江蘇省連云港市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題及答案解析

連云港市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則（）A．90 B．42 C．12 D．102．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)，，滿足，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.B.1C.D.3．可以表示為（）A. B. C. D.4．若展開式中常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．8 D．65．若4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報(bào)1項(xiàng)，則不同的報(bào)名方式有（）A．種 B．種 C．種 D．種6.設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2B.C.或D.2或7．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個(gè)不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3個(gè)不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（）A． B． C． D．8．如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中不能確定點(diǎn)M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.10．若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，則n等于()A．4B．5C．6D．711．若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．12．在長方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A．若是棱上一點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面B．平面截該長方體所得的截面為五邊形C．異面直線，所成的角為D．若是棱上一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為．14．化簡(jiǎn)：＝．15．(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是．16．已知點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量的模為．四、解答題：本共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：（1）；（2）平面．18．（本題滿分12分）在的展開式中，（1）求第三項(xiàng)的系數(shù)；（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？19．（本題滿分12分）在的展開式中，______．給出下列條件：①前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；②第三項(xiàng)的系數(shù)為7；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128．請(qǐng)?jiān)谏厦娴娜齻€(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并且完成下列問題：（1）求n的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）20．（本題滿分12分）在北京冬奧會(huì)期間，某項(xiàng)比賽中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．（1）從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種？（2）從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù)，每個(gè)崗位一人，且男志愿者甲與女志愿者乙至少有1人在內(nèi)，有多少種不同的安排方法？21．（本題滿分12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，．求：（1）二面角的大小；（2）點(diǎn)B到平面CDP的距離．22．（本題滿分12分）如圖，在棱長為4的正方體中，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則（）A．90 B．42 C．12 D．101．A【解析】根據(jù)，且，所以，﹒故選A﹒2．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)，，滿足，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.B.1C.D.2．C【解析】，，，，因?yàn)?，所以，所以，解得．故選C．3．可以表示為（）A. B. C. D.3．C【解析】排列數(shù)的計(jì)算公式,＝﹒故選C﹒4．若展開式中常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．8 D．64．A【解析】展開式的通項(xiàng)為：.取得到常數(shù)項(xiàng)為，解得．故選．5．若4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報(bào)1項(xiàng)，則不同的報(bào)名方式有（）A．34種 B．43種 C．種 D．種5．A【解析】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4人共有34種方法．故選A．6.設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2B.C.或D.2或6.C【解析】，解得或．故選C．7．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個(gè)不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3個(gè)不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（）A． B． C． D．7．C【解析】分兩步，第一步將4個(gè)“冰墩墩”全排列，有種排法；第二步將將3個(gè)“雪容融”插進(jìn)3個(gè)空中，有種排法；按照分步乘法計(jì)數(shù)原理得一共有種排法．故選C．8．如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六8．B【解析】因?yàn)?所以除以7的余數(shù)為1，所以經(jīng)過天后是星期四，故選B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中不能確定點(diǎn)M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.9．ABC【解析】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面，則，選項(xiàng)D確定點(diǎn)M，A，B，C共面．故選ABC．10．若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，則n等于()A．4B．5C．6D．710．BD【解析】由題意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7.11．若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．11．ACD【解析】∵，令則可得：，A正確；令則可得：即，D正確；展開式第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)，則，當(dāng)時(shí)，，B不正確；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，∴，令則可得：，C正確．故選ACD．12．在長方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A．若是棱上一點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面B．平面截該長方體所得的截面為五邊形C．異面直線，所成的角為D．若是棱上一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離最大值為．12．ABD【解析】A：如圖1，若為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)且，易知：，則，為棱的中點(diǎn)，由長方體的性質(zhì)有，故，所以，，，四點(diǎn)共面，A正確；B：如圖2，分別延長交于，連接交于，連接，由A分析知：面即為面，故平面截該長方體所得的截面為五邊形，B正確；（圖1）（圖2）C：如圖3，過作交延長線于，則，過作交延長線于，則且，故異面直線，所成的角為，而，，則，故異面直線，所成的角不為，C錯(cuò)誤；D：如圖4，由題設(shè)及A分析，當(dāng)與重合時(shí)到平面的距離最大，所以只需求到面的距離，將延長交于，并連接，而，所以，則，又，則，故，即到平面的距離最大值為，D正確．故選ABD．（圖3）（圖4）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為______．13．【解析】，，因?yàn)?，所以，解得?4．化簡(jiǎn)：＝______．14．【解析】，故原式＝．15．(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是______．15．2【解析】(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，為Ceq\o\al(0,3)·(2x)0·Ceq\o\al(1,4)·(－x)1＋Ceq\o\al(1,3)·(2x)1·Ceq\o\al(0,4)·14·(－x)0，其系數(shù)為Ceq\o\al(0,3)×Ceq\o\al(1,4)×(－1)＋Ceq\o\al(1,3)×2×Ceq\o\al(0,4)＝－4＋6＝2.16．已知點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量的模為______．16．【解析】，，所以，，向量在向量上的投影為；向量在向量上的投影向量為，即向量在向量上的投影向量的模為．故答案為．四、解答題：本共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：（1）；（2）平面．【解析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，（2分），所以.（5分）（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可令，（8分），所以平面.（10分）18．（本題滿分12分）在的展開式中，（1）求第三項(xiàng)的系數(shù)；（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(eq\r(x))8－r·＝(－1)r·Ceq\o\al(r,8)·2r·.（2分）（1）T3＝(－1)2Ceq\o\al(2,8)22x4－5＝112x－1，（4分）所以第三項(xiàng)的系數(shù)為112.（6分）（2）設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1，,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,8－r)≥\f(2,r＋1)，,\f(2,r)≥\f(1,9－r).))（8分）整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r≥5，,r≤6，))所以r＝5或r＝6.故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．（10分）19．（本題滿分12分）在的展開式中，______．給出下列條件：①前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；②第三項(xiàng)的系數(shù)為7；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128．請(qǐng)?jiān)谏厦娴娜齻€(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并且完成下列問題：（1）求n的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）【分析】（1）寫出二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，根據(jù)所選的條件列方程求n值.（2）由（1）所得n及展開式通項(xiàng)公式判斷確定最大項(xiàng)，進(jìn)而寫出最大項(xiàng).【解析】（1）展開式第項(xiàng)為，，（4分）選①：展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1，，，據(jù)題意得：，可得；（6分）選②：展開式第三項(xiàng)的系數(shù)為，可得，所以；（6分）選③：令，所以.（6分）（2）展開式一共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，（8分）則．（12分）20．（本題滿分12分）在北京冬奧會(huì)期間，某項(xiàng)比賽中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．（1）從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種？（2）從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù)，每個(gè)崗位一人，且男志愿者甲與女志愿者乙至少有1人在內(nèi)，有多少種不同的安排方法？【分析】（1）先求出選2名志愿者代表，沒有女志愿者的選法種，從總的選法中減去，即為答案；（2）直接法，分類求解，再相加即為答案，間接法求解.【解析】（1）從中選2名志愿者代表，沒有女志愿者的選法有種，（2分）所以從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者的不同選法共有（種）（4分）答：必須有女志愿者的不同選法有15種．（6分）（2）方法一：第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi)，有（種）；（8分）第二類女志愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi)，有（種）；第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi)，有（種）．（10分）由分類計(jì)數(shù)原理得（種）．答：有720種不同選法．（12分）方法二