控制系統(tǒng)的校正課件

4.5控制系統(tǒng)的校正

4.5.1控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)概述

1．控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的概念

所謂系統(tǒng)設(shè)計(jì)，就是在給定的性能指標(biāo)下，對于給定的對象模型，確定一個(gè)能夠完成給定任務(wù)的控制器(常稱為校正器或者補(bǔ)償控制器)，即確定校正器的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。所謂給定任務(wù)即指系統(tǒng)滿足的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)性能要求，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)又叫做控制系統(tǒng)的校正或者控制系統(tǒng)的校正設(shè)計(jì)。

系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標(biāo)有：穩(wěn)態(tài)誤差(ess)，靜態(tài)位置誤差系數(shù)(kp)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)(kv)，靜態(tài)加速度誤差系數(shù)(ka)等。

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有時(shí)域的與頻域的。時(shí)域指標(biāo)為超調(diào)量(σ)、峰值時(shí)間(tp)、調(diào)節(jié)時(shí)間(ts)等；頻域指標(biāo)有峰值(Am)、峰值頻率(ωm)、頻帶(ωb)、剪切頻率(ωc)、模值穩(wěn)定格度(Ln)、相角穩(wěn)定裕度(γ)等。

2．控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方式

在經(jīng)典控制系統(tǒng)里，主要數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)?；趥鬟f函數(shù)模型的有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、頻率特性等。故控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法有基于微分方程求解的分析微分方程特征根的根軌跡法，有基于頻率特性的波特圖法。校正設(shè)計(jì)中要注意校正方式和選擇參數(shù)的非唯一性，參數(shù)計(jì)算和元件選擇時(shí)要留有余量。

按照校正器與給定受控對象連接的方式，有串聯(lián)校正、反饋校正、前置校正與干擾補(bǔ)償四種。

串聯(lián)校正方式在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)用定性的方法比較簡單，易于實(shí)現(xiàn)信號轉(zhuǎn)換，但信號衰減大，裝置的功耗大。串聯(lián)校正可以分為超前、滯后以及超前—滯后三種校正方式，分別適用于不同的場合。

2）滯后校正設(shè)計(jì)

滯后校正設(shè)計(jì)是指利用校正器對數(shù)幅頻特性曲線具有負(fù)斜率(即幅頻曲線的漸近線與橫坐標(biāo)夾角的正切值小于零)的區(qū)段及其相頻特性曲線具有負(fù)相移(即相頻曲線的相角值小于零)區(qū)段的系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)。這種校正設(shè)計(jì)方法的突出特點(diǎn)是校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前的小，系統(tǒng)的快速性能變差，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻得到提高?？梢姡谙到y(tǒng)快速性要求不是很高，而穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)精度要求很高的場合，滯后校正設(shè)計(jì)方法是很適合的。

3）滯后—超前校正設(shè)計(jì)

滯后—超前校正設(shè)計(jì)是指既有滯后校正作用又有超前校正作用的校正器設(shè)計(jì)。它既具有滯后校正高穩(wěn)定性、高精確度的長處，又具有超前校正響應(yīng)快、超調(diào)小的優(yōu)點(diǎn)。雖然這種校正所用裝置或元器件要多些，會(huì)增加設(shè)備投資，但因其優(yōu)良的性能，在要求高的設(shè)備中還是經(jīng)常被采用。

4）反饋校正

除了前面介紹的三種串聯(lián)校正方法之外，反饋校正（又稱并聯(lián)校正）也是廣泛采用的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法之一。反饋校正主要是利用校正裝置的頻率特性，在中頻區(qū)段代替或改變原系統(tǒng)的頻率特性，使系統(tǒng)符合所需的期望特性，從而達(dá)到系統(tǒng)所要求的性能指標(biāo)，反饋校正可以削弱系統(tǒng)的非線性特性的影響，提高響應(yīng)速度，降低對參數(shù)變化的敏感性，擬制噪聲的影響。

(2）當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是以穩(wěn)態(tài)誤差、相角裕度、幅值裕量、諧振峰值和帶寬等表示時(shí)，采用頻率法進(jìn)行校正比較方便。頻率法中的串聯(lián)超前校正主要是利用校正裝置的超前相位在穿越頻率處對系統(tǒng)進(jìn)行相位補(bǔ)償，以提高系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕量，同時(shí)也提高了穿越頻率值，從而改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。超前校正主要適用于穩(wěn)態(tài)精度不需要改變，暫態(tài)性能不佳，而穿越頻率附近相位變化平穩(wěn)的系統(tǒng)。串聯(lián)滯后校正在于提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而盡量不影響系統(tǒng)原有的動(dòng)態(tài)性能。

