非平穩(wěn)信號分析與處理概述(范本模板)

1《非平穩(wěn)信號分析與處本章主要內容:討論非平穩(wěn)信號的時－頻分析,包分析與處理平穩(wěn)信號最常用的數學工具是Fourier分析。它建立了信號從時域到頻域變換的橋梁。它表征了信號從時域到頻域的一種整體(全局)變換。在許多實際應用中，信號大多是非平2穩(wěn)的,其統計量(如均值、相關函數、功率譜等)是時變的,這時采Fourier情況，需引入新的處理信號的數學工具，時頻表示和時頻分析是源于考慮信號的局部特性而引入的。時頻分析：能夠描述信號的能量密度分布的時頻表示稱為時頻分ww⑴定義(解析信號)：與實信號s(t)對應的解析信號(analyticsignal)z(t)定義為z(t)=s(t)+jн[s(t)]，其中н[s(t)]是s(t)的Hilbert變換。若3ffs(t)=—н2[x(t)]⑵實的調頻信號a(t)cos0(t)對應的解析信號為z(t)=a(t)cos0(t)+jн[a(t)cos0(t)]=A(t)ej0(t)⑶任何一個實調幅—調頻信號a(t)cos0(t)的解析信號若滿足一定的條件，就可寫成式(2.1)所示的形式.⑷實窄帶高頻信號s(t)=a(t)cos[2πf0t+0(t)]的解析信號為(2.2)基帶信號zB(t)=a(t)ej0(t)頻分析中和解析信號具有相同的性質。⑸高頻窄帶信號的實信號、解析信號和基帶信號的比較及其轉換。⑴瞬時頻率fi=i2dt4可以看出它為解析信號的相位的導數。物理意義：把解析信號z(t)表示為復平面的一向量，則瞬時頻率即為向量幅角的轉速。⑵群延遲τg(f)頻率信號的群延遲定義為物理意義：設零相位的信號加有一線性相位，則信號做不失真延遲，其延遲時間為該線性相位特性的負斜率。需要指出的是,瞬時頻率和群延遲可以描述非平穩(wěn)信號的時頻局域特性,但它們只能用于理想的單分量信號場合。(f)的有限寬度B=f分別稱為該信號的時寬和帶寬，并定義為：和B2=(f)2=jf2Z(f對信號z(t)沿時間軸做拉伸z(t)=z(kt)，由時寬定義k可求得拉伸信號是原信號時寬的k倍，即T=kT；類似地，可求kzzk出拉伸信號的帶寬是原信號帶寬的1,即B=1B。由此可見kzkkzTB=TB=常數，這一結論說明對任何信號恒有TB=常數的可能zkzkzz對于有限能量的任意信號，其時寬和帶寬的乘積總滿足不等5不確定性原理也稱測不準原理或4242Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分別稱為時間分辨率和頻率分辨率,表示兩時間點和兩頻率重要意義：既有任意小的時寬，又有任意小的帶寬的窗函數是根本不存在的.線性時頻表示:滿足疊加原理或線性原理，如:z(t)=cz(t)+cz(t)→T(t,f)=cT(t，f)+cT(t，1122z1z12z2⑴定義：給定一個時間寬度很短的窗函數γ(t),令窗滑動，則信號z(t)的短時Fourier變換定義為STFTz(t,f)=j[z(t')y*(t't)]ej2ft'dt'(2。3)選擇局域的特性，它既是時間的函數,又是頻率的函數，對于一定的時刻t，STFTz(t，f)可視為該時刻的“局部頻譜"。⑵信號完全重構的條件：重構就是由STFTz(t,f)求出原信號z(t)的過程z6(2.4)顯然，為了實現信號的“完全重構”，則需窗函數滿足如下條件:(2.5)可以看出，滿足式(2.5)的窗函數很多，如何選擇將取決于所研究信號的局域平穩(wěn)特性.這里有三種最簡單的選擇：①g(t)=γ(t)②g(t)=6(t)③g(t)=1當取條件①時，完全重構條件成為即所謂能量歸一化，這時式(2。4)可寫成：z(2。6)與維數相同的正、反Fourier變換形成對照的是，短時Fourier正變換是一維變換，而它的反變換是則為二維變換。7以上討論表明：短時Fourier變換式(2.3)相當于信號分析，通過分析窗得到二維的時頻分布STFT(t，f),它在任一時刻t的Z切片即是信號在該時刻的“局部頻譜".短時Fourier反變換即式(2.6)相當于信號的綜合，它通過綜合窗從STFT(t，f)恢復z(t')=z(t')ej2冗f0t')STFT(t,f)=STFT(t,f一f)~z0z(2.7)0~z0z(2。8)過，在相差一相位因子范圍內可以保持時移不變性。⑵將(2.3)式在時域的加窗實現變換為頻域的濾波實現，則有STFT(t，f)=e一j2冗tfjwZ(f')T*(f'一f)ej2冗f'tdf'Z一w(2。