高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)11命題北師大版11

1.1命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解命題的見解及命題的組成，會(huì)判斷一個(gè)命題的真假.2.理解四種命題及其關(guān)系，掌握互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系及真假判斷.知識(shí)點(diǎn)一命題的見解思慮1給出以下語(yǔ)句：①若直線a∥b，則直線a和直線b無(wú)公共點(diǎn)；3＋6＝7；③偶函數(shù)的圖像對(duì)于y軸對(duì)稱；④5能被4整除.請(qǐng)你找出上述語(yǔ)句的特點(diǎn).答案上述語(yǔ)句有兩個(gè)特點(diǎn)：①都是陳述句；②能夠判斷真假.梳理(1)定義能夠判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題.分類①真命題：判斷為真的語(yǔ)句叫作真命題；②假命題：判斷為假的語(yǔ)句叫作假命題.知識(shí)點(diǎn)二命題的形式思慮1你能把“內(nèi)錯(cuò)角相等”寫成“若,，則,”的形式嗎？答案若兩個(gè)角為內(nèi)錯(cuò)角，則這兩個(gè)角相等.思慮2“內(nèi)錯(cuò)角相等”是命題嗎？若是是命題，是真命題仍是假命題？答案是命題，是假命題.梳理命題的形式：“若p，則q”，其中命題的條件是p，結(jié)論是q.由p能推出q，則為真命題.能舉一反例即可確定為假命題.知識(shí)點(diǎn)三四種命題的見解思慮給出以下四個(gè)命題：當(dāng)x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0；若x2－3x＋2＝0，則x＝2；若x≠2，則x2－3x＋2≠0；若x2－3x＋2≠0，則x≠2.你能說(shuō)出命題(1)與其他三個(gè)命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？答案命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰巧交換了.命題(1)的條件與結(jié)論恰巧是命題(3)條件的否認(rèn)和結(jié)論的否認(rèn).命題(1)的條件和結(jié)論恰巧是命題(4)結(jié)論的否認(rèn)和條件1的否認(rèn).梳理一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，若是一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個(gè)命題叫作互抗命題.若是是另一個(gè)命題條件的否認(rèn)和結(jié)論的否認(rèn)，那么把這兩個(gè)命題叫作互否命題.若是是另一個(gè)命題結(jié)論的否認(rèn)和條件的否認(rèn)，那么把這兩個(gè)命題叫作互為逆否命題.把第一個(gè)叫作原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱為原命題的抗命題、否命題、逆否命題.知識(shí)點(diǎn)四四種命題的關(guān)系及其真假判斷思慮1原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的抗命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的抗命題與其否命題呢？答案互逆、互否、互為逆否.思慮2若是原命題是真命題，它的抗命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？答案原命題為真，其抗命題不用然為真，其否命題不用然為真，其逆否命題必然是真命題.梳理(1)四種命題的互相關(guān)系(2)在原命題的抗命題、否命題、逆否命題中，必然與原命題真假性相同的是逆否命題.(3)兩個(gè)命題互為抗命題或互為否命題時(shí)，它們的真假性沒相關(guān)系.種類一命題的見解例1以下語(yǔ)句：2是無(wú)量循環(huán)小數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)當(dāng)x＝4時(shí)，2x>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個(gè)數(shù)不是合數(shù)就是素?cái)?shù)；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函數(shù)的圖像太美了！(8)4是會(huì)合{1，2，3}中的元素.其中是命題的是________.(填序號(hào))答案(1)(3)(5)(8)剖析此題主要察看命題的判斷，判斷依照：一是陳述句；二是看可否判斷真假.(1)是命題，能判斷真假；(2)不是命題，因?yàn)檎Z(yǔ)句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，我們無(wú)法判斷語(yǔ)句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，因?yàn)椴]有對(duì)垂直于同一條直線的兩條直線可否平行作出判斷；(5)是命題；(6)不是命題；(7)不是命題；(8)是命題.故答案為(1)(3)(5)(8).反省與感悟一般地，判斷一個(gè)語(yǔ)句可否是命題，要先判斷這個(gè)語(yǔ)句可否是陳述句，再看能不能夠判斷真假.2其流程圖如圖：追蹤訓(xùn)練1以下語(yǔ)句中，是命題的為________.①紅豆生南國(guó)；②作射線AB；③中國(guó)國(guó)土不能入侵?、墚?dāng)x≤1時(shí)，x2－3x＋2≤0.答案①④剖析②和③都不是陳述句，依照命題定義可知①④是命題.種類二四種命題及其互相關(guān)系命題角度1四種命題的見解例2寫出以下命題的抗命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)若·<0，則方程2－＋＝0有實(shí)數(shù)根；mnmxxn(2)弦的垂直均分線經(jīng)過圓心，且均分弦所對(duì)的?。?3)若m≤0或n≤0，則m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B.解(1)抗命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則m·n<0，假命題.2否命題：若m·n≥0，則方程mx－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，假命題.2m·n≥0，真命題.逆否命題：若方程mx－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則(2)抗命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且均分弦所對(duì)的弧，則這條直線是弦的垂直均分線，真命題.否命題：若一條直線不是弦的垂直均分線，則這條直線可是圓心或不均分弦所對(duì)的弧，真命題.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不均分弦所對(duì)的弧，則這條直線不是弦的垂直均分線，真命題.抗命題：若m＋n≤0，則m≤0或n≤0，真命題.否命題：若m>0且n>0，則m＋n>0，真命題.逆否命題：若m＋n>0，則m>0且n>0，假命題.抗命題：在△ABC中，若∠A>∠B，則a>b，真命題.否命題：在△ABC中，若a≤b，則∠A≤∠B，真命題.逆否命題：在△ABC中，若∠A≤∠B，則a≤b，真命題.反省與感悟四種命題的變換方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的抗命題.(2)同時(shí)否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題.3(3)交換原命題的條件和結(jié)論，而且同時(shí)否認(rèn)，所得命題是原命題的逆否命題.