八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形新課講義完整版(全8講)

八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形新課講義全面完整版目錄第目錄第一講全等三角形概念及其性質(zhì)第二講全等三角形的判定（SSS）第三講全等三角形的判定（SAS）第四講全等三角形的判定（ASA、AAS）第五講全等三角形的判定（HL）第六講全等三角形的判定綜合第七講角平分線的性質(zhì)第八講全等三角形復(fù)習(xí)測(cè)試第一講全等三角形概念及其性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)全等三角形的有關(guān)概念1）能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做形。2）能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等形。ABABCDEF3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，讀作“全等于”，如△ABC≌△DEF。4）對(duì)應(yīng)元素：①對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)②對(duì)應(yīng)邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF是對(duì)應(yīng)邊③對(duì)應(yīng)角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F是對(duì)應(yīng)角當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，如右圖所示，△ABC和△DEF全等，是，記作△ABC≌△DEF。其中，。2、常見(jiàn)的全等三角形的基本圖形有平移型、旋轉(zhuǎn)型和翻折型。（1）平移型：如下左圖，若△ABC≌△DEF，則BC=EF。將△DEF向左平移得到下右圖，則仍有BC=EF，在右圖中，若知BC=EF，則可推出BE=CF。AABCDEFABCDEF（2）旋轉(zhuǎn)型：如下左圖，兩對(duì)三角形的全等屬于旋轉(zhuǎn)型，圖形的特點(diǎn)是：圖1的旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，有公共部分∠1；圖2的旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O，有一對(duì)對(duì)頂角∠1=∠2。AABC1EDABCDO12（1）（2）ABDC（1）（2）ABCED（3）翻折型：如右圖，兩個(gè)三角形的全等屬于翻折型，其中圖中有公共邊AB全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。知識(shí)延伸：如果兩個(gè)三角形全等，則三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線、高線及對(duì)應(yīng)角的角平分線也相等。4、規(guī)律方法小結(jié)：在尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)，常用的方法有：（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（4）全等三角形中一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。典型例題例1：若把△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到△ADE，請(qǐng)寫(xiě)出圖中所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。BBACDEEABCDO例2：如圖，已知△ABD≌△EABCDOABCDFE例3：ABCDFE例4：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（）A、150B、200C、250例5：如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿AB，AC邊翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則求∠α的度數(shù)。例6：如圖所示，△ABC≌△ADE，∠B和∠D對(duì)應(yīng)，∠C和∠E對(duì)應(yīng)，且∠B=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，則∠EAC等于多少度？

例7：如圖，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，那么DF⊥AC嗎？說(shuō)明理由．例8：如圖，已知△ABE≌△ACD．且AB=AC，求證：(1)∠BAD=∠CAE;(2)BD=CE.例9.如圖，已知，，，，.求的度數(shù).反饋練習(xí)1．如圖，△ABC≌△DCB，若∠l與∠2是一組對(duì)應(yīng)角，則其他的對(duì)應(yīng)角有，，對(duì)應(yīng)邊有，，。2．如圖，△AB≌C△A′B′C′，且點(diǎn)B，B′，C，C′在同一直線上，則BB′=____；若∠A=80o，則∠A′=o，∠B′DC=o。（題1）（題2）（題3）（題4）3．如圖，把△ABC沿直線BC翻折180o，得到△DBC，則△ABC與△DBC的關(guān)系是。4．如圖，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AED，那么△ABC△AED，其中對(duì)應(yīng)邊有，，，對(duì)應(yīng)角有，，。5．（南通）已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=70o，∠C=25o，則∠AEB=。（題5）（題6）（題7）（題9）6．如圖，△ABD≌△ACD，AB=AC，則∠BAD=∠，BD=，∠ADB=度7．如圖，若△ABC≌△EDC，且∠B=58o，CD=2cm，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，則∠E=，BC=cm.8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周長(zhǎng)為32cm，DE=9cm,EF=12cm，則AB=cm,BC=___cm，AC=9．如圖，直角△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90oC．AC=DFD．EC=CF10.下列說(shuō)法，(1)形狀相同的兩個(gè)三角形是全等三角形；(2)面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；(4)若△ABC≌△DEF，則∠A=∠D，AB=EF.