卷積和和卷積積分

卷積和和卷積積分第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域解法

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號，通常用微分方程來描述系統(tǒng)。第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三微分方程其有無數(shù)個解；若已知初始條件：其解唯一。微分方程的經(jīng)典解。

第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三齊次解是滿足

的解

若n個特征值各不相同：

若特征值中有λ1是r重根，而其余的根都為單數(shù)，則

ci、cj的值由初始條件確定。齊次解特解特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)。

第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三微分方程的特解形式：輸入信號x(t)特解yp(t)常數(shù)C常數(shù)AtA0+A1ttpA0+A1t+A2t2+……APtp第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)一個線性系統(tǒng)可以將系統(tǒng)的響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。即：

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)而：第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：已知一系統(tǒng)的微分方程為：

求分別輸入

時(shí)的輸出y(t)。解：第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.2單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)：線性時(shí)不變系統(tǒng)在單位沖激信號的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。用h(t)表示。即：第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三分析如下電路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。解：建立系統(tǒng)的微分方程：第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

由于沖激函數(shù)是在t=0時(shí)給系統(tǒng)注入了一定的能量，而在t>0時(shí)，系統(tǒng)的激勵為0。相當(dāng)于在0－到0＋時(shí)刻，使系統(tǒng)具有了一定的初始能量。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有相同的形式。這里，用h(t)表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。即：注意：單位沖擊響應(yīng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.3卷積積分

對于線性系統(tǒng)，可以將輸入信號分解為許多簡單信號之和。如果求得簡單信號作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，那么，所有這些響應(yīng)疊加起來就是該輸入作用于系統(tǒng)的響應(yīng)。一個任意的輸入信號可以分解為：指數(shù)函數(shù)、沖激函數(shù)、階躍函數(shù)等等。這里討論將信號分解為沖激函數(shù)之和的情況。第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三矩形信號：分為一系列寬度相等的窄矩形脈沖之和若：第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)x(t)為無時(shí)限的信號，將它分解為一系列寬度為的窄脈沖之和。當(dāng)則：第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t),則系統(tǒng)對應(yīng)于的沖激響應(yīng)為則系統(tǒng)對輸入x(t)的總響應(yīng)為所有沖激響應(yīng)之和：當(dāng)：求和符號改為積分符號第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三上述積分是x(t)與h(t)之間的一種二元運(yùn)算，用y(t)=x(t)*h(t)表示。即第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三卷積積分的圖解法

卷積的圖解法有助于我們理解卷積的物理意義以及求解步驟，以x(t)*h(t)為例：1、將h(τ）反折，得h(-τ）2、將h(-τ）沿τ軸時(shí)延t秒，得得h(t－τ）3、將x(τ）與h(t－τ）相乘，得x(τ）h(t－τ）4、沿τ軸對x

(τ）h(t－τ）積分第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：設(shè)x(t)與h(t)如圖所示，求y(t)=x(t)*h(t)反折：時(shí)移第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（1）（2）（3）第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（4）(5)y(t)的時(shí)域波形如圖所示：第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：求解：第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：已知求：第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三求：例：已知第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)（1）滿足交換律：（2）滿足分配律：（3）卷積的結(jié)合律：第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（4）卷積的微分：兩個函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積。即：（5）卷積的積分：第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

應(yīng)用類似的推演可以到處卷積的高階導(dǎo)數(shù)或多重積分之運(yùn)算規(guī)律：設(shè)，則有：

此處，當(dāng)i、j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。一個簡單的例子為：第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三4.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積（1）函數(shù)x(t)與單位沖激函數(shù)δ(t)卷積的結(jié)果仍然是x(t)本身。即：證明：第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三證明：第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例解：將h(t)寫成與階躍函數(shù)乘積的形式：第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：已知求：第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.4卷積和

在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，可以利用卷積積分的方法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這時(shí)，首先把激勵信號分解成沖激函數(shù)，把這些沖激響應(yīng)的疊加即可得到系統(tǒng)對此激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。這個過程稱為卷積積分。

在離散系統(tǒng)中，由于離散信號本身就是不連續(xù)的序列，對應(yīng)每個樣值序列，每一響應(yīng)也是一個離散時(shí)間序列，把這些序列疊加即得離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三對于任意的激勵信號x[n]可以表示成單位沖激序列的加權(quán)和，即：第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2

卷積和的性質(zhì)：

與連續(xù)函數(shù)的卷積積分的性質(zhì)類似，離散函數(shù)的卷積和也滿足交換律，結(jié)合律以及分配律。第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三以及滿足：第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三下面分析卷積和的幾種運(yùn)算方法：從卷積和的表達(dá)式：可知，卷積和也要經(jīng)過以下四個步驟：第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三圖解法：以一個例子說明這個方法。已知：第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（3）相乘、求和：第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三卷積和的波形如下：第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.解析式法：

對于能夠?qū)懗杀容^簡潔的表達(dá)式的離散函數(shù)，可以通過定義求出卷積和。

對于這種不是很明顯就看成卷積和的上下限的函數(shù)，一般也要通過圖解法作為輔助的手段。第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（3）多項(xiàng)式相乘法

