藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性與周期性

1112111121112考點(diǎn)五

藝體生高考數(shù)學(xué)培訓(xùn)函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)、奇偶性、周期性．函數(shù)的單調(diào)性單函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)(x)定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)個區(qū)間D的任意兩個自變量的值x、，時都有f(xfx，那么就說函數(shù)f)在區(qū)間D上單調(diào)增函數(shù)．如果對于定義域I內(nèi)個區(qū)間D的任意兩個自變量的值x、x，<x時，都有xfx，那么就說函數(shù)f)在區(qū)間D上單調(diào)減函數(shù)．從圖象來看，增函數(shù)圖象從左到右是上升的，減函數(shù)圖象從左到右是下降的，如圖所示：（2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)這函數(shù)在這個區(qū)間M上有單調(diào)(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間．．函數(shù)的奇偶性奇數(shù)、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個，都有f－x＝(，那么函數(shù)f()就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個，都有f－x＝－(x，那么函數(shù)f)就叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸稱．判函數(shù)的奇偶性的步驟與方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是：①考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．②考察表達(dá)式f－x)是否等于fx)或－fx)：若f－x)＝－()，則fx)為奇函數(shù)；若f－x)＝()，則f()為偶函數(shù)；若f－x)＝－()且f－)＝f)，則f()既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)若f－x)≠－()且f－)≠f)，則f()既不是奇函數(shù)又不是偶數(shù)，既非奇非偶函數(shù)．．函數(shù)的周期性周函數(shù)的概念：對于函數(shù)＝f(x)，如果存在一個不為零常數(shù)T，使得當(dāng)取義域內(nèi)的每一個值時f(＋T)＝(x都成立，則稱y＝()為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做函數(shù)的周(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)(x的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作()的最小正周期．第1頁共7頁

0.5＝·，足fx＋0.5＝·，足fx＋y)＝fx)f(y，但＝(3)一般地，如果T為數(shù)f)的周期，則（n∈）是數(shù)(x的周期，即有f＋nT)＝()．(4)最小正周期是指是函數(shù)值重復(fù)現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，這個正數(shù)是相對而的．并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常數(shù)函數(shù)f(x)（C為數(shù)）就沒有最小正周期．題一函單性判例

下列函數(shù)中，在區(qū)間，＋∞)上為增函數(shù)的是________.(填序號①y＝x＋1②y＝x1)③y＝④y＝(＋答案①解析由基本初等函數(shù)的性質(zhì)得選項②中的函數(shù)，1)上遞減，選項③，④中的函數(shù)(0，)上為減函數(shù)，選①變訓(xùn)下列函數(shù)中，滿足f(x＋y)＝()f()”的單調(diào)遞增函數(shù)是________.填序號1①fx)＝x2

②fx)3

③f)＝

④(x＝3答案④解析

111f)＝x，(x＋y)(x＋y≠22，滿足f(＋)＝(xf(y)①不滿足題意．f)＝x3

，(＋y)＝x＋y≠x

·y

，不滿足f(x＋y＝x)f(y，②不滿足題意．f)＝，(＋)＝

不是增函數(shù)，③不滿足題意．f)＝3

，(＋y＝

＝

x·3

，滿足fx＋y＝ff)，且fx＝3

是增函數(shù)，④滿足題意．解要確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：(1)定義法：先求定義域，再根取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論．(2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性．(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，再根據(jù)“增＋增得增”“減＋減得減”“同增異減”得待確定函數(shù)的單調(diào)性．(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，再確定導(dǎo)值的正負(fù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性．題二函單性應(yīng)例2如果函數(shù)f()＝2＋x－3在間(－∞，上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的值范圍答案－≤≤0解析當(dāng)＝0時fx)＝2－，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故(－，上單調(diào)遞增；當(dāng)≠0時，二次函數(shù)(x)對稱軸為x＝－，因為f(x)(－，上單調(diào)遞增，所以a，且－≥4，得－≤a<0綜合上述得－≤a≤1變訓(xùn)函數(shù)f()＝在間[，b]的最大值是1，最小值是，＋＝________.x－1第2頁共7頁

藝體生高考數(shù)學(xué)培訓(xùn)答案6解析易知fx)在[a]為減函數(shù)，∴

即13

∴

∴＋b＝解要

利單調(diào)性求參數(shù)．①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)[b]是單調(diào)的則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上是單調(diào)的注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，借助圖形列出對應(yīng)不等式，從而求出參數(shù)范圍．利用單性求最值．應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值．題三求數(shù)單區(qū)例3求函數(shù)y＝logx2

－4x＋3)單調(diào)區(qū)間．解析令＝x－4＋3，原函數(shù)可以看作y＝logu＝x令＝－4＋，x<1

－x＋3的復(fù)合函數(shù)．∴函數(shù)y＝log(x

－4＋3)的定義域為(，∪(3，＋．又＝－4＋3的象的對稱軸為x＝，開口向上，∴ux2x＋3在－，上是減函數(shù)，在(，＋上增數(shù)．而函數(shù)y＝log(，＋上減函數(shù)，∴y＝log(2

－4＋的單調(diào)遞減區(qū)間3，＋，單調(diào)遞增區(qū)間－，．解要

求調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)定義法；(2)圖象法(3)數(shù)法．．求復(fù)合函數(shù)y＝f(x))的單調(diào)區(qū)間步驟：(1)確定定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝(u，u)(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則＝g())為增函數(shù)；若一增一減，則yf())為減函數(shù)，即“同增異減．．求單調(diào)區(qū)間時需注意兩點(diǎn)：①最終結(jié)果寫成區(qū)間的形式；②不可忽視定義域．題四判函的偶例4判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)()＝x－x；(2)()＝(＋