其中正確的個(gè)數(shù)有()A.l個(gè)B.2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)11．如圖所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，則下列結(jié)論：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.l個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為()A．15oB．20oC．25oD．30o（題11）（題12）（題13）（題14）（題15）（題16）13．如圖，△ABC≌△CDA，下列各組邊中，不是對(duì)應(yīng)邊的是()A．AB與DCB.AC與CAC.AD與CBD.AD與DC14.如圖，△ABC≌△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D．若∠BAD=100o，∠CAE=40o，求∠BAE的度數(shù)．15、如圖所示，△ABC≌△AEC，B和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各內(nèi)角的度數(shù)．

16、如圖，已知≌，求證：第二講全等三角形的判定（SSS）知識(shí)要點(diǎn)1、三角形全等的判定方法一：SSS三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。書(shū)寫(xiě)格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）規(guī)律方法小結(jié)：（1）有的題目可以直接從圖中找到全等的條件，而有的題目的條件則隱含在題設(shè)或圖形之中，我們一定要認(rèn)真讀圖，準(zhǔn)確地把握題意，找準(zhǔn)所需條件。（2）數(shù)形結(jié)合思想：將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，這是解決問(wèn)題的一種思想方法。典型例題例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線.求證：△ABD≌△ACDBBCDEFA例2．已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求證：ABCDEF．例3.如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.求證:DF//CE.、例4.如圖，已知△ABE≌△ACD，求證：∠l=∠2.例5.如圖，點(diǎn)A，C，B，D在同一條直線上，且AC=BD，AM=CN，BM=DN.求證：AM∥CN，BM∥DN．例6.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求證：∠A=∠C．例7．如圖所示，AB=AE．BC=ED，CF=FD．AC=AD，求證：∠BAF=∠EAF.（三）練習(xí)：1．如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=62o，則∠BAC=度．2．如圖，已知AB=CD，AD=CB，還有條件，可判定△ABC≌△CDA，其依據(jù)是．（題1）（題2）（題3）3．如圖，在△ABD和△ACE中，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若∠l=20o，則∠2=．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)0，且AO=BO，CO=DO，AD=BC，則圖中全等三角形有對(duì)．5．如圖，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80o，∠ADC=50o，則∠A=o，∠C=o．（題4）（題5）（題6）6．如圖，已知AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：(1)△ABD≌△ACD；(2)∠B=∠C;(3)AD平分∠BAC;(4)AD⊥BC.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)7．下列說(shuō)法：(1)周長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等；(2)有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(3)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(4)有底和腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A.4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)8．下列命題中正確的是()A．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．兩個(gè)等邊三角形全等C．兩個(gè)等腰直角三角形全等D．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角也相等，9．如圖，已知AB=AC，BD=CD．求證：∠l=∠2.10.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是BC的三等分點(diǎn)，且AD=AE.求證：△ABD≌△ACE.11.如圖，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AB=DC，AC=BD，求證：OB=OC12.如圖，E、C兩點(diǎn)在線段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求證：△ABC≌△DEF13.如圖16，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M.(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)過(guò)點(diǎn)C作CN∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BN//AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段∠NBC和∠NCB數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．14.已知如圖，A、E、F、C四點(diǎn)共線，BF=DE，AB=CD.⑴請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基礎(chǔ)上，求證：DE∥BF.第三講全等三角形的判定（SAS）（一）知識(shí)要點(diǎn)1、三角形全等的判定方法二：SAS兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）。