江蘇省連云港重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)（3月）數(shù)學(xué)試題及參考答案

-2023學(xué)年第二學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．)1．正方體中，化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．2．展開后的不同項(xiàng)數(shù)為（

）A．9 B．12 C．18 D．243．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.4．下列說法正確的是（）A.若向量、共線，則向量、所在的直線平行.B.若、、是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．C.若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線.D.若三個(gè)向量、、兩兩共面，則三個(gè)向量、、一定共面.5．某班有8名優(yōu)秀學(xué)生，其中男生有5人，女生有3人．現(xiàn)從中選3人參加一次答辯比賽，要求選出的3人中，既有男生又有女生，則不同的選法共有（

）A．45種 B．56種 C．90種 D．120種6．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．17．為了進(jìn)一步提高廣大市民的生態(tài)文明建設(shè)意識(shí)，某市規(guī)定每年月日為“創(chuàng)建文明城生態(tài)志愿行”為主題的生態(tài)活動(dòng)日，現(xiàn)有名同學(xué)參加志愿活動(dòng)，需要攜帶勾子、鐵鍬、夾子三種勞動(dòng)工具，要求每人都要攜帶一個(gè)工具，并且要求：帶一個(gè)勾子，鐵鍬至少帶把，夾子至少帶一個(gè)，則不同的安排方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．正方體棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分)9．下列各式的運(yùn)算結(jié)果中，等于的有（

）A． B． C． D．10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l∥；D．若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；11．我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)課拓展（X）、體藝特長(zhǎng)（T）、實(shí)踐創(chuàng)新(S)、生涯找劃(C)、國(guó)際視野(I)、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（D）、PBL項(xiàng)目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（

）A．某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”、“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”、“C”、“T”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“T”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法12．已知正方體棱長(zhǎng)為2，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是A．存在點(diǎn)，使得 B．存在唯一點(diǎn)，使得 C．當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球體積為三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．14．若，則x的值為________．15．已知，若夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．16．如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角A-BD-C的正切值等于________．四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．(本題10分)已知，．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．18.(本題12分)在銳角中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且．（1）確定角的大?。唬?）若，且，求的面積．19．(本題12分)三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.(1)用，，表示向量；(2)若，，，求的長(zhǎng).20．(本題12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．(本題12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD=2．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(1)求平面SAB與平面SCD夾角的正弦值；(2)求S到直線CD的距離．22．(本題12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．(3)若平面與平面夾角的大小為，求的長(zhǎng)．參考答案一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．)1．正方體中，化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A2．展開后的不同項(xiàng)數(shù)為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】D3．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.【答案】D4．下列說法正確的是（）A.若向量、共線，則向量、所在的直線平行.B.若、、是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．C.若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線.D.若三個(gè)向量、、兩兩共面，則三個(gè)向量、、一定共面.【答案】C5．某班有8名優(yōu)秀學(xué)生，其中男生有5人，女生有3人．現(xiàn)從中選3人參加一次答辯比賽，要求選出的3人中，既有男生又有女生，則不同的選法共有（

）A．45種 B．56種 C．90種 D．120種【答案】A6．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】B7．為了進(jìn)一步提高廣大市民的生態(tài)文明建設(shè)意識(shí)，某市規(guī)定每年月日為“創(chuàng)建文明城生態(tài)志愿行”為主題的生態(tài)活動(dòng)日，現(xiàn)有名同學(xué)參加志愿活動(dòng)，需要攜帶勾子、鐵鍬、夾子三種勞動(dòng)工具，要求每人都要攜帶一個(gè)工具，并且要求：帶一個(gè)勾子，鐵鍬至少帶把，夾子至少帶一個(gè)，則不同的安排方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A8．正方體棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分)9．下列各式的運(yùn)算結(jié)果中，等于的有（

）A． B． C． D．【答案】AC10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l∥；D．若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；【答案】AD11．我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)課拓展（X）、體藝特長(zhǎng)（T）、實(shí)踐創(chuàng)新(S)、生涯找劃(C)、國(guó)際視野(I)、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（D）、PBL項(xiàng)目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（

）A．某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”、“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”、“C”、“T”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“T”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法【答案】ABD12．已知正方體棱長(zhǎng)為2，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是A．存在點(diǎn)，使得 B．存在唯一點(diǎn)，使得 C．當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球體積為【答案】BCD三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．【答案】．14．若，則x的值為________．【答案】4或615．已知，若夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】且16．如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角A-BD-C的正切值等于________．【答案】－2四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．(本題10分)已知，．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，所以?）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?8.(本題12分)在銳角中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且．（1）確定角的大小；（2）若，且，求的面積．【解析】（1）由及正弦定理得，，①，，又是銳角三角形，；（2）由余弦定理得：，即，②由②變形得，，，．19．(本題12分)三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.(1)用，，表示向量；(2)若，，，求的長(zhǎng).【解析】1）由題圖知，，因?yàn)?，，所以，，?（2）根據(jù)題意，由，，，得，即，由（1）知.20．(本題12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2），，，兩式相減得，所以.21．(本題12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD=2．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(1)求平面SAB與平面SCD夾角的正弦值；(2)求S到直線CD的距離．【解析】（1）由平面，，平面，，，又，，則，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，則平面與平面的夾角的正弦值為．(2)，，，，距離.22．(本題12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理