－；＋fx)＝3＋x－解析

定域為，于原點(diǎn)對稱第3頁共7頁

223又f－x)＝－)3

－(－x＝－x

＋x＝－(3

－x)＝－fx)，∴函數(shù)為奇函數(shù)．(2)由

≥0得函數(shù)的定義域為(－1,1]．∵函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．因fx)定義域為{3，3}，所以f)0則fx既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．解要判斷函數(shù)單調(diào)性的兩個步驟1.判函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；判斷f(－x)f(x)關(guān)若(－x＝－(x)則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(－x)＝則函數(shù)為偶函數(shù)．或是利用下列兩個等價關(guān)系式進(jìn)行判斷：若(x)f(－x)則函數(shù)為奇函數(shù)；若fx－(－)函數(shù)為偶函數(shù)．題五函的期例5已知fx)是定義在R上偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，2≤x≤3時，＝x，則f＝______.f答案2.5解析由已知，可得(x＋＝f[(x＋2)＋＝－＝＝fx)．ff故函數(shù)的周期為4.∴＝f(4×27－＝(2.5)＝．∵≤2.5，由題意，得f(2.5)∴＝解要關(guān)于函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論：對fx定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若fx＋)＝f(x)則T＝a(2)若fx＋)＝，則＝af（x）(3)若fx＋)＝－，＝2af（x）題六函性的合用例6已知偶函數(shù)(x)區(qū)間[，)單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f答案，解析偶函數(shù)滿足f(x)＝(|x，據(jù)這個結(jié)論，

的x的值范圍是．有fx－1)<x－f

，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等|2－1|<，解這個不等式即得的值范圍是，.第4頁共7頁

藝體生高考數(shù)學(xué)培訓(xùn)函f()＝x答案原點(diǎn)

－x的象關(guān)于________稱.解析由f－x＝()3

－(－x)＝－x3

＋x＝－(x)，知f()是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)原點(diǎn)對稱．．已知定義在R的奇函數(shù)f(x)，滿足f＋＝f(x)，則(8)值________．答案0解析∵fx)為奇函數(shù)且f(＋＝f()，∴f(0)＝0＝，f(8)f＝0.．已知fx)，g(x)分別是定義在R上偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x－)＝x3x2答案1解析因為fx)是偶函數(shù)，()是奇函數(shù)，

＋1則f(1)＋g(1)＝．所以f(1)＋g＝(－1)(＝(－3

＋－＋＝1.．函數(shù)fx)＝log(－的單調(diào)遞增區(qū)間________答案

(－∞，解析因為y＝t在義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，求函數(shù)t2－單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間－－2)．．函數(shù)y＝fx)是定義在[－2上單調(diào)減函數(shù)，且faf(2，則實(shí)數(shù)a的值范圍________．答案

[1，a≤2解析由條件2≤2解得－1≤a<1.＋，一填空．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的．(填序號)①y＝x＋1

②y＝－x

③y＝④y＝xx答案④．函數(shù)y＝－________．填序號)x－1①在(，＋∞上單調(diào)遞增②在－，＋∞)單調(diào)遞減③在(1＋∞上調(diào)遞增④在(，＋∞上調(diào)遞減答案③．下列函數(shù)中，在區(qū)(－∞，0)上是減函數(shù)的是．填序號)①y＝12

②y＝x

＋x

③y＝－－

x④y＝x－1答案④第5頁共7頁

211222121藝體生高考數(shù)學(xué)培訓(xùn)211222121f．下列函數(shù)f(x)，滿足“對任意，∈(0＋，都有”的是________．填序號x－①()＝x

②()＝(－2

③f)＝

④()＝ln(1)答案①f解析滿足<0其就是f在0＋為減函數(shù)，故選①.x－．已知fx)是奇函數(shù)，()是偶函數(shù)，且f－1)(1)＝，(1)g－1)＝4則等．答案3解析∵(x)奇函數(shù)，f(－＝－f，又(x為偶函數(shù)，∴(＝g(1)，∴－f(1)＋＝，f(1)＋g(1)，將兩式相加得g(1)6，∴(1)＝3.．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又(，＋∞單調(diào)遞增的函數(shù)．(序號①y＝x3

②y＝x＋

③y＝－x

＋1

④y＝2答案②．若函數(shù)y＝x

＋a－1)＋區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)取值范圍．答案－，－a3解析由題意得－≥，得≤.．定義在R上函數(shù)(x)的圖象關(guān)于直線x＝稱，且fx)(－∞2)是增函數(shù)，則f(－與f的大小關(guān)系是．答案

f(－＜f解析依題意得f＝f，且－＜＜2于是由函數(shù)f(x在(∞上是增函數(shù)得f(－1)＜f＝f．．函數(shù)y＝x－x(∈[2,4])增區(qū)間為________．答案

[2,4]．設(shè)f)是以2為期的函數(shù)，且當(dāng)∈時，f()＝x－，則f－＝答案－1解析由題知，(－＝f(－12)＝＝12－11．給出下列命題①y＝在義域內(nèi)為減函數(shù)；②＝x－1)x

在0，＋∞)上是增函數(shù)；③y＝－在－∞，0)上為增函數(shù)；④y＝kx不是增函數(shù)就是減函數(shù)．x其中錯誤命題的個數(shù)．答案3解析①②④錯誤，其中④中若＝0，則命題不成立．二解題－2x．證明函數(shù)()＝在(，＋∞上單調(diào)遞增．x－1第6頁共7頁

121212121212121111212藝體121212121212121111212證明：取x，∈，＋∞，且xx，－2x－x－則(x)－g(x)＝－＝，x