書(shū)寫(xiě)格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）知識(shí)延伸：“SAS”中的“A”必須是兩個(gè)“S”所夾的角。例1.如圖所示，直線AD、BE相交于點(diǎn)C，AC=DC，BC=EC.求證：AB=DE例2：如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求證：△ABD≌△ACEAABCDE規(guī)律·方法：證明三角形全等時(shí)，一般需要三個(gè)條件，如果已知兩對(duì)邊，就試著去找第三對(duì)邊或這兩對(duì)邊的夾角，利用“SSS”或“SAS”來(lái)證明兩個(gè)三角形全等；例3：如圖，C為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A，D分別在BE的兩側(cè)，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求證：AC=CDAABCDE例4．如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求證：CE=BD．例5：如圖，點(diǎn)E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D例6.如圖，BE、CF分別是△ABC的高．P是BE上一點(diǎn)。且BP=AC，Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CQ=AB，求證：AP⊥AQ.（三）練習(xí)1．如圖，已知∠l=∠2，AD=AC，則△____≌△，其依據(jù)是。2．如圖，∠l=∠2，AB=AC，AE=AD，則△ABD≌△，依據(jù)是，由此還可得BD=。（題1）（題2）（題3）3．如圖，AC=AB，AD平分∠CAB，點(diǎn)E在AD上，則圖中全等的三角形有____對(duì)，它們是。4．（天門(mén)）如圖，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，還需添加一個(gè)條件（只需寫(xiě)一個(gè)）．5．小明為了測(cè)量池塘對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，作了如下的操作（如圖）：①取一能夠到達(dá)A，B兩點(diǎn)的點(diǎn)D;②連接AD并延長(zhǎng)AD于點(diǎn)E，使AD=ED．連接BD并延長(zhǎng)BD至C，使BD=CD;③連接CE.那么要知道AB的長(zhǎng)度，應(yīng)測(cè)量線段的長(zhǎng)度．（題4）（題5）（題6）（題7）6．如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=CD，點(diǎn)E在AD上；則圖中全等三角形共有()A.l對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)7．如圖有下列四個(gè)條件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′其中任取三個(gè)為題設(shè)，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的命題的個(gè)數(shù)是()A.l個(gè)B。2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8．下列命題中錯(cuò)誤的是()A．有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等9．下列條件中，可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是()A.BC=BA,B′C′=B′A′，∠B=∠B′B．∠A=∠B′，AC=A′B′，AB=B′C′C.∠A=∠A′,AB=B′C′,AC=A′C′D.BC=B′C′,AC=A′B′,∠B=∠C′10.如右圖，已知AB∥CD，AB=CD，BE=DF，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)有()A．3對(duì)B．4對(duì)C．5對(duì)D.6對(duì)11．如圖，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，在△ABC與△DEF中，AB=DE,AC=DF,AC∥DF.(1)求證：△ABC≌△DEF;(2)你還可以得到的結(jié)論是（寫(xiě)出一個(gè)即可，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母）．12.如圖13，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD∥BE，且CD=BE，求證：∠D=∠E.13.已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求證：（1）△ABD≌△ACE（2）∠ADB=∠AEC14、如圖，在中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，與有什么位置關(guān)系？說(shuō)明你判斷的理由。第四講全等三角形的判定（ASA及AAS）（一）知識(shí)要點(diǎn)1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）。書(shū)寫(xiě)格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）知識(shí)延伸：“ASA”中的“S”必須是兩個(gè)“A”所夾的邊。兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）。書(shū)寫(xiě)格式：在△ABC和△A’B’C’中，ABCABCA’B’C’∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）知識(shí)延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推論。規(guī)律方法小結(jié)：由“角邊角”及“角角邊”可知兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。無(wú)論這個(gè)一邊是“對(duì)邊”還是“夾邊”，只要對(duì)應(yīng)相等即可。(二)例題講解：例1.如圖所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求證：AD=AE例2.如圖，AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求證：AB=AD練習(xí)：如圖所示,點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AB∥DF，AC∥DE，ACDE，F(xiàn)C與BE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.例3．已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CD．