運(yùn)籌學(xué)復(fù)習(xí)資料

..運(yùn)籌學(xué)復(fù)一單形法表、工量根知〕線性規(guī)劃解的情況唯一最優(yōu)解多重最解、無界解無解。其中行域無界并不意味著標(biāo)函數(shù)無界。無界可行域?qū)?yīng)著解的情況有：唯一最優(yōu)解、多重最優(yōu)解、無界解。有界可行域?qū)?yīng)唯一最優(yōu)解和多重最優(yōu)解兩種情況。線性規(guī)劃解得根本性質(zhì)有足線性規(guī)劃約束條件的可行解可行域成一個(gè)凸多邊形；凸多邊形的頂點(diǎn)〔極點(diǎn)〕與根本可行解一一對(duì)應(yīng)〔即一個(gè)根本可行解對(duì)應(yīng)一個(gè)頂點(diǎn)劃問題假設(shè)有最優(yōu)解，那么最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)上取得。單純形法解決線性規(guī)劃問題時(shí)換基迭代過程中基的非基變量的選擇要利用比值法個(gè)方法是保證進(jìn)基后的單純型依然在解上可行基迭代要求除了進(jìn)基的非基變量外，其余非基變量全為零。檢驗(yàn)最優(yōu)性的一個(gè)方法是在目標(biāo)函數(shù)中非基變量表示基變量求檢驗(yàn)數(shù)全部小于等于零?！皒由0變到45/2時(shí)x首先變?yōu)?故x為退出基變量。〞這句話是最133小比值法的一種通俗的說法，但是很有意義。這里x為進(jìn)基變量x為出基變1量方程化為每個(gè)方程只含一個(gè)基變量表示成非基變量的函數(shù)。單純型原理的矩陣描述。在單純型原理的表格解法中一個(gè)有趣的現(xiàn)象就是純型表中的某一列的組成的列向量等于它所在的單純型矩陣的最初的基矩陣的m*m陣與其最初的那一列向量的乘積。.

.最初基變量對(duì)應(yīng)的基矩陣的逆矩陣。這個(gè)樣子：

10-3

258

'P0102218所有的檢驗(yàn)數(shù)均小于或等于零最優(yōu)解是如果出現(xiàn)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為，那么有無窮多的最優(yōu)解，這時(shí)應(yīng)該繼續(xù)迭代。解的結(jié)果應(yīng)該是：*

*1

X*2

〕說明：最優(yōu)解有時(shí)不唯一，但最優(yōu)值唯一；在實(shí)際應(yīng)用中，有多種方案可供選擇；當(dāng)問題有兩個(gè)不同的最優(yōu)解時(shí)，問題有無窮多個(gè)最優(yōu)解。無最優(yōu)解的情況就是應(yīng)進(jìn)基的量所對(duì)應(yīng)的的系數(shù)部小于零假設(shè)存在某個(gè)且所的<0那么不存在有界最優(yōu)解。jij人為地構(gòu)造一個(gè)單位矩陣來充當(dāng)初始可行基單純形迭代將它們逐個(gè)地從基變量中替換出來設(shè)經(jīng)過基的變換變量中不再有非零人工變量，這表示問題有解假設(shè)在最終表當(dāng)所有C-z0，而在中還有個(gè)非jj人工變，這表示無行解。大原理核心：打破原來的約束，再設(shè)法恢復(fù)。大M法根本思想：假定人工變量在基變量中的價(jià)值系數(shù)為一個(gè)絕對(duì)值很大的-(M>>0,對(duì)極小化問題M),這樣只要基變量中還存在人工變,目函數(shù)就不可能實(shí)現(xiàn)極值。兩階段法原理一階段是據(jù)給定的問題構(gòu)造其輔助問題原問題求初始根本可行解上人工變量后求的就是人工變量退出助問題是人工變量之和的最小值必須為零。.

Bi***.Bi***.第二階段是將第一階段求出的最優(yōu)解為第二階段的初始根本可行解后在原問題的目標(biāo)函數(shù)下進(jìn)展優(yōu)化，以決定原問題的最優(yōu)解。注：?jiǎn)渭冃畏ㄖ忻恳徊竭\(yùn)算只能用矩陣初等行變換；表中第3(b列的數(shù)總應(yīng)保持非負(fù)〔當(dāng)所有檢驗(yàn)數(shù)均非正〔〕時(shí)，得到最優(yōu)單純形表。假設(shè)直接對(duì)目標(biāo)求最，要求所有檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)；純形表存在非基變量對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)為零時(shí)無窮多解；關(guān)于退化循環(huán)如果在一個(gè)根本可行解的基變量中至少有一個(gè)分量=0i…

