這相當(dāng)于方程組(1)經(jīng)過一系列方程組的初等變換化為(2)所以方程組(1)與(2)同解。23這一回代過程也可以由相應(yīng)的階梯形矩陣自下而上逐次施以初等行變換，化為2425262728綜上可得下述結(jié)論：線性方程組(1)的增廣矩陣通過初等行變換可以化為階梯形矩陣，階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組(2)與(1)同解，并且29對(duì)于齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為30所以對(duì)它施以行變換，最終可化為：31定理2.2含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解它的系數(shù)行列式定理2.1如果齊次線性方程組中方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，即m<n,則方程組有非零解.證3233證畢解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換，將其化為階梯形矩陣：343536由此可得37例2

試確定的值，使齊次線性方程組38解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換，化為階梯形有非零解39其對(duì)應(yīng)方程組：40由此得法二此題也可利用系數(shù)行列式4142例3

解線性方程組重要題型解43(i)若b2，則方程組無解(ii)若b=2，則44此時(shí)，方程組有無窮多組解(c為任意常數(shù))(3)若b=1時(shí)，則45方程組有無窮多組解46(c為任意常數(shù))(i)若b2，方程組無解(ii)若b=2，方程組有無窮多組解(3)當(dāng)b=1時(shí)，綜上結(jié)論：1．解的狀況

2．解的判斷有n

個(gè)未知數(shù)，m

個(gè)方程的線性方程組復(fù)習(xí):線性方程組解的狀況與判斷47增廣矩陣經(jīng)過一系列初等行變換化為如下形式的階梯形矩陣其中r:系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(階梯矩陣中階梯的個(gè)數(shù))48最后矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為：

（2），有解有唯一解有無窮多解，恰有個(gè)非自由未知量.

（1），無解r=增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)r增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)r=未知量的個(gè)數(shù)r<未知量的個(gè)數(shù)r:系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(有效方程的個(gè)數(shù))49判定線性方程組解的狀況的基本思路對(duì)增廣矩陣實(shí)施一系列初等行變換，化階梯形矩陣；在階梯形矩陣中，根據(jù)系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(階梯矩陣中階梯的個(gè)數(shù))

r與增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)是否相等來判斷是否有解；若有解，再根據(jù)r與未知量的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系，判斷有唯一解還是無窮解.503.n

個(gè)未知量m個(gè)方程的齊次線性方程組解的判斷

(1)解的狀況一定有解

一定為051n個(gè)未知量，m個(gè)方程的齊次線性方程組

(2)解的狀況定理1

如果方程個(gè)數(shù)m

小于未知量個(gè)數(shù)n，一定有非零解.定理2