9)其中，譜窗T(f)是時間窗y(t)的Fourier變換。式(2。9)可以解釋是一個帶通濾波器，中心頻率為f.將式(2。9)做變量代換：f''=f'一f，可得STFT(t，f)=jwZ(f'+f)T*(f')ej2冗f'tdf'Z一w(2.10)8式(2.10)可視為短時Fourier的低通濾波器實現，與帶通實現3．窗函數g(t)的選擇如前所述，滿足能量歸一條件的窗函數很多，然而描述局部特性的時間分辨率和頻率分辨率相互制約，即不可能同時獲得具有當g(t)=6(t)時，時寬為零，頻率帶寬為無窮大,所以相應的STFT具有理想的時間分辨率,但此時沒有頻率分辨率;當g 綜上所述,局部譜的正確表示應考慮窗函數g(t)的寬度與信號的局域平穩(wěn)長度相適應。在實際應用中，我們希望選擇的窗函數具有很好的時間和頻率聚集性(即能量在時頻平面是高度集中Z9與(2。5)相對應的約束條件為:FFnm_w2。3時頻分布的一般理論。信號的雙線性變換和局部相關函數對非平穩(wěn)信號z(t)進行時頻分析的主要目的是要設計時間和時間和頻率的聯合函數P(t,f)稱為信號的時頻分布。類似于平穩(wěn)信號中自相關函數和功率譜密度的關系:_w_w(2。12)我們定義非平穩(wěn)信號的雙線性變換為_w22(2。13)上式中使用對稱形的雙線性變換z(t+T)z*(t_T)更能表現出非平穩(wěn)信22號的某些重要性質.其中Φ(t,τ)為沿t軸滑動的窗函數，同時對局部相關函數作Fourier變換，可得到時變功率譜，即信號能量的時頻分布:(2.14)這表明，時頻分布P(t,f)也可用局部相關函數R(t,T)來定義，而且取不同的局部相關函數形式，就可得到不同的時頻分布。取窗函數0(ut,T)＝0(ut)，則有z2222(2。15)z22(2。16)Wigner—Ville分布是時頻分布中最基本的一種,在其基礎上發(fā)展得到多種其他時頻分布,后面將作詳細討論.2時頻分布的基本性質要求對于任何一種實際有用的非平穩(wěn)信號分析,通常要求時頻分布足下面的一些基本性質。度信號在頻率f功率信號在t時刻的瞬時可以證明,任何具有邊緣特性的聯合分布都服從不確定性原理.性質3：時頻分布關于時間t和頻率f的積分應給出信號的總能量性質4：時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率f(t)和群延遲T(f)，ig即fi(t)=jP(t,f)df和Tg(f)=P(t,f)dt如果信號z(t)只在某個時間區(qū)間取非零值,并且信號的頻譜Z(f)也只在某個頻率區(qū)間取非零值，則稱信號z(t)及其頻譜是有限支撐的。相應地，如果在z(t)和Z(f)的總支撐區(qū)以外，信號的時頻分布等于零，我們稱時頻分布是有限支撐的，這是一種“弱”有限支撐。與此相對應,凡在信號z(t)和它的頻譜Z(f)等于零的各區(qū)有限支撐的時頻分布。邊緣特性連同非負性一起可以保證時頻分布準確反映信號的譜能量，瞬時功率和總能量，同時還可保證時頻分布的強有限支撐性.表2.3。1列出了所有“所期望具有的”數學性質。需要注意的是，并不是所有的時頻分布都能滿足表中的所有性質。實際中適用的時頻分布不一定滿足所有基本性質。根據應用場合，某些性質是可以不必強求的。線性時頻表示滿足疊加原理,這對多分量信號的分析和處理使得時頻分析不再能像線性時頻分布的處理那樣簡單。因此，這里引入時頻表示的“二次疊加原理”如下：令z(t)=cz(t)+cz(t)1122則任何二次型時頻分布服從下面的二次疊加原理：F(t,f)=|c|2F(t,f)+|c|2F(t,f)+cc*F(t,f)+cc*F(t,f)zzz12z1,z221z2,z1式中F(t,f)＝F(t,f)代表信號z(t)的“自時頻分布"(簡稱“信號項")，它是z(t)的雙線性函數；F(t,f)表示信號x(t)和y(t)的“互時頻分布”x,y(簡稱“交叉項")，它是x(t)和y(t)的雙線性函數，交叉項通常相當于干擾。類似地，可推廣到多個分量信號的二次疊加原理。時頻分布的交叉項一般比較嚴重，而且在大多情況下是有害的，需對它進行有效地抑制.2。4模糊函數時頻分布是對信號的雙線性變換z(t+T)z*(t一T)作關于變量T的22(2.17)稱為模糊函數，式中z(t)是s(t)的解析信號。式(2.15)定義的瞬時相關函數z22t為時間，τ為時延.可見,模糊函數可以視為瞬時相關函數關于tz(2。18)＝f一1