)，那么稱此根本可行解是退化的根本可行解。一般情況下，退化的根本可行解〔極點(diǎn)〕是由假設(shè)干個(gè)不同的根本可行解〔極點(diǎn)〕在特殊情況下合并成一個(gè)根本可行極點(diǎn)形成的化的構(gòu)造對(duì)單純形迭代會(huì)造成不利的影響?？赡艹霈F(xiàn)以下情況：①進(jìn)展進(jìn)基、出基變換后，雖然改變了基，但沒有改變根本可行解〔極點(diǎn)數(shù)當(dāng)然也不會(huì)改良。進(jìn)展假設(shè)干次基變換后，才脫離退化根本可行解〔極點(diǎn)根本可行解〔極點(diǎn)增加迭代次數(shù)，使單純形法收斂的速度減慢。②在特殊情況下，退化會(huì)出現(xiàn)基的循環(huán)，一旦出現(xiàn)這樣的情況迭代將永遠(yuǎn)停留在同一極點(diǎn)上法求得最優(yōu)解。二、對(duì)偶題和靈敏度析對(duì)偶問題的根本性質(zhì)：對(duì)偶問題的對(duì)偶問題，是原問題；假設(shè)X是問題(的一可行解，

是問題的一個(gè)可行解，那么:CX

。假設(shè)

*

分別為問題和問題的可行解，且

*

=Y

b那么X

*

和Y

分別為問題和問題.

BP.的最優(yōu)解假設(shè)問(P)的標(biāo)函值上界，那么題(D)無可解；假問題(D)的標(biāo)函數(shù)W無下界，那問題(P)無可解。偶定理假設(shè)問題(P)和問題D〕一有優(yōu)解，么另一個(gè)問也一定最優(yōu)解，且標(biāo)函數(shù)相等。由對(duì)偶定理可知題的最終單純表中可直接得到其對(duì)偶問題的最優(yōu)解。在兩個(gè)互為對(duì)偶的線性規(guī)劃中，可任選一個(gè)進(jìn)展求解。假設(shè)*分別為問題和問題的可行解，且*=*；那么*和Y*別為問題和問題的最優(yōu)解。用對(duì)偶質(zhì)重新解釋純形法單純形法：在整個(gè)迭代過程中，始終保持該問題解的可行性〔即滿足b

問題的互補(bǔ)解初始時(shí)并不滿足可行性條即檢驗(yàn)數(shù)不完全部小于等于行性完全消失〔即滿足jjj對(duì)偶問題同時(shí)到達(dá)最優(yōu)。

〕時(shí)，原問題和對(duì)偶單純形法：在整個(gè)迭代過程中，始終保持其對(duì)偶問題解的可行性〔即jjj

解并不滿足可行性條全部大于等于0當(dāng)不可行性完全消失〔即滿足優(yōu)。對(duì)偶單純形法步驟：

〕時(shí)，原問題和對(duì)偶問題同時(shí)到達(dá)最列出初始單純形表，保證所有的檢驗(yàn)數(shù)

檢驗(yàn)：假設(shè)滿足

b0

，那么獲得最優(yōu)解，否那么下一步;基變換首先確定退出基變量定進(jìn)入基變量新的根本可行解。返回到〔.

jaji.jaji.影子價(jià)格〔對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋〕三種資源

*

=(7/2,0,1/2)剩余量分別目標(biāo)函數(shù)：W+0×80+1/2×90=經(jīng)濟(jì)意義：反映了資源與總收益之間的關(guān)系，即當(dāng)?shù)趇資源每增加一個(gè)單位時(shí)，在其他條件不變的情況下，該資源對(duì)目標(biāo)值的奉獻(xiàn)就是。i靈敏度分析研究線性規(guī)劃中，

aijij

的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)C〔價(jià)格〕變化的靈敏度分析：C的變化導(dǎo)致檢驗(yàn)數(shù)的變化，如果新的檢驗(yàn)數(shù)小于等于零么原來的解依然是最優(yōu)解果新的檢驗(yàn)數(shù)大于零，那么新的問題還沒有取到最優(yōu)解，還需要進(jìn)一步運(yùn)算才行。N判斷是否繼續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)論：c是非基變量的系數(shù)，則c改變量ii在范最優(yōu)解不變iiic是變量在ii

是maxjaij

|aij

Pminij

|aij

PNj

對(duì)于基變量的變化，變化值如果小于檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)，那么最優(yōu)解不變?；懔肯禂?shù)發(fā)生改變將改變所有變量檢驗(yàn)數(shù)。增加一個(gè)新變量的靈敏度分析果該行的檢驗(yàn)數(shù)為小于等于零么新變量為非基變量，此表到達(dá)最優(yōu)。反之，就要迭代求解。如何求檢驗(yàn)數(shù)很重要，要用到第一章中的知識(shí)。

與比較要了解各項(xiàng)的含義。增加一個(gè)新約束的靈敏度分析解代入新的約束中新約束，那么原最優(yōu)解不變?cè)O(shè)不滿足新約束么原最優(yōu)解改變新增的約束條件添入最終的單純形表中，并增加一個(gè)基變量，繼續(xù)迭代。添加新約束后，有時(shí)要.

..對(duì)原問題所對(duì)偶單純形法且要消元構(gòu)造單位陣矩陣新約條件的數(shù)項(xiàng)至少多少時(shí)不影原最優(yōu)？對(duì)偶單純法非常重要三.運(yùn)問運(yùn)輸問題的一般描述某種物資有產(chǎn)地A1A2,,Am其產(chǎn)量分別為…另外有n個(gè)地B1B2,…銷量分別為…,bn從AiBj的單位運(yùn)費(fèi)為Cij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)問應(yīng)如何組織調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最低。產(chǎn)銷平衡運(yùn)輸問題模型特點(diǎn)：由平衡條件易知個(gè)方程線性相關(guān)，而任意m+n–1個(gè)程線性無關(guān)；基變量的個(gè)數(shù)為–非基變量的個(gè)數(shù)為––1〕有無限多方案；系數(shù)矩陣只包括有產(chǎn)銷不平衡問題，a的和大于的和，為產(chǎn)大于銷的問題。解決運(yùn)輸問題應(yīng)該運(yùn)用運(yùn)輸單純型法，步驟是：〕確定初始根本可行解〔初始方案最小元素法和元素差額法。最小元素法出運(yùn)輸表中x位置暫先空著表中找出單位運(yùn)價(jià)最小ij者C，取x=min{a，b}把x的值填在相應(yīng)的格內(nèi)假設(shè)有幾個(gè)單位運(yùn)價(jià)同時(shí)到ktktktkt達(dá)最小，就任取其中之一a>b劃去第t列，第k行的產(chǎn)量調(diào)整為a-b；ktkt如果a<b劃去第kt的銷量調(diào)整為b果=b劃去第t列kkttkkt行的產(chǎn)量調(diào)整為，或劃去第k，第t的銷量調(diào)整為〕檢驗(yàn)〔計(jì)算所有非基變量x的檢驗(yàn)數(shù)〕——位勢(shì)法。ij位勢(shì)法字分解為行位u列位vijijij.

ij

0.0.〔數(shù)字格出v過和計(jì)算出非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。ijij通常令u方程組行列的位勢(shì)值中基變量檢驗(yàn)數(shù)為C+v1ijij最優(yōu)性條件非基變量檢驗(yàn)數(shù)均大于等于滿足此條件轉(zhuǎn)〕基變換〔方案改良閉回路〔幾何〕法：從空格〔非基變量所在格〕出發(fā)，沿垂直或水平方向前進(jìn)前進(jìn)的過程中可穿過數(shù)字格可穿過空格某個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)字格內(nèi)轉(zhuǎn)彎樣假設(shè)干次轉(zhuǎn)向后回到出發(fā)點(diǎn)，形成一個(gè)閉回路?？梢宰C一個(gè)空格都有并且只有一條閉回路〔存在且唯一可能是矩形、也可能是曲折的多邊形。然后確定進(jìn)基變量和退基變量基變量就是檢驗(yàn)數(shù)小于0的空格基變量是從該進(jìn)基變量出發(fā)，運(yùn)用閉回路法，在轉(zhuǎn)角處，從起點(diǎn)開場(chǎng)標(biāo)“、“-、“+、〞，標(biāo)-〞的量中，最小的一個(gè)退基，減去運(yùn)輸量值，其余的標(biāo)+的加上該運(yùn)輸量值，標(biāo)“〞的減去該運(yùn)輸量值。產(chǎn)銷不平衡問題：要虛設(shè)一個(gè)行或列，這里，(1)數(shù)字格〔基變量〕的個(gè)數(shù)為果缺少數(shù)字必須添補(bǔ)救(2)當(dāng)最終表中某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為，說明該問題有兩個(gè)根本可行解均為最優(yōu)解。四.目規(guī)和數(shù)劃目標(biāo)規(guī)劃分為單目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃中有級(jí)別一樣的目標(biāo)規(guī)劃和具有優(yōu)先級(jí)目標(biāo)規(guī)劃。假設(shè)利潤(rùn)目標(biāo)為百元稱之為預(yù)定目標(biāo)，實(shí)際完成的量與預(yù)定目標(biāo)之間可能出現(xiàn)偏差，通常用d+〕表示，稱為偏差變量。其中表示超過預(yù)定指標(biāo)的局部表示未到達(dá)預(yù)定指標(biāo)的局部。在客觀條件.