AACBDEFABCDA’B’C’D’例4：如圖，已知△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分別是△ABC和△A’BABCDA’B’C’D’例5．如圖，點(diǎn)E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4.試證明BE=DE.（三）練習(xí)1．如圖，已知AB=DC，AD=BC，E，F(xiàn)是DB上的兩點(diǎn)，且BE=DF.若∠AEB=100o，∠ADB=30o．則∠BCF=。2．如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，∠1=∠2，則圖中的全等三角形共有對(duì)．（題1）（題2）（題3）（題4）3．如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC的周長(zhǎng)為25cm17cm，則AB=.4．（海南）在△ABC和△中，AB=AB，∠A=∠A，要使△ABC≌△ABC，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．5．如圖，∠E=F=∠90o．∠B=∠C，AE=AF.給出下列結(jié)論：①∠l=∠2；②BE=CF;③△ACN≌△ABM；④CD=DN.其中正確的結(jié)論是____（注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）．6．下列結(jié)論：(1)一個(gè)銳角與斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)-腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等；(3)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(4)頂角與一腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等，其中正確的個(gè)數(shù)有()A．1個(gè)B．2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)7．（成都）如圖，在△ABC與△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()A、∠B=∠E，BC=EFB、BC=EF,AC=DFC、∠A=∠D,∠B=∠ED、∠A=∠D,BC=EF.8．下列條件中，能判定兩個(gè)三角形全等的是()A．有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等B．有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等C．有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等D．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等9．如圖，已知△ABC的面積為36，將△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′，點(diǎn)B′和C重合，連接AC′交A′C于D，則△C′DC的面積為()A．6B．9C．12D．18（題9）（題10）10.如圖所示，在LAOB的兩邊上截取AO=BO，CO=DO，連接AD，BC交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD；③點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．其中正確的是()A．只有①B．只有②C．①②D．①②③11.如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求證：△ABC≌△DEF.12.如圖所示，∠l=∠2，∠D=∠C，求證；AC=BD.13、如圖，已知∠A=∠B=∠DCE，CD=CE．

(1)說(shuō)明△ACD與△BEC全等的理由；(2)請(qǐng)判斷線段AB、AD、BE之間有怎樣的數(shù)量，并說(shuō)明理由．

第五講全等三角形的判定（HL）（一）知識(shí)要點(diǎn)1、直角三角形全等的判定方法：HLABCA’B’C’斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成ABCA’B’C’書(shū)寫(xiě)格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∵∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）規(guī)律方法小結(jié)：證明兩個(gè)直角三角形全等的方法：除了證明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，還有一個(gè)特殊的證明方法：HL（斜邊、直角邊），從表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三個(gè)條件，其實(shí)，HL也是三個(gè)條件，除了直角邊、斜邊對(duì)應(yīng)相等這兩個(gè)條件以外，還有“必須在Rt△”中才能用這種方法。(二)經(jīng)典例題例1：如圖，在Rt△ABC中，∠A=900，點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn)，且BD=BA，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交ABABCDEBCDEFA例2：已知：BE⊥CD，BEBCDEFA求證：①BECDAE；②DF⊥BC．例3．如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.例4.如圖，∠ACB∠=ADB=90o．AC=AD，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．求證：CE=DE.例5.如圖，AD為△ABC的高，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD．(1)求證：BE⊥AC；(2)若把條件BF=AC和結(jié)論BE⊥AC互換，那么這個(gè)命題成立嗎？證明你的論斷．（三）練習(xí)1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一個(gè)條件（只需填一個(gè)），就可以判定△ABD≌△ACD.（題1）（題2）（題3）（題4）2．如圖，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F．若BE=CF，則△ABE≌△，其依據(jù)是.3．已知RtABCA′B′C′,∠C′=∠C=90o,AB=5,BC=4,AC=3,則A′B′C′的周長(zhǎng)是，面積是，斜邊上的高為_(kāi)____．4．如圖，在RtABC中，∠BAC=90o,AB=AC,分別過(guò)B，C作經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線的垂線BD，CE.若BD=3cm．CE=4cm，則DE=。5．如圖所示，有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的滑梯(即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則∠ABC+∠DFE=。

