斐波那契數(shù)列算法分析

斐波那契數(shù)列算法分析算法分析背景：假定你有一雄一雌一對(duì)剛出生的兔子，它們?cè)陂L(zhǎng)到一個(gè)月大小時(shí)開(kāi)始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子產(chǎn)下另一對(duì)兔子，過(guò)了一個(gè)月后它們也開(kāi)始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開(kāi)始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下一對(duì)兔子，假定沒(méi)有兔子死亡，在一年后總共會(huì)有多少對(duì)兔子？在一月底，最初的一對(duì)兔子交配，但是還只有1對(duì)兔子；在二月底，雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有2對(duì)兔子；在三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對(duì)兔子，共有3對(duì)兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對(duì)兔子，兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有5對(duì)兔子；……如此這般計(jì)算下去，兔從第3個(gè)數(shù)目開(kāi)始，每個(gè)數(shù)目都是前面兩個(gè)數(shù)目之和。這就是著名的斐波那契(Fibonacci)數(shù)列。1，有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階,規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí),要登上第級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法答：這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十級(jí)，有89種。所謂的黃金分割點(diǎn)，也是代表大自然的和諧的一個(gè)數(shù)字。F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1Fibonacci數(shù)列可以用很直觀的二叉遞歸程序來(lái)寫(xiě)，用C++語(yǔ)言的描longfib1(intn){if(n<=2){return1;}lse{returnfib1(n-1)+fib1(n-2);}}看上去程序的遞歸使用很恰當(dāng)，可是在用VC2005的環(huán)境下測(cè)試n=37的時(shí)候用了大約3s，而n=45的時(shí)候基本下樓打完飯也看不到結(jié)果……顯然這種遞歸的效率太低了??！例如，用下面一個(gè)測(cè)試函數(shù)：longfib1(intn,int*arr){arr[n]++;if(n<=2){return1;}lse{returnfib1(n-1,arr)+fib1(n-2,arr);}}fibi被計(jì)算的次數(shù)：fib(10)=1fib(9)=1fib(8)=2fib(7)=3fib(6)=5fib(5)=8fib(4)=13fib(3)=21fib(2)=34fib(1)=55fib(0)=34可見(jiàn)，計(jì)算次數(shù)呈反向的Fibonacci數(shù)列，這顯然造成了大量重復(fù)計(jì)我們令T(N)為函數(shù)fib(n)的運(yùn)行時(shí)間，當(dāng)N>=2的時(shí)候我們分析可T(N)=T(N-1)+T(N-2)+2而fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)，所以有T(N)>=fib(n)，歸納法證明fib(N)<(5/3)^N顯然這個(gè)O((3/2)^N)是以指數(shù)增長(zhǎng)的算法，基本上是最壞的情況。其實(shí)，這違反了遞歸的一個(gè)規(guī)則：合成效益法則。合成效益法則(Compoundinterestrul：在求解一個(gè)問(wèn)題的同一實(shí)例的時(shí)候，切勿在不同的遞歸調(diào)用中做重復(fù)性的工作。所以在上面的代碼中調(diào)用fib(N-1)的時(shí)候?qū)嶋H上同時(shí)計(jì)算了fib(N-2)。這種小的重復(fù)計(jì)算在遞歸過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生巨大的運(yùn)行時(shí)間。用一叉遞歸程序就可以得到近似線性的效率，用C++語(yǔ)言的描述如longfib(intn,longa,longb,intcount){if(count==n)returnb;returnfib(n,b,a+b,++count);}longfib2(intn){returnfib(n,0,1,1);}這種方法雖然是遞歸了，但是并不直觀，而且效率上相比下面的迭代循環(huán)并沒(méi)有優(yōu)勢(shì)。Fibonacci數(shù)列用迭代程序來(lái)寫(xiě)也很容易，用C++語(yǔ)言的描述如下：//也可以用數(shù)組將每次計(jì)算的f(n)存儲(chǔ)下來(lái)，用來(lái)下次計(jì)算用(空l(shuí)ongfib3(intn){longx=0,y=1;for(intj=1;j<n;j++){y=x+y;x=y-x;}returny;}Fibonacci[0]=0，F(xiàn)ibonacci[1]=1Fibonacci[n]=Fibonacci[n-1]+Fibonacci[n-2](n>=2)可以將它寫(xiě)成矩陣乘法形式：將右邊連續(xù)的展開(kāi)就得到：C碼如下：classMatrix{public:longmatr[2][2];Matrix(constMatrix&rhs);Matrix(longa,longb,longc,longd);Matrix&operator=(constMatrix&);friendMatrixoperator*(constMatrix&lhs,constMatrix&rhs){Matrixret(0,0,0,0);ret.matr[0][0]=lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0]+lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];ret.matr[0][1]=lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1]+lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];ret.matr[1][0]=lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0]+lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];ret.matr[1][1]=lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1]+lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];returnret;}Matrix::Matrix(longa,longb,longc,longd){this->matr[0][0]=a;this->matr[0][1]=b;this->matr[1][0]=c;this->matr[1][1]=d;}Matrix::Matrix(constMatrix&rhs){this->matr[0][0]=rhs.matr[0][0];this->matr[0][1]=rhs.matr[0][1];this->matr[1][0]=rhs.matr[1][0];this->matr[1][1]=rhs.matr[1][1];}Matrix&Matrix::operator=(constMatrix&rhs){this->matr[0][0]=rhs.matr[0][0];this->matr[0][1]=rhs.matr[0][1];this->matr[1][0]=rhs.matr[1][0];this->matr[1][1]=rhs.matr[1][1];}Matrixpower(constMatrix&m,intn){ifn)returnm;if(n%2==0)returnpower(m*m,n/2);returnpower(m*m,n/2)*m;}longfib4(intn){Matrixmatrix0(1,1,1,0);matrix0=power(matrix0,n-1);returnmatrix0.matr[0][0];}longfib5(intn){doublez=sqrt(5.0);doublex=(1+z)/2;doubley=(1-z)/2;return(pow(x,n)-pow(y,n))/z+0.5;}這個(gè)與數(shù)學(xué)庫(kù)實(shí)現(xiàn)開(kāi)方和乘方本身效率有關(guān)的，我想應(yīng)該還是在O(log(n))的效率。解斐波那契數(shù)列的方法，用測(cè)試程序主函數(shù)如下：intmain(){cout<<fib1(45)<<endl;cout<<fib2(45)<<endl;cout<<fib3(45)<<endl;cout<<fib4(45)<<endl;cout<<fib5(45)<<endl;return0;}函數(shù)fib1會(huì)等待好久，其它的都能很快得出結(jié)果，并且相同為：。而后面兩種只有在的時(shí)候會(huì)顯示出優(yōu)勢(shì)。由于我的程序都沒(méi)有涉及到高精度，所以要是求大數(shù)據(jù)的話，可以通過(guò)取模來(lái)獲得結(jié)果的后4位來(lái)測(cè)試效率與正確性。另外斐波那契數(shù)列在實(shí)際工作中應(yīng)該用的很少，尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)n很大的時(shí)候(例如：)，所以綜合考慮基本普通的非遞歸O(n)方法就很好了，沒(méi)有必要用矩陣乘法。1、N皇后問(wèn)題算法設(shè)計(jì)ALGORITHMprocedurePLACE(k)globalX(1：k)；integeri，kwhilei<kdoifX(i)＝X(k)//在同一列有兩個(gè)皇后//orABS(X(i)－X(k))＝ABS(i－k)//在同——條斜角線上//thenreturn(false)endifi←i+1repeatreturn(true)//滿(mǎn)足約束//endPLACEprocedureNQUEENS(n)nnn相攻擊的所有可能位置//Whilek>0do//對(duì)所有的行執(zhí)行以下語(yǔ)句//{X(k)←X(k)+1//移到下一列//otPLACEkdo{X(k)←X(k)十l;}//如果第k個(gè)皇后的列X(k)不合理，就看下一列//ifX(k)≤n//找到一個(gè)位置//thenifk=n//是一個(gè)完整的解嗎//thenprint(X)//是，打印這個(gè)數(shù)組//else{k←k+1；X(k)←0；}endif//擴(kuò)展，搜索下一個(gè)皇后//elsek←k－1//回溯//endif}endNQUEENSProgram:#include<stdio.h>#include<math.h>intkaj1,flag,n,c=0;//k為解的個(gè)數(shù),n為皇后的個(gè)數(shù),flag標(biāo)記有沒(méi)有放置皇后voidlycQueen(){//遞歸求解函數(shù)for(h=1;h<=n;h++){a[j]=h;后在同一行或者同一對(duì)角線上,沖突elseflag=1;//沒(méi)沖突,放置一個(gè)皇后}//forif(flag==0&&a[j]!=n)continue;//沒(méi)試探完,繼續(xù)試探ifflagj=n){//放置完n個(gè)皇后,得到一個(gè)解k=k+1;c=1;//解的個(gè)數(shù)加1for(i=1;i<=n;i++)printf("%d",a[i]);//輸出第i個(gè)皇后放置的行號(hào)printf("\n");if(a[j]==n)flag=0;if(flag==1