追蹤訓(xùn)練2命題“若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0”的逆否命題是()A.若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝loga(>0，≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)xaaC.若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)答案B剖析直接依照逆否命題的定義，將其條件與結(jié)論進(jìn)行否認(rèn)，再交換，值得注意的是“是減函數(shù)”的否認(rèn)不能夠?qū)懗伞笆窃龊瘮?shù)”，而應(yīng)寫成不是減函數(shù).命題角度2四種命題的互相關(guān)系例3若命題p：“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題為q，命題q的抗命題為r，則r與p的抗命題的關(guān)系是()互為抗命題互為否命題互為逆否命題同一命題答案B剖析已知命題p：若＋＝0，則x，y互為相反數(shù).xy命題p的否命題q為：若x＋y≠0，則x，y不互為相反數(shù)，命題q的抗命題r為：若x，y不互為相反數(shù)，則x＋y≠0，∴r是p的逆否命題，∴r是p的抗命題的否命題，應(yīng)選B.反省與感悟(1)判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法①利用四種命題的定義判斷；②巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷，如“抗命題”與“逆否命題”中不相同有“否”一個(gè)字，是互否關(guān)系；而“抗命題”與“否命題”中不相同有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系.(2)要判斷四種命題的真假：第一，要熟悉四種命題的互相關(guān)系，注意它們之間的互相性；其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，必然要對(duì)相關(guān)知識(shí)嫻熟掌握.追蹤訓(xùn)練3有以下四個(gè)命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；②一個(gè)實(shí)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；④“同位角相等”的抗命題.4其中真命題的個(gè)數(shù)是________.答案1剖析①“若x＋y≠0，則x，y不是相反數(shù)”，是真命題.②實(shí)數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，因此原命題是假命題.③“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命題.④“相等的角是同位角”，是假命題.種類三等價(jià)命題的應(yīng)用例4判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若對(duì)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假.解方法一原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a<1，則對(duì)于x的不等式x2＋(2a＋x＋a2＋2≤0的解集為?，判斷以下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的張口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，則＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因?yàn)閍<1，因此4a－7<0，即對(duì)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為?.故此命題為真命題.方法二利用原命題的真假去判斷逆否命題的真假.因?yàn)閷?duì)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4－7≥0，解得≥7≥1，aa4因此原命題為真，故其逆否命題為真.引申研究227判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若對(duì)于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2>0的解集為R，則a<4”的逆否命題的真假.解先判斷原命題的真假以下：因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，對(duì)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集為R，且拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的張口向上，因此＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，7因此a<4.5因此原命題是真命題.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題同真同假，因此原命題的逆否命題為真命題.反省與感悟因?yàn)樵}和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的兩個(gè)命題擁有等價(jià)性，因此我們?cè)谥苯幼C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，能夠經(jīng)過證明它的逆否命題為真命題來(lái)間接地證明原命題為真命題.追蹤訓(xùn)練4證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1.證明“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋14b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋10.∴命題“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題.由原命題與逆否命題擁有相同的真假性可知，結(jié)論正確.1.以下語(yǔ)句是命題的是()A.2014是一個(gè)大數(shù)若兩條直線平行，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎a≤15答案B剖析A、D不能夠判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問句，不是命題.2.命題“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”的條件是()兩個(gè)平面一條直線垂直兩個(gè)平面垂直于同一條直線答案D剖析只需分清命題中的條件和結(jié)論即可.3.命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是()A.若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)6B.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C.若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D.若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)答案B剖析否命題是既否認(rèn)條件又否認(rèn)結(jié)論.因此否命題應(yīng)為“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)”.命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”與它的抗命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.2C.3D.4答案B剖析命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命題，則其逆否命題是假命題.該命題的抗命題為“若ac2>bc2，則a>b(a，b，c∈R)”是真命題，則其否命題是真命題.故選B.給出以下命題：①“若x2＋y2≠0，則x、y不全為零”的否命題；②“正多邊形都相像”的抗命題；③“若>0，則x2＋－＝0有實(shí)根”的逆否命題.mxm其中為真命題的是________.答案①③剖析①否命題是“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”，真命題.②抗命題是“若兩個(gè)多邊形相像，則這兩個(gè)多邊形為正多邊形”，假命題.③∵＝1＋4m，當(dāng)m>0時(shí)，>0，∴x2＋x－m＝0有實(shí)根，即原命題為真.∴逆否命題為真.能夠判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題能夠給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可.2.任何命題都是由條件和結(jié)論組成的，能夠?qū)懗伞叭魀，則q”的形式.含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式時(shí)，大前提應(yīng)保持不變.寫四種命題時(shí)，能夠按以下步驟進(jìn)行：找出命題的條件p和結(jié)論q；寫出條件p的否認(rèn)和結(jié)論q的否認(rèn)；依照四種命題的構(gòu)造寫出所有命題.4.判斷命題的真假能夠依照互為逆否的命題真假性相同來(lái)判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ).7分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.以下語(yǔ)句中，不能夠成為命題的是()A.5>12x>0已知a、b是平面向量，若a⊥b，則a·b＝0三角形的三條中線交于一點(diǎn)答案B剖析A是假命題，C、D是真命題，B中含變量x，未指定x的取值范圍，無(wú)法判斷真假，故不是命題.2.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”語(yǔ)句“最高氣溫30℃時(shí)我就開空調(diào)”不是命題命題“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題語(yǔ)句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題答案D剖析對(duì)于A，改寫成“若，則”的形式應(yīng)為“若有兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相等”；pqB所給語(yǔ)句是命題；C的反例能夠是“用邊長(zhǎng)為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來(lái)說(shuō)明.應(yīng)選D.3.已知命題“若ab≤0，則≤0或≤0”，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()abA.真命題，否命題：“若ab>0，則a>0或b>0”B.真命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0”C.假命題，否命題：“若>0，則>0或b>0”abaD.假命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0”答案B剖析“若a>0且>0，則>0”是真命題，又“若>0且b>0，則>0”是“若≤0，babaabab則a≤0或b≤0”的逆否命題，故原命題為真命題.已知命題的否命題是“若ab>0，則a>0且b>0”.4.以下命題中為真命題的是()A.命題“若x>2016，則x>0”的抗命題B.命題“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題C.命題“若x2＋x－2＝0，則x＝1”D.命題“若x2≥1，則x≥1”的逆否命題8答案B剖析A選項(xiàng)，“若x>2016，則x>0”的抗命題為“若x>0，則x>2016”是假命題；B選項(xiàng)，“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0，則xy≠0”是真命題；C選項(xiàng)，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命題；D選項(xiàng)，“若x2≥1，則x≥1”是假命題，故其逆否命題是假命題.5.若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是()A.互抗命題B.互否命題C.互為逆否命題D.以上都不正確答案A已知命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”，在它的抗命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案B剖析命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”是真命題，故其逆否命題是真命題.該命題的抗命題為“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”是假命題，故其否命題也是假命題，應(yīng)選B.以下命題：(1)若“a2<b2，則a<b”的抗命題；(2)“全等三角形面積相等”的否命題；(3)“若a≥0，則2－2ax＋＋3>0的解集為R”的逆否命題；(4)“若3(x≠0)為有理數(shù)，axax則x為無(wú)理數(shù)”.其中正確的命題是()A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4)答案A剖析對(duì)于(1)，抗命題是“若a<b，則a2<b2”，易知是假命題；對(duì)于(2)，否命題是“若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形的面積不相等”，易知是假命題；對(duì)于(3)，結(jié)論建立的條件是a＝0或a>0，22－4a＋3aa故a≥0，原命題與其逆否命題真假性相同，因此(3)正確；對(duì)于(4)，若x為有理數(shù)，則3x必為無(wú)理數(shù)，因?yàn)?為有理數(shù)，故x為無(wú)理數(shù)，則(4)正x確，應(yīng)選A.二、填空題8.已知命題：線段的垂直均分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是________________________________________________，9是________________________________________________________________________.答案一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直均分線上這個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等已知命題p的抗命題是“若實(shí)數(shù)a，b知足a＝1且b＝2，則a＋b<4”，則命題p的否命題是__________________________________.答案若實(shí)數(shù)，b知足a＋≥4，則a≠1或b≠2ab剖析由命題p的抗命題與其否命題互為逆否命題可得.在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的張口向下，則{