工業(yè)機器人運動學(xué)-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

-10002＝3000111

結(jié)果如圖1.6所示。如果將上述兩次旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來，寫成一個表達式得到

w=Rot(y,90°)v＝Rot(y,90°)Rot(z,90°)u用兩個變換矩陣Rot(y,90°)、Rot(z,90°)和起始點u代入上式計算的結(jié)果與前面分兩次計算的結(jié)果相同。2?uzyx?v0圖1.5Rot(z,90°)

yuv0zx?w??圖1.6Rot(y,90°)Rot(z,90°)27為此，先將點u繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，我們得到

00100-100720100100037w＝Rot(y,90°)Rot(z,90°)u=-100000102＝30001000111如果按著逆序旋轉(zhuǎn)，首先繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，然后再繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，其結(jié)果為

0-10000107-31000010032w=Rot(z,90°)Rot(y,90°)u=0100-10002=-70001000111逆序旋轉(zhuǎn)的結(jié)果如圖1.7所示。顯然，變換的順序不同，其結(jié)果也不同。這從矩陣相乘是不可交換的（AB≠BA）也可以得到證明。如對經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)變換得到的點向量w再進行一次平移（平移向量為h＝[4-371]T），則可得到如圖1.8所示的點向量n。變換過程如下100426010-374n=Trans(4,－3,7)w=00173=10000111zuv0yx?w??圖1.8Trans(4,-3,7)Rot(y,90°)Rot(z,90°)???n72w0zyx???u圖1.7Rot(z,90°)Rot(y,90°)2-7v這個新坐標(biāo)系的x、y、z軸的方向分別是[0，1，0，0]T、[0，0，1，0]T和[1，0，0，0]T，它是由單位向量的H變換減去這個坐標(biāo)原點的向量得到的。這些方向向量相應(yīng)于變換矩陣的前三列（見式（1.15））?？梢姡琀變換矩陣描述了一個坐標(biāo)系繞原參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)和對參考坐標(biāo)系平移的三個軸的方向和原點的位置（見圖1.9）。如圖1.10所示，當(dāng)對一個向量n進行式（1.15）給出的H變換時，原向量n可以被認(rèn)為是在新坐標(biāo)系描述的那個向量u，即被變換了的向量u就是相對于參考坐標(biāo)系描述的同一個向量n。00zzyyxxu(7,3,2,1)?n(6,4,10,1)圖1.10向量的H變換1.7相對變換（Relativetransformation）

我們剛剛描述的旋轉(zhuǎn)和平移都是相對于一個固定的坐標(biāo)系而進行的。這樣，在已給的例子里0014100-3

Trans(4,-3,7)Rot(y,90°)Rot(z,90°)=0107（1.16）0001坐標(biāo)系首先繞參考坐標(biāo)系z軸旋轉(zhuǎn)90°，然后繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，最后平移4i－3j+7k，如圖2.9所示。如果以相反次序從左到右來進行這些操作：首先對坐標(biāo)平移4i―3j+7k，然后將它繞當(dāng)前坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)90°，此時當(dāng)前坐標(biāo)系的y軸與參考坐標(biāo)系的y軸是相同的。然后再繞著新坐標(biāo)系（當(dāng)前的）坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)90°，所得結(jié)果與前面的方法相同（見圖1.11）。

?00zzzzyyyyxxxxRot(y,90°)Rot(z,90°)Trans(4,-3,7)坐標(biāo)原點圖1.11相對變換

YXTrans(10,0,0)Rot(z,90°)0zyxxxxxyyyyzzzzRot(z,90°)Trans(10,0,0)圖1.12相對于基坐標(biāo)系和當(dāng)前坐標(biāo)系的變換1.8物體的描述（Objectrepresentation）

變換可用來描述物體的位置與方向（方位）。如圖1.13所示的楔形物體用六個角點來描述，這六個角點是相對于物體所在的參考坐標(biāo)系的。如果把物體繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，然后繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，接著沿x方向平移4個單位，我們可以描述這個變換為00141000Trans(4,0,0)Rot(y,90°)Rot(z,90°)=01000001這個變換表示了對參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移操作，變換后物體的六個角點為44664400141-1-111-11-1-111-11000000044000044=01000002201111110001111111變換后該物體在坐標(biāo)上的方位如圖1.13所示。

從圖1.13可以看出，由于楔形物體的角點與它所在的坐標(biāo)系有固定的關(guān)系，因此沒有必要對所有的角點進行變換，只要對物體所在的坐標(biāo)系進行變換，就可得到變換后的各個角點在基坐標(biāo)中的位置，將這些角點用直線連接起來就可得到楔形物體的邊緣，它與逐點變換的結(jié)果完全相同（見圖1.14）。(-1,0,0)(-1,0,2)(1,0,2)(1,4,0)(-1,4,0)(1,0,0)zyx0圖1.13楔形物體圖1.14被變換的楔形物體(4,1,0)(4,-1,4)(4,1,4)(6,1,0)(6,-1,0)(4,-1,0)yx0yxzz1.10一般性旋轉(zhuǎn)變換（Generalrotationtransformation）

前面我們介紹的旋轉(zhuǎn)變換都是繞x，y，z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，這些變換都有一個簡單的幾何解釋。例如：在繞z軸旋轉(zhuǎn)的情況下，表示z軸保持恒定，x軸和y軸將如圖1.15所示那樣變化。