對于序列長度不是很長的序列，可以通過利用多項(xiàng)式乘法求解。下面舉一例子說明這種方法。為書寫方便，寫成如下形式：第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

將兩序列的左端或右端對齊，然后相乘。這里采用左端對其的方式。要注意的是不能進(jìn)位，最后把同一列上的乘積值按對位求和即可得到y(tǒng)[n]。第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

上面的這個表達(dá)式還不完整，還沒有確定y[n]的定義域。一般的，對于一個定義為[n1,n2]的序列x[n]以及[n3,n4]的序列h[n],h[n-k]的定義域?yàn)閇n-n4,n-n3]，即第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

上面這道例題，其中n1=0，n2＝3，n3=0，n4=2，則其定義域?yàn)閇0，5]。第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（4）序列長度x[n]定義在[n1,n2]以及h[n]定義在[n3,n4]上。若定義x[n]的序列長度為Nf，h[n]的序列長度為Nh，y[n]的長度為Ny,則第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三（4）解卷積運(yùn)算

在許多信號處理的實(shí)際問題中，需要做解卷積運(yùn)算，即已知x[n](h[n])，y[n]，求h[n](x[n])。解卷積運(yùn)算可以用長除法來進(jìn)行。仍舉上面的例子進(jìn)行說明。第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

其起始位置可以通過我們在前面求卷積和的方法來推導(dǎo)出。第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

例：設(shè)3個LTI因果系統(tǒng)的級聯(lián)如圖所示，其中沖激響應(yīng)h2[n]為h2[n]=u[n]-u[n-2]而總的沖激響應(yīng)為：h[n]={1,5,10,11,8,4,1},n=0,1,2,3,4,5,6;(1)求沖激響應(yīng)h1[n];(2)求整個系統(tǒng)對x[n]=δ[n]-δ[n-1]的響應(yīng)。第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三這里相當(dāng)于求卷積，采用長除法：第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

故：h1[n]={1,3,3,2,1}n=0,1,2,3,5第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的記憶性系統(tǒng)的可逆性系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的穩(wěn)定性第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)的記憶性系統(tǒng)的無記憶性意味著，任何時(shí)刻的輸出信號值僅取決于同一時(shí)刻的輸入信號值，而與其他時(shí)刻的輸入信號值無關(guān)。無記憶系統(tǒng):DT:y[n]=kx[n],h[n]=k[n]CT:y(t)=kx(t),h(t)=k(t)即：在一個LTI系統(tǒng)中，只有滿足下列條件時(shí)，LTI系統(tǒng)才是無記憶的。第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三二、LTI系統(tǒng)的可逆性給定一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1(t)，則必定有：h(t)*h1(t)=δ(t)例：一個信號與一個移位沖激的卷積就是該信號的移位。第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三三、LTI系統(tǒng)的因果性連續(xù)和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果判據(jù)分別是：例子：請問以下系統(tǒng)是因果系統(tǒng)么？1、h[n]=u[n]2、h[n]=δ[n]-δ[n-1]3、h[n]=(4)nu[2-n]4、h(t)=e-3tu(t-1)因果；因果；非因果;因果。h(t)=0,t<0或h[n]=0,n<0第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間線性系統(tǒng)的因果性等價(jià)于這樣的條件，即對于任何時(shí)刻t0或n0，若對任何輸入x(t)或x[n]，系統(tǒng)的輸出或分別滿足如下條件：這個條件正是上述物理規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，通常叫做“初始松弛”。注意：對于線性系統(tǒng)，因果性等效于初始松弛。第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三四、LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)或離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件：第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例：下列系統(tǒng)是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)么？是；否。第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.5.3LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)s(t)或s[n]，就是輸入為u(t)或u[n]時(shí)LTI系統(tǒng)的輸出。一個連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：s(t)=u(t)*h(t)即：第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三一個離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：s[n]=u[n]*h[n]即：第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三單位沖激函數(shù)的卷積定義δ(t)的運(yùn)算定義為：即將δ(t)定義為與任意函數(shù)卷積運(yùn)算能產(chǎn)生該函數(shù)本身的一種函數(shù)。2.6奇異函數(shù)第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三δ(t)的性質(zhì)1、δ(t)具有單位面積2、偶函數(shù)3、δ(t)的篩選性質(zhì)4、x(t)δ(t)=x(0)δ(t)第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

δ(t)各階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算定義考慮LTI系統(tǒng)：這個系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是單位沖激的導(dǎo)數(shù)，稱為單位沖激偶u1(t).第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三δ(t)的k階導(dǎo)數(shù)δ(k)(t)都是奇異函數(shù)。uk(t)是δ(t)的k階導(dǎo)數(shù),是一個取輸入k次導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)定義：第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三

δ(t)各次積分的運(yùn)算定義單位階躍函數(shù)u(t)是δ(t)的一次積分,δ(t)的二次積分為：第68頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三定義：u-k(t)是δ(t)的k次積分,是一個取輸入k次積分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。第69頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.7用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

在連續(xù)系統(tǒng)中，通過建立系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程，然后對其求解，以獲得系統(tǒng)的響應(yīng)。

在離散系統(tǒng)中，對系統(tǒng)建立的是差分方程。第70頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)微分方程經(jīng)典解法：零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)：第71頁，共80