(3）串聯(lián)滯后超前校正可兼有上述兩種作用，主要應(yīng)用于要求較高，而單純的超前或滯后校正不能滿足或者無法應(yīng)用的系統(tǒng)的校正。

4.5.2基于根軌跡圖的校正方法

根軌跡法校正即是借助根軌跡曲線進(jìn)行校正，系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)往往不在系統(tǒng)的根軌跡上。由根軌跡的理論，添加上開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)可以使根軌跡曲線形狀改變。若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對零極點(diǎn)，使零點(diǎn)位置位于極點(diǎn)右側(cè)。如果適當(dāng)選擇零、極點(diǎn)的位置，就能夠使系統(tǒng)根軌跡通過期望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，并且使主導(dǎo)極點(diǎn)在s1點(diǎn)位置時(shí)的穩(wěn)態(tài)增益滿足要求。此即為相位超前校正。

【例4.57】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求σp<20%，ts<2s，試用根軌跡法作微分超前校正。（1）作原系統(tǒng)根軌跡如圖4－57(a)所示。n=［4］;d=［120］;

rlocus(n,d);(3)校正后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

利用下面的程序可以畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖4﹣57b所示。n1=[4.68];n2=[12.9];n3=[4];d1=[15.4];d2=[10];d3=[12];n=conv(n1,conv(n2,n3));d=conv(d1,conv(d2,d3));rlocus(n,d);

(4)校正前后系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析

利用下面的程序可以畫出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖4﹣57c所示：

step([4],[124]);

holdon

[nc,dc]=cloop(n,d,-1);

step(nc,dc);

text(0.2,1.3,‘校正后’);

text(2,1.3,'校正前');

圖4－57系統(tǒng)的仿真結(jié)果(a)原系統(tǒng)根軌跡；(b)校正后系統(tǒng)的根軌跡；(c)階躍響應(yīng)曲線

(2)繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡。

n1=［2500］;

d1=conv(［10］,［125］);

s1=tf(n1,d1);

rlocus(s1);

從圖4－58(a)可以看出系統(tǒng)只有兩個(gè)極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)。

(3)確定系統(tǒng)希望的極點(diǎn)位置。由下列程序計(jì)算得：

sigma=0.15; zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2);

zeta=0.5169

即ξ≥0.5169,取ξ=0.54，

wn=7.4;

p=［12*wn*zetawn*wn］;

roots(p)

從而確定希望的極點(diǎn)為：

-3.9960+6.2283j

-3.9960

-6.2283j

(4)校正后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。由理論分析可以確定校正裝置為

利用下面的程序可以畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖4﹣58b所示。n1=[2500];n2=[0.21430.134];n3=[1];d1=[125];d2=[10];d3=[10.134];n=conv(n1,conv(n2,n3));d=conv(d1,conv(d2,d3));rlocus(n,d);[nc,dc]=cloop(n,d,-1);step(nc,dc);4.5.3基于波特圖的校正方法

頻域法校正即是借助波特圖進(jìn)行校正。當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不能滿足要求時(shí)，僅通過改變開環(huán)增益K來改善其動(dòng)態(tài)性能，其結(jié)果往往是動(dòng)態(tài)性能得到提高，而靜態(tài)性能卻降低了，以致于不能滿足品質(zhì)指標(biāo)的要求。若改變開環(huán)增益K常常不能使靜態(tài)、動(dòng)態(tài)指標(biāo)都滿足要求，則必須對系統(tǒng)進(jìn)行校正。

為使系統(tǒng)既有較好的穩(wěn)態(tài)性能，又有一定的穩(wěn)定裕量，則可通過兩個(gè)辦法來實(shí)現(xiàn)：

其一以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的開環(huán)增益為基礎(chǔ)，對系統(tǒng)波特圖在剪切頻率附近提供一個(gè)相位超前量，使之達(dá)到動(dòng)態(tài)相角穩(wěn)定裕量的要求，而保持低頻部分不變。這個(gè)辦法即是相位超前校正。