圖1.15繞z軸的旋轉(zhuǎn)θz0zyyxxCosθ－SinθSinθCosθθ

如圖1.16所示，給出一個變換矩陣C，它繞任意向量k旋轉(zhuǎn)，我們把k當(dāng)作C坐標(biāo)系的z軸單位向量。

nxoxax0nyoyay0C=nzoz

az0

（1.21）0001

k=axi+ayj+azk

（1.22）繞k旋轉(zhuǎn)就相等于繞C坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)。

Rot（k，θ）=Rot（Cz，θ）（1.23）如果我們給一個坐標(biāo)系T，它在參考坐標(biāo)系里被描述，它在C坐標(biāo)系里用X描述，這樣

T=CX（1.24）其中X描述T相對C的位姿，求X，我們得到

X=C-1T（1.25）kTzzyyxxx00圖1.16一般性旋轉(zhuǎn)變換C應(yīng)用下列關(guān)系進行簡化：C坐標(biāo)系任意的行或列與其他行或列的點積為零，因為這些向量是正交的；C坐標(biāo)系任意的行或列與其自身的點積為I，因為它們是單位量；z向量是x和y向量的叉積：a=n×o，它有下列分量ax=nyoz―nzoyay=nzox―nxozaz=nxoy―nyox正矢Versθ=（1―cosθ），簡寫成Versθ，且kx=ax，ky=ay，kz=az。由此可得到簡化式為

Rot(k,θ)=kxkxVersθ+cosθkykxVersθ―kzsinθkzkxVersθ+kysinθ0kxkyVersθ+kzsinθkykyVersθ+cosθkzkyVersθ―kzxsinθ0kxkzVersθ―kysinθkykzVersθ+kxsinθkzkzVersθ+cosθ0（1.32）0

0

01上式是一般性的旋轉(zhuǎn)變換的重要結(jié)論。從這個結(jié)論可以得出每一個基本旋轉(zhuǎn)變換。例如：Rot(x,θ)就是Rot(k,θ)當(dāng)kx=1，ky=0,kz=0的情況，將這些值代入式（1.32）得到10000cosθ-sinθ0Rot(x,θ)=0sinθcosθ0（1.33）0001這個結(jié)果與以前一樣。1.11等價旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)軸（Equivalentangleandaxisofrotation）

任給一個旋轉(zhuǎn)變換，從（1.32）方程得到一個軸，繞這個軸旋轉(zhuǎn)的等價旋轉(zhuǎn)角可由如下方法得到。已知一個旋轉(zhuǎn)變換R

nxoxax0nyoyay0R=nzozaz0（1.34）0001令R和式

（1.32）的Rot(k,θ)相等，并將對角線各項相加得到nx+oy+az+1=k2xVersθ+cosθ+k2yVersθ+cosθ+k2zVersθ+cosθ+1（1.35）nx+oy+az=(k2x+k2y+k2z)Versθ+3cosθ=1+2cosθ（1.36）由此可得到旋轉(zhuǎn)角的余弦是

cosθ=1/2（nx+oy+az―1）（1.37）對非對角線項相減，我們得到oz―ay=2kxsinθ（1.38）ax―nz=2kysinθ（1.39）ny―ox=2kzsinθ（1.40）把式（1.38）到式（1.40）兩邊平方并相加有（oz―ay）2+（ax―nz）2+（ny―ox）2=4sin2θ（1.41）我們得到了sinθ的表達式sinθ=±1/2√（oz―ay）2+（ax―nz）2+（ny―ox）2

（1.42）規(guī)定這個旋轉(zhuǎn)是繞k正方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0≤θ≤180°時，在上式中取十號是合理的。這個旋轉(zhuǎn)角θ被唯一定義為tanθ=√（oz―ay）2+（ax―nz）2+（ny―ox）2/（nx+oy+az―1）（1.43）k的各分量為kx=（oz―ay）/2sinθ（1.44）ky=（ax―nz）/2sinθ（1.45）kz=（ny―ox）/2sinθ（1.46）注意：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ較小或接近180°時，上述三個式子的分子和分母都很小，所計算的k值是不精確的。為此可繼續(xù)根據(jù)式（1.32）和式（1.33）對應(yīng)元素以及它們的代數(shù)和相等的關(guān)系來求出k的各個分量。1.12擴展與縮?。⊿tretchingandscaling）

一個變換Ta0000b00T=00c0（1.47）0001將沿著x軸以a因子，沿著y軸以b因子，沿著z軸c因子均勻擴展著各種物體。假定在一個物體上任意一個點xi+yj+zk，它的變換是axa000xby0b00ycz=00c0z（1.48）100011這個正好表示出所說的擴展。這樣，一個正方體可以由這個變換變成長方體。變換ss0000s00s=00s0（1.49）0001將以s為比例因子來擴展或縮小任一物體。1.13透視變換（Perspectivetransformation）

假設(shè)由一個簡單透鏡把一個物體形成的像如圖1.17所示。透鏡的軸沿著y的方向，焦距為f，物體上的一個點x,y,z成象為x/,y/,z/。y/表示象距，它隨著物距y而變化。如果在通過y/而垂直于y的平面（照相機的底片）上畫出各個點，那么就形成了一個透視像。射線穿過透鏡中心不偏轉(zhuǎn)，則

z/y=z//y/（1.50）x/y=x//y/（1.51）

根據(jù)平行透鏡的軸的射線通過焦點，我們可以寫出

z/f=z//(y/+f)（1.52）x/f=x//(y/+f)（1.53）x/y/

和z/是負(fù)數(shù)，而f是正數(shù)。用式（1.50）和式（1.52）消去y/

，得

z/f=z/(z/y/z+f)（1.54）

zyx0(x’,y’,z’)(x,y,z)??f?圖1.17透視變換求出x/=x(1―y/f)（1.55）y/=y(1―y/f)（1.56）z/=z(1―y/f)（1.57）齊次變換p能導(dǎo)出同樣結(jié)果，變換p是10000100

p=0010（1.58）0-1/f01任何一點xi+yj+zk變換為

x1000xy0100yz=0010z（1.59）