數(shù)字信號(hào)處理2013課件第2章離散時(shí)間

第二章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)2.0 引言2.1 離散時(shí)間信號(hào)：序列2.2 離散時(shí)間系統(tǒng)2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)2.4 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)2.5 線性常系數(shù)差分方程2.6 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域表示2.7 用傅立葉變換表示序列2.8 傅立葉變換的對(duì)稱性質(zhì)2.9 傅立葉變換定理2.0 引言信號(hào)：信息的載體。連續(xù)時(shí)間信號(hào)：時(shí)間、幅度都連續(xù)。離散時(shí)間信號(hào)：時(shí)間離散、幅度連續(xù)。數(shù)字信號(hào)：時(shí)間、幅度都離散。信號(hào)處理系統(tǒng)同樣分為上述三類2.1 離散時(shí)間信號(hào):序列離散時(shí)間信號(hào)——時(shí)間上不連續(xù)的一個(gè)序列。通常定義為一個(gè)序列值的集合{x(n)}，n為整數(shù)，x(n)表示序列中第n個(gè)樣值，{·}表示全部樣本值的集合。離散時(shí)間信號(hào)可以是通過采樣得到的采樣序列x(n)=xa(nT)，也可以不是采樣信號(hào)，如有些系統(tǒng)的輸入可能直接就是離散時(shí)間信號(hào)或數(shù)字信號(hào)，有些系統(tǒng)內(nèi)部有時(shí)也產(chǎn)生一些數(shù)字信號(hào)，這些都是離散時(shí)間信號(hào)，但不屬于采樣信號(hào)。T為采樣周期，其倒數(shù)為采樣頻率。2.1.1幾種典型序列（1）

單位脈沖序列只有n=0處有一單位值1，其余點(diǎn)上為0

數(shù)字系統(tǒng)中，δ(n)序列也稱為離散時(shí)間脈沖，或簡稱脈沖，這是一種最常用也最重要的序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中單位沖激函數(shù)δ(t)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，δ(t)的脈寬為零，幅度為∞，是一種數(shù)學(xué)極限，并非現(xiàn)實(shí)的信號(hào)，而離散時(shí)間系統(tǒng)中的δ(n)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的序列，其脈沖幅度為1（有限值）。

（2）

單位階躍序列在大于等于0的離散時(shí)間點(diǎn)上有無窮個(gè)幅度為1的數(shù)值，類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的單位階躍脈沖。（3）

矩形序列

此序列從n=0開始，含有N個(gè)幅度為1的數(shù)值，其余為零。以上三個(gè)序列彼此間的關(guān)系：（4）

指數(shù)序列例如

當(dāng)|a|>1時(shí)，序列發(fā)散，當(dāng)|a|<1序列收斂a<0時(shí)序列有正有負(fù)，是擺動(dòng)的。

（5）復(fù)指數(shù)序列

因此在數(shù)字信號(hào)處理中一般只考慮區(qū)間內(nèi)的信號(hào)兩個(gè)重要現(xiàn)象

1：模糊2：無法區(qū)分周期2.周期現(xiàn)象：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的周期：離散時(shí)間信號(hào)的周期：x[n]=x[n+N]對(duì)所有的n必須滿足：1.N必須為整數(shù)2.若為離散正弦序列：3.

若沒有任何整數(shù)N，使得信號(hào)x[n]對(duì)所有的滿足x[n]=x[n+N]，則信號(hào)x[n]為非周期的。2.1.3序列運(yùn)算

數(shù)字信號(hào)處理中常遇到序列的相加、相乘以及延時(shí)等序列運(yùn)算。如有兩個(gè)序列{x(n)}，{y(n)}，則(1)序列相加:z(n)=x(n)+y(n)表示兩個(gè)序列的值逐項(xiàng)相加以形成的新序列；(2)序列相乘:f(n)=x(n)y(n)表示兩序列值逐項(xiàng)相乘以形成的新序列；

(3)序列延時(shí):w(n)=x(n-m)指原序列逐項(xiàng)依次延時(shí)m位(m>0)以形成的新序列；(4)序列數(shù)乘:z(n)=a·x(n)序列與一個(gè)數(shù)相乘；有時(shí)要用到序列的能量，序列能量定義為：

2.1.4一般序列表示方法設(shè){x(m)}是一個(gè)序列值的集合，其中任意一個(gè)值x(n)可表示為 由于

因此它表明任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和：2.2離散時(shí)間系統(tǒng)

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的變換或運(yùn)算（算子）。它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。

T[·]表示這種運(yùn)算關(guān)系，即

y(n)=T[x(n)]上圖所示為一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)”。2.2.1無記憶系統(tǒng)如果每個(gè)n值上的輸出y[n]只決定于同一n值的輸入x[n]，那么該系統(tǒng)為無記憶系統(tǒng)例如：

y[n]=(x[n])22.2.2線性系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入為x1(n)和x2(n)時(shí)，輸出分別為y1(n)和y2(n)，即y1(n)=T{[x1(n)]}，

y2(n)=T{[x2(n)]}如果系統(tǒng)輸入為ax1(n)+bx2(n)時(shí)，輸出為ay1(n)+by2(n)，其中a，b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，線性系統(tǒng)的條件為：

T{ax1(n)+bx2(n)}=aT{x1(n)}+bT{x2(n)}=ay1(n)+by2(n)

應(yīng)用：線性系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理可應(yīng)用疊加定理。2.2.3時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)是指輸入序列的移位或延遲將引起輸出序列相應(yīng)的移位或延遲如果T{x(n)}=y(n)，則T{x(n-n0)}=y(n-n0)（n0為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。2.2.4因果性因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于此時(shí)以及此時(shí)以前的輸入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……

非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出y(n)取決于x(n+1)，x(n+2)，…，即系統(tǒng)的輸出取決于未來的輸入，則是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)（不可實(shí)現(xiàn)）

因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)≡0，n<0（可以由y(n)=x(n)*h(n)導(dǎo)出）2.2.5穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)于每一個(gè)有界輸入產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。如果存在某個(gè)固定的有限正數(shù)Bx，使|x[n]|≤Bx<∞，對(duì)全部n則輸入x[n]就是有界的。穩(wěn)定性要求對(duì)每一個(gè)有界的輸入，都存在一個(gè)固定的有限正數(shù)By，使|y[n]|≤By<∞，對(duì)全部n2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)——既滿足疊加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。

這類系統(tǒng)在信號(hào)處理中特別有用，因?yàn)榫€性系統(tǒng)是用疊加定理定義的，如果將序列表示成一組單位樣本序列的線性組合，那么線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。

我們知道，任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和

如令h(n)為系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列的響應(yīng)，則系統(tǒng)對(duì)任一輸入序列x(n)的響應(yīng)為

由于系統(tǒng)是線性的，滿足疊加定理

又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對(duì)移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。因此該式表明：對(duì)任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示2.3.1圖示法進(jìn)行卷積運(yùn)算對(duì)序列x[n]和h[n]進(jìn)行卷積運(yùn)算，首先將x[n]分解成脈沖和的形式，然后將每個(gè)脈沖分別作用到h[n]上得到響應(yīng)，最后將響應(yīng)累加起來即得到卷積結(jié)果。因?yàn)樵撨^程需要運(yùn)用疊加定理，所以卷積運(yùn)算只能用于線性時(shí)不變系統(tǒng)。(1)首先將x[n]分解成脈沖和的形式(2)然后將每個(gè)脈沖分別作用到h[n]上得到響應(yīng)(3)最后將響應(yīng)累加起來即得到卷積結(jié)果強(qiáng)調(diào)：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才可以應(yīng)用單位脈沖響應(yīng)卷積輸入信號(hào)來表示結(jié)果。2.4線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)卷積的性質(zhì)可交換性分配律2.4.1穩(wěn)定性