（題5）（題7）（題9）（題10）6．兩個(gè)直角三角形全等的條件是()A．一銳角對(duì)應(yīng)相等B．一條邊對(duì)應(yīng)相等C．兩銳角對(duì)應(yīng)相等D．兩條邊對(duì)應(yīng)相等7．如圖，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，則圖中全等的三角形有()A.l對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)8．下列命題中，正確的有()①兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；④一銳角和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑤一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)9．如圖所示，∠C=90o，DE⊥AB于點(diǎn)D，BD=BC，如果AC=6cm，則AE+DE=()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm10.如圖所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列結(jié)論：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC∠=CBD;④OC=OD．其中正確的是()．A．①②⑤④B．①②③C．①②D．②③11．已知：如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.求證：(1)AF=CE；(2)AB∥CD．12.如圖所示，AC⊥CF于點(diǎn)C，DF⊥CF于點(diǎn)F，AB與DE交于點(diǎn)D，且EC=BF，AB=DE．求證：AE=BD.13、如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，且，求證：14、如圖，、、、在同一條直線上，于，于，，．探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．第六講全等三角形的判定綜合ABABCDEFO例1：如圖，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF。求證：EB∥CF例2.如圖,已知;CD⊥AB,于D,BE⊥AC于E,BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證:OB=OC.例3．如圖，A、F、C、D四點(diǎn)在同一直線上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE._F_E_D_F_E_D_C_B_A（2）∠CBF=∠FEC.例4：在直角三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB邊上任一點(diǎn),AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求證:BD=CG.例5.如圖.已知AB=DC,∠A=∠D,求證:∠ABC=∠DCB.二．課后練習(xí)：1、如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC2、已知：如圖12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE=BF。ADECBFADECBF（2）AE=CF。3、如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過(guò)B，C向經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)。（1）證明：EF與斜邊BC不相交時(shí)，則有EF=BE+CF（如圖1）。（2）如圖2，EF與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)給出證明。(8分)4、已知：如圖,D、E分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上,且EF=DE．求證：(1)BD=FC(2)AB∥CF5、已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=ADEDEDCAB第七講角的平分線的性質(zhì)ABABCDEOP1、角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。符號(hào)語(yǔ)言：如圖，已知OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于E，則PD=PE。2、角的平分線的性質(zhì)的推導(dǎo)：已知，如上右圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于E，求證：PD=PE。證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定義）又∵OC平分∠AOB（已知）∴∠AOC=∠BOC（角的平分線定義）在Rt△DOP和Rt△EOP中ABABCDEOP∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）2、角的平分線的逆應(yīng)用（角平分線的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。CABED如右圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部的一條射線OC上，并且PD⊥OA于點(diǎn)D，PECABED（二）典型例題例1：在△ABC中，∠C=900，AD是∠BAC的平分線，若DC=6，則D點(diǎn)到AB的距離是_______________。OABCDE例2：如圖，已知OE平分∠OABCDE求證：EA=EB例3.如圖，在△ABC中，∠A=90o，AC=AB，BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，已知BC=10cm，求△EDC的周長(zhǎng)．ABCDEOABCDEO12求證：∠1=∠2ABDPOMN例5：如圖所示，已知OD平分ABDPOMN規(guī)律·方法：運(yùn)用腳平分線的性質(zhì)解題時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）應(yīng)注意交代清楚角平分線及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離這兩個(gè)方面，既不允許心里想到而不書(shū)寫(xiě)其過(guò)程，更不允許在條件不具備時(shí)而得到線段相等的結(jié)論；（2）運(yùn)用角平分線時(shí)，可以省去證明三角形全等的過(guò)程，可以直接得到線段相等，以免走回頭路。