--+----+------+.下，最終完成的結(jié)果可能出現(xiàn)以下三種情況：①dd=0說明超額完成預(yù)定指標(biāo)；②>0,d=0說明未到達(dá)預(yù)定指標(biāo)；③=d=0說恰好完成預(yù)定指標(biāo)。在新的規(guī)劃問題中要添加一個(gè)目標(biāo)約束標(biāo)約束的形式由其具體要完成的目標(biāo)表示，比方，原來的線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)6x現(xiàn)在的新1的線性規(guī)劃中就要添加這樣的目標(biāo)約束：8x+1

dd。意思就是：盡量2到達(dá)這個(gè)目標(biāo)，如果達(dá)不到，加上一個(gè)便可以到達(dá)了。目標(biāo)規(guī)劃中，重要特征如下：①增加了目標(biāo)約目標(biāo)中只出現(xiàn)偏差變量且為求極小化問題；③d×d單目標(biāo)規(guī)劃求解：用單純形法求滿意解注意求極小化問題最優(yōu)性條件是檢驗(yàn)數(shù)全部大于等于零。多目標(biāo)規(guī)劃求解中級(jí)別一樣的多目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：實(shí)利潤(rùn)目標(biāo)〔百元

產(chǎn)品產(chǎn)量不多于

，

這時(shí)設(shè)dd(i=1,2)別為超過目標(biāo)值的局ii部，及未完成目標(biāo)值的局部。目標(biāo)函數(shù)是+d12目標(biāo)約束是：6x+d-和x+d-11112這里語(yǔ)句利潤(rùn)為122元能達(dá)不到這個(gè)數(shù)，所以，盡量達(dá)不到的負(fù)偏差變量要小。的產(chǎn)量不多于即便多于也沒關(guān)系，但是正偏差變量要盡量小。因此，得目標(biāo)函數(shù)。多目標(biāo)規(guī)劃求解中具有優(yōu)先級(jí)的多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:充分利用設(shè)備有效1臺(tái)時(shí)，不加班；產(chǎn)品產(chǎn)量不多于4；實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)130百元2最重要的是1，在和3完不成的情況下，也要優(yōu)先保證完成。但是，并不是說，號(hào)完成之后，2號(hào)和號(hào)才能完成。在實(shí)際生活中，也有.

----------；--.號(hào)未完成但是和完成的情況。模型約束：2x+d-d60①1x+d-d=②22++d-=130③13+④1x，d,12ii目標(biāo)函數(shù)：P+Pd+Pd11133在這里，目標(biāo)是正負(fù)偏差量之和，就是取要恰好到達(dá)之意。圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃：按照上面的規(guī)劃，可以有以下步驟

根據(jù)系統(tǒng)約束④確定可行域〔2〕不考慮偏差，即：d=d=0，后按順序作ii出目標(biāo)約束相應(yīng)的直線標(biāo)出>0,>0的方向序找出該目標(biāo)ii的滿意解。目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)定的第i個(gè)標(biāo)=+-；ii〔2〕決策人不希望超過預(yù)定的第i目標(biāo)，=+策人希望超過預(yù)i定的第i個(gè)目標(biāo)，=-i

。整數(shù)規(guī)劃性規(guī)劃中要求決策變量全部或局部為整數(shù)為以下整數(shù)規(guī)劃所有決策變量x(j=1,2,…均取整數(shù)；混合整數(shù)規(guī):局部決策變量取整數(shù)；j0-1數(shù)規(guī)劃所有決策變量只取0或1，這類變量又稱為邏輯變量。經(jīng)典方法是分支定界法和割平面法。分支定界法步驟：先不考慮變量的整數(shù)約束，求解相應(yīng)的線性規(guī)劃；分支：如果求解某一個(gè)值并非整數(shù)，那么就予以分支，比方，由于x，x均1.