線性和時(shí)不變兩個(gè)約束來?xiàng)l件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的限制。穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)于每一個(gè)有界輸入產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。充要條件當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

充分條件證明：如上式成立，且x有界，即對(duì)所有n，|x(n)|<m，則y有界，滿足充分條件。必要條件

反之，如h(k)不符合上式，S=∞，則可求得一種有界輸入，能使該系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)無界輸出。如取輸入為

顯然，x(n)有界，當(dāng)n=0時(shí)，輸出

2.4.2FIRIIR理想延遲滑動(dòng)平均累加器前向差分后向差分2.6離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域表示特征函數(shù)的概念：現(xiàn)考慮輸入序列：即一個(gè)頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列系統(tǒng)沖擊響應(yīng)為則線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出為若定義因此是特征函數(shù)特征值為稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有兩種表示法實(shí)部虛部：幅度相位：可看出的幅頻響應(yīng)曲線是以2π為周期的設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)相應(yīng)的幅頻響應(yīng)為：即2.7用傅里葉變換表示序列離散信號(hào)（數(shù)字序列）的傅氏變換定義

數(shù)字序列的逆傅氏變換定義

傅氏變換中的級(jí)數(shù)求和不一定總是收斂的，若x(n)絕對(duì)可和，則該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的傅氏變換是收斂的。

兩種表示方法：幅度:相位:主值:可逆性2.8傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)共軛對(duì)稱序列共軛反對(duì)稱序列一般序列的表示實(shí)部虛部+實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱實(shí)部虛部-實(shí)部對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱實(shí)部虛部+二者相等1

虛部實(shí)部實(shí)部虛部虛部實(shí)部實(shí)部虛部相同！實(shí)部偶對(duì)稱虛部奇對(duì)稱2

同理幅頻響應(yīng)相同(同1)，相頻響應(yīng)不同：下面兩圖對(duì)比可發(fā)現(xiàn)相頻響應(yīng)互為軸對(duì)稱實(shí)部實(shí)部虛部虛部實(shí)部虛部實(shí)部虛部相同！實(shí)部相同虛部關(guān)于X軸翻轉(zhuǎn)3.實(shí)部虛部實(shí)部虛部實(shí)部虛部實(shí)部虛部兩者一樣！實(shí)部虛部實(shí)部虛部4實(shí)部奇對(duì)稱虛部偶對(duì)稱實(shí)部虛部實(shí)部虛部兩者相同！實(shí)部虛部實(shí)部虛部5實(shí)部偶對(duì)稱虛部奇對(duì)稱實(shí)部虛部實(shí)部虛部虛部為0虛部為0為的實(shí)部！6實(shí)部奇對(duì)稱虛部偶對(duì)稱實(shí)部為0實(shí)部為0與的虛部相同！以下性質(zhì)僅適用于x[n]為實(shí)序列

共軛對(duì)稱（實(shí)部為偶函數(shù)）

（虛部為奇函數(shù)）789（幅度為偶函數(shù)）

（相位為奇函數(shù)）2.9傅里葉變換定理1線性如果則證明2時(shí)移若則幅頻響應(yīng)相同見下頁，下面是相頻：取nd=2，可看到時(shí)移后相頻的變化幅頻響應(yīng)相同3頻移若則幅頻響應(yīng)相同見下頁，下面看相頻：取0.5，可看到相頻圖像右移了0.5單位幅頻響應(yīng)相同4時(shí)間倒置若則幅頻響應(yīng)相同見下頁，下面看相頻：可看到相頻圖形為軸對(duì)稱圖形幅頻響應(yīng)相同5頻域微分若則相頻響應(yīng)相同見下頁，下面看幅頻：相頻響應(yīng)相同5帕斯瓦爾能量密度譜能量有限信號(hào)若則證明

令n=0

6卷積則若證明:7調(diào)制若則證明

例2.21例2.22例2.24作業(yè)2.12.52.8參考：2.1a\