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文檔簡介

一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理四、小結(jié)三、柯西中值定理第一節(jié)中值定理一、羅爾(Rolle)定理例如,幾何解釋:證注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,例1證:由零點定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,試證：必存在一點(0,3)，使得例2設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且證因為

f(x)在[0,3]上連續(xù)，則f(x)在[0,2]上連續(xù)，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，于是

由于題目沒有給出函數(shù)f(x)的具體形式，所以無法直接利用羅爾定理，需要根據(jù)題設(shè)條件，借助于介值定理。[分析]因為，且函數(shù)f(x)在[c,3]上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點，使在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在

(c,3)

(0,3)，使得故二、拉格朗日中值定理(Lagrange’sMean-valueTheorem)幾何解釋:證分析:弦AB方程為作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:當(dāng)b<a時,上式仍然成立,稱為拉格朗日中值公式.思考：證明拉格朗日中值定理所作的輔助函數(shù)是唯一的嗎？拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.證推論1推論2

如果函數(shù)f(x)與g(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處導(dǎo)數(shù)都相等，則f(x)與g(x)只相差一個常數(shù)。例3證例4證由上式得例5證設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo)，又連接函數(shù)曲線上兩點的直線與函數(shù)曲線交于點，且證明：在內(nèi)至少存在一點使三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)例6證分析:結(jié)論可變形為思考：還有其它證明方式嗎？四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；1.深刻理解羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理的內(nèi)容,幾何意義及證明.2.掌握運用中值定理進行論證的思想方法.(1)中值定理常用于其它命題的證明；

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