其二仍以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的開環(huán)增益為基礎(chǔ)，對系統(tǒng)波特圖保持低頻段不變，將其中頻與高頻段的模值加以衰減，使之在中頻段的特定點(diǎn)處，達(dá)到滿足動(dòng)態(tài)相角穩(wěn)定裕量的要求。這個(gè)辦法即是相位滯后校正?！纠?.59】已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求:(1)r(t)=t時(shí)，ess<0.1弧度；(2)ωc≥4.4rad/s，γc≥45°。用頻率法設(shè)計(jì)超前校正裝置。為了滿足穩(wěn)態(tài)性能，令K=10，作開環(huán)系統(tǒng)的波特圖如圖4－59(a)所示。

執(zhí)行下列程序：clcclearallfigure(1)n1=［10］;d1=［110］;

bode(n1,d1);校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

校正后系統(tǒng)的波特圖如圖4－59(b)所示。

n2=conv(n1,nc);d2=conv(d1,dc);bode(n2,d2);holdon［gm,pm,wg,wp］=margin(n2,d2)［gm,pm,wg,wp］=Inf50.1314NaN4.4186

此時(shí)，系統(tǒng)的相角裕度為γc=50.1314°，開環(huán)截止頻率為：4.4186，滿足了設(shè)計(jì)要求。因此，加入校正環(huán)節(jié)后，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和系統(tǒng)的快速性。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)如圖4－59(c)所示。其中左圖為原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，右圖是校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

bode(n1,d1);

［gm,pm,wg,wp］=margin(n1,d1)

figure(2)

nc=［41］;

dc=［501］;

bode(nc,dc);

holdon

n2=conv(n1,nc);

d2=conv(d1,dc);

bode(n2,d2);

%holdon

［gm,pm,wg,wp］=margin(n2,d2)figure(3)

［nc1,dc1］=cloop(n1,d1);

［nc2,dc2］=cloop(n2,d2);

subplot(121);

step(nc1,dc1);

subplot(122);

step(nc2,dc2);設(shè)計(jì)滯后校正裝置為：

該裝置的波特圖如圖4－60(b)所示。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

校正環(huán)節(jié)及校正后系統(tǒng)的波特圖如圖4－60(b)所示。校正后系統(tǒng)的指標(biāo)為：［gm,pm,wg,wp］=5.818248.29606.82282.1664即相位裕度是γc=48.2960°，開環(huán)截止頻率是2.1664，滿足設(shè)計(jì)要求。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)如圖4－60(c)所示。從這個(gè)圖也可以看出，原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

圖4－60系統(tǒng)的仿真結(jié)果(a)校正前系統(tǒng)的波特圖；(b)校正后系統(tǒng)的波特圖；(c)校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

【例4.61】已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4－61系統(tǒng)的仿真結(jié)果(a)校正前的波特圖；(b)校正后的波特圖;(c)校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

執(zhí)行下面的程序：

clc

clearall

figure(1)

n1=［10］;

d1=conv(［10］,conv(［11］,［0.51］));

bode(n1,d1);

［gm,pm,wg,wp］=margin(n1,d1)

figure(2)

nc=conv(［7.141］,［1.431］);

dc=conv(［71.41］,［0.1431］);

bode(nc,dc);holdon

n2=conv(n1,nc);

d2=conv(d1,dc);

bode(n2,d2);

%holdon

［gm,pm,wg,wp］=margin(n2,d2)

figure(3)

［nc1,dc1］=cloop(n1,d1);

［nc2,dc2］=cloop(n2,d2);

subplot(121);

step(nc1,dc1);

subplot(122);

step(nc2,dc2);設(shè)計(jì)滯后超前校正裝置為

為了滿足穩(wěn)態(tài)性能，令K=100，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

作開環(huán)系統(tǒng)的波特圖，從圖4－62(a)可以知道相角裕度為γc=6.3等,根據(jù)系統(tǒng)要求的指標(biāo)，經(jīng)過理論計(jì)算，可以得到期望的校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

為了確定H(s)，可將原系統(tǒng)化為圖4－62(b)所示結(jié)構(gòu)圖。

從而，可以得到校正裝置

圖4－62系統(tǒng)及其仿真結(jié)果(a)系統(tǒng)框圖;(b)等效結(jié)構(gòu)圖;（c)波特圖;（d)階躍響應(yīng)曲線

執(zhí)行下面的程序：

clc

clearall

G01=tf(100,conv(［0.11］,［0.00671］));

G02=tf(1,［11］);

H=tf(［0.01670］,［0.21］);

G0=G01*G02;

Ga=feedback(G01,H);

G=Ga*G02;

figure(1)

bode(G0,G);

T0=feedback(G0,1);

T=feedback(G,1);

figure(2)

step(T0,T);4.5.4基于狀態(tài)反饋的系統(tǒng)校正方法

1.狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置法

閉環(huán)系統(tǒng)的性能取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，所謂極點(diǎn)配置法就是通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置到期望的極點(diǎn)位置，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的特性滿足要求，基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置法利用的是系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

即若受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

通過引入狀態(tài)反饋矩陣K使該系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

簡寫為

極點(diǎn)配置是通過計(jì)算選擇狀態(tài)反饋矩陣K，使得閉環(huán)控制系統(tǒng){A-BK,B,C-DK,D}的極點(diǎn)（即{A-BK}的特征值）正好處于所希望的一組極點(diǎn)的位置上。即令

式中，λi(i=1,2,…,n)為希望的一組閉環(huán)極點(diǎn)。

用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充分必要條件是受控系統(tǒng)的狀態(tài)要完全可控。狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的可控性不會(huì)改變，但可觀測性不一定與原系統(tǒng)一致。對于單輸入系統(tǒng)，只要系統(tǒng)可控，則必能通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，而且不影響系統(tǒng)零點(diǎn)的分布。

【例4.63】已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

希望極點(diǎn)為λ1=-10，λ2,3=-2±j2，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K。

n=［1］;d=［118720］;［a,b,c,d］=tf2ss(n,d)

rank(ctrb(a,b))運(yùn)行結(jié)果為

a=

-18-720

100

010

b=

1

0

0

c=

001

d=

0

ans=

3（1）非奇異變換法:

clc

clearall

n=［1］;

d=［118720］;

［a,b,c,d］=tf2ss(n,d);

ay=poly(a)%計(jì)算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

as=poly(［-10,-2+2j,-2-2j］)%計(jì)算配置極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式acom=［72181;1810;100］;%計(jì)算變換矩陣

t=ctrb(a,b)*acom;

k=［as(4)-ay(4),as(3)-ay(3),as(3)-ay(3)］*inv(t);

運(yùn)行結(jié)果：

ay=

118720

as=

1144880

>>k

k=

-24-2480

（2）Ackermann法：

clc

clearall

n=［1］;

d=［118720］;

［a,b,c,d］=tf2ss(n,d);

%ay=poly(a)%計(jì)算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

as=poly([-10,-2+2i,-2-2i])%計(jì)算配置極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式

hemil=polyvalm(as,a)

k=[001]*inv(ctrb(a,b))*hemil;運(yùn)行結(jié)果：

as=

1144880

hemil=

-496-34560

483680

-4-2480

?k

k=

-4-2480

2.二次型最優(yōu)控制問題

線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器，其目標(biāo)函數(shù)是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件下，選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。

線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個(gè)方面的問題，即線性二次型最優(yōu)控制（LQ問題），針對具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型高斯最優(yōu)控制問題（LQG問題），一般針對具有系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的系統(tǒng)，采用卡爾曼濾波器觀測系統(tǒng)的狀態(tài)。

已知系統(tǒng)方程

確定最優(yōu)控制向量：u(t)=-Kx(t)的矩陣K，使得性能指標(biāo)

達(dá)到極小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，R是正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。在此，假設(shè)控制向量u(t)是不受約束的。

在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問題，并可解與其有關(guān)的黎卡提方程。該命令可計(jì)算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標(biāo)：

在約束方程條件下達(dá)到極小的反饋控制律：u=-Kx。

另一個(gè)命令：［K，P，E］=lqr(A,B,Q,R)也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠蹋?/p>

的唯一正定解P。如果A-BK為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個(gè)命令能求閉環(huán)極點(diǎn)或A-BK的特征值。

【例4.64】已知某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試考察原系統(tǒng)的性能，并用線性二次型最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律。執(zhí)行下面的程序：clcclearalln1=［10］;d1=［0.10.210］;［gm,pm,wg,wp］=margin(n1,d1)gm=0pm=0wg=NaN

wp=NaN從上述程序的執(zhí)行結(jié)果可以知道。該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。%lm=20*log(gm)

設(shè)計(jì)線性二次型控制律如下：

［a,b,c,d］=tf2ss(n1,d1);

q=eye(size(a))

r=1;

［k,p,e］=lqr(a,b,q,r);

q=

100

010

001

k=

0.3588

0.2819

1.0000p=

0.35880.28191.0000

0.28193.25272.3588

1.00002.35881