3/.3/.不滿足整數(shù)條件，故可由x或x進(jìn)展分枝，使x滿足：x≤3或?qū)?21113<x<4的非整數(shù)局部割掉，于是問題B分成了兩個(gè)子問題B,B，然后分別求11出其最優(yōu)解B最優(yōu)解:X*1/3最優(yōu)解X*=141122定界：?jiǎn)栴}〔〕已獲得整數(shù)最優(yōu)解，可將Z=14作為問題〔的下界，22同時(shí)將=140

3/4

作為問題〔的上界?？梢詳喽╖=14≤Z<=142

；返回續(xù)對(duì)B中的x進(jìn)展分枝x滿足xx122間的非整數(shù)局部割掉。于是問題又分成了兩個(gè)子問題和再分別求出其最優(yōu)解。234割平面法步驟：不考慮其整數(shù)條用單純形法求解相應(yīng)的線性規(guī)劃問題，求出最終單純形表；構(gòu)造約束〔割平面單純形表中，任意選擇一個(gè)非整數(shù)變量〔如x變量所在行的方程式：x+1/2x–1/2x=5/2，將各變量的系22數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分解為整數(shù)與非負(fù)分?jǐn)?shù)和將系數(shù)整數(shù)變量移方程左端系數(shù)為分?jǐn)?shù)變量移到方式右端，x-2=1/2-〔1/2x+1/2x24束為：1/2-+1/2x3將約束化為方程，填入到最終單純形表中，繼續(xù)求問題的最優(yōu)解。用對(duì)偶單純性法求解。分派問題使用0-1整數(shù)規(guī)劃的一種特殊類型，但是由于它的形式比擬特殊，所以有自己特殊的解法。有n項(xiàng)任務(wù),指派n個(gè)人廣義)完成第i個(gè)人完成第j項(xiàng)任務(wù)的效率為C(i=1,2,…,n;j=1,2,…；求每個(gè)人只能承當(dāng)一項(xiàng)任務(wù),且每一項(xiàng)任務(wù)都有一ij.

..個(gè)人個(gè)來承當(dāng)；問如何分派可以使總的效率到達(dá)最高為效率矩陣。ij建立數(shù)學(xué)模型：，分派第i個(gè)人去承當(dāng)?shù)趈項(xiàng)任務(wù)；，不分派第i個(gè)人去承當(dāng)?shù)趈項(xiàng)任務(wù)。要求每人只能承當(dāng)一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作只能由一個(gè)人來承當(dāng)。它是特殊的規(guī)劃；它是m=n=1的特殊運(yùn)輸問題；它的所有可行ij解的個(gè)數(shù)為同解性原理：如果在效率矩陣〔C〕的第i〕行〔列〕加〔減〕ij一個(gè)常數(shù)k那么新效率矩陣與原效率矩陣有一樣的最優(yōu)解。i匈牙利解法：化簡(jiǎn)效率矩陣：使其每行、每列至少有一個(gè)零元素；檢驗(yàn)：用盡可能少的直線去覆蓋所有的零元素，當(dāng)覆蓋線的條數(shù)n時(shí)0可轉(zhuǎn)入〔〕確定最優(yōu)方案當(dāng)n時(shí)轉(zhuǎn)入下一步(繼續(xù)化簡(jiǎn)；0移動(dòng)零元素未被直線覆蓋的元素中找出最小元不在覆蓋線上的元素減去這個(gè)最小元，在兩覆蓋線交點(diǎn)上加上這個(gè)最小元，其他元素不變。具體步驟：變換指派問題的費(fèi)用矩陣其在各行各列都出現(xiàn)0元素先每行元素減去該行的最小元素，然后每列減去該列的最小元素；進(jìn)展試指派〔畫○元素最少的行或列開場(chǎng)，圈出一個(gè)0元素，用○表示，然后劃去該○所在的行和列中的其余0素，用表示，依次類推。假設(shè)矩陣中的eq\o\ac(○,的)eq\o\ac(○,)個(gè)數(shù)等于n么得最優(yōu)解設(shè)矩陣中的○的個(gè)數(shù)<n么進(jìn)展第三步；做能復(fù)蓋所有0素的最小直線集合沒有○的行打√號(hào)打√號(hào)的行.

..上所有素的列打√號(hào)對(duì)打√號(hào)的列上所有○的行打√號(hào)復(fù)以上步驟直到得不出新的打√號(hào)為止打√號(hào)的行畫橫線√號(hào)的列畫縱線，所得到的直線既是復(fù)蓋所有素的最小直線集合；在沒有被直線復(fù)蓋的元素中找出最小元素打√號(hào)的列加上這個(gè)元素√號(hào)的行減去這個(gè)元素。求最大效率的問題，求最小效率的問題，都很重要。五.矩對(duì)我們稱具有對(duì)策行為的模型為對(duì)策模型或