ABCDEFO例6：如圖，AD是△ABC中ABCDEFO例7：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。ABCD求證：∠A+∠ABCD(三)練習(xí)1．如圖，在△ABC中，已知∠C=90o，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是cm．2．如圖，已知∠BAC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)D．OE⊥AC于點(diǎn)E，且OE=2cm，則點(diǎn)D到AB，CD的距離之和是____．3．如圖，已知點(diǎn)C是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P，P′分別在OA，OB上，若要得到OP=OP′，需要添加以下條件(1)∠OCP=∠OCP′；(2)∠OPC=∠OP′C;(3)PC=P′C;(4)PP′⊥OC中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫(xiě)出所有可能的結(jié)果序號(hào)：．4．如圖，已知點(diǎn)P到BE，BD．AC的距離都相等，則點(diǎn)P的位置：(1)在∠B的平分線上；(2)在∠DAC的平分線上；(3)在∠ECA的平分線上；(4)恰是∠B，∠DAC，∠ECA三條角平分線的交點(diǎn)，則上述結(jié)論中，正確的有____個(gè)．（題4）（題5）（題6）（題7）（題8）5．如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，已知PE=3，則點(diǎn)P到AB的距離是()A．3B．4C．5D．66．如圖所示，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)．PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，則下列結(jié)論(1)PM=PN;(2)AM-AN=0．(3)△APM和△APN的面積相等；(4)∠PAN+∠APM=90o中，正確的個(gè)數(shù)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)7．如圖所示，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列四個(gè)結(jié)論(1)BD=CD且AD=BC;(2)∠BDE=∠CDF;(3)AD上任意一點(diǎn)到線段BC兩端點(diǎn)距離相等；(4)AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等．其中正確的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)8．如圖，AB=AD，∠ABC=ADC=90o，則①AC平分∠BAD，②CA平分∠BCD，③AC平分BD，④BD平分∠ADC中，正確的結(jié)論有()A．①②B．①②③C．①②③④D．只有①9．如圖，△ABC中，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E求證：MD=ME.10.如圖，是的角平分線，，，垂足分別是。連接，交于點(diǎn)。說(shuō)出與之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。11.如圖，是的外角的平分線上一點(diǎn)，于，于，且交的延長(zhǎng)線于。求證：。第八講全等三角形復(fù)習(xí)測(cè)試題一、填空題．（30分）1．下列條件能確定△ABC的形狀和大小的是()A.AB=4,BC=5,∠C=60oB.AB=6,∠C=60o,∠B=70o。C.∠C=60o,∠B=70o,∠A=50oD.AB=4,BC=5,AC=102．（無(wú)錫）如圖，△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80o得到△OCD，已知∠AOB=45o，則∠AOD=()A．55oB．45oC．40oD．35o(2題)（3題）（5題）（6題）3．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=DF.連接BF，CE，下列說(shuō)法(1)CE=BF；(2)△ABD和△ACD的面積相等；(3)BF∥CE;(4)△BDF≌△CDE中正確的有()A.l個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)4．現(xiàn)有長(zhǎng)為3cm，4cm，6cm，8cm的木條各兩根，小明與小剛分別取了3cm和4cm的木條各一根，要使兩人所取的三根木條能組成三角形且組成的兩個(gè)三角形全等，則他倆取的第三根木條應(yīng)為()A．一個(gè)人取6cm的木條，一個(gè)人取8cm的木條B．兩人都取6cm的木條C．兩人都取8cm的木條D.B、C兩種取法都可以5．如圖，已知∠l=∠2，AC=AD，有下列條件：①AB=AE;②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，添加其中一個(gè)能使△ARC≌△AED的條件有()A.4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)6．如圖，AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE，CF交于點(diǎn)D，則(1)△ABE≌△ACF;(2)△BDF≌△CDE;(3)點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上．其中正確的結(jié)論有()A.(1)B.(2)C.(1)與(2)D.(1)(2)(3)7．下列條件不一定能使兩個(gè)三角形全等的是()A．兩邊一角對(duì)應(yīng)相等B．兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等C．三邊對(duì)應(yīng)相等D．兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等8．如圖，△ABC中BC邊上的高為h，△DEF中DE邊上的高為h，下列結(jié)論正確的是()（8題）（9題）（10題）9．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上，且BF=CE，連接BE、AF相交于G，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.BE=AFB．∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠BEC