古典概型與幾何概型-練習(xí)題

古典概型與幾何概型1．(2019·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)選拔性考試)長(zhǎng)郡中學(xué)要從師生推薦的參加講課比賽的3名男教師和2名女教師中，任選2人參加講課比賽，則選取的2人恰為一男一女的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選B從3名男教師和2名女教師中任選2人參加講課比賽，基本事件總數(shù)為10，選取的2人恰為一男一女包含的基本事件個(gè)數(shù)為6，故選取的2人恰為一男一女的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B.2．(2019·貴陽(yáng)模擬)某市國(guó)際馬拉松邀請(qǐng)賽設(shè)置了全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松三個(gè)比賽項(xiàng)目，4位長(zhǎng)跑愛(ài)好者各自任選一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，則這三個(gè)項(xiàng)目都有人參加的概率為()A.eq\f(8,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(8,27)解析：選B基本事件總數(shù)n＝34＝81，這三個(gè)項(xiàng)目都有人參加所包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，故這三個(gè)項(xiàng)目都有人參加的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9).3．(2019·廣東五校聯(lián)考)從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)，則這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,8)解析：選C從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)的取法共有Ceq\o\al(7,9)＝36種，從(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任選3組，有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法，故這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，選C.4．(2019·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：今有勾八步，股一十五步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A.eq\f(3π,10) B.eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)解析：選D直角三角形的斜邊長(zhǎng)為eq\r(82＋152)＝17，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴內(nèi)切圓的面積為πr2＝9π，∴豆子落在內(nèi)切圓外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20).5．(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖，扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延長(zhǎng)OP交弧AB于點(diǎn)C，現(xiàn)向扇形AOB內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7) D.eq\f(3,8)解析：選A設(shè)OA＝3，則AB＝3eq\r(3)，AP＝eq\r(3)，由余弦定理可求得OP＝eq\r(3)，則∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面積為eq\f(3π,4)，又扇形AOB的面積為3π，從而所求概率為eq\f(\f(3π,4),3π)＝eq\f(1,4).6．在如圖所示的圓形圖案中有12片樹(shù)葉，構(gòu)成樹(shù)葉的圓弧均相同且所對(duì)的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自樹(shù)葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B．4－eq\f(6\r(3),π)C．4eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D．4eq\f(2,3)解析：選B設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點(diǎn)取自樹(shù)葉(即圖中陰影部分)的概率為eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：選Df′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．滿(mǎn)足a2＞b2的有6個(gè)基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).8．(2019·安陽(yáng)模擬)在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于eq\f(a,2)的概率是()A．eq\f(11,12)－eq\f(\r(3),6)π B．1－eq\f(\r(3),6)πC．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：選B如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為a，分別以它的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，eq\f(a,2)為半徑，在△ABC內(nèi)部畫(huà)圓弧，得到三個(gè)扇形，則點(diǎn)P在這三個(gè)扇形外，因此所求概率為eq\f(\f(\r(3),4)a2－\f(1,2)×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,\f(\r(3),4)a2)＝1－eq\f(\r(3),6)π，故選B.9．(2019·石家莊畢業(yè)班摸底)一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y＞x，y＞z時(shí)，稱(chēng)這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合{1,2,3,4}中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：選B從集合{1,2,3,4}中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)共有24個(gè)結(jié)果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸數(shù)”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8個(gè)結(jié)果，所以這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，故選B.10．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3解析：選A法一：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC，以AB為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝eq\f(π,8)AB2，以AC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(π,8)AC2，以BC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2＝eq\f(π,8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq\f(π,8)BC2－eq\f(1,2)AB·AC，SⅡ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由幾何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ,S總)，p2＝eq\f(SⅡ,S總)，∴p1＝p2.故選A.法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2eq\r(2)，所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×12－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\r(2)2,2)－2))＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝eq\f(π×\r(2)2,2)－2＝π－2.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得p1＝p2＝eq\f(2,π＋2)，p3＝eq\f(π－2,π＋2)，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A.11．甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績(jī)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，則eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙的概率是________．解析：設(shè)污損處的數(shù)字為m，由eq\f(1,5)(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝eq\f(1,5)(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即當(dāng)m＝5時(shí)，甲、乙兩人的平均成績(jī)相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10種可能，其中，當(dāng)m＝6,7,8,9時(shí)，eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，故所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)12．(2018·湖北武漢模擬)某路公交車(chē)在6：30,7：00,7：30準(zhǔn)時(shí)發(fā)車(chē)，小明同學(xué)在6：50至7：30之間到達(dá)該車(chē)站乘車(chē)，且到達(dá)該站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為_(kāi)_______．解析：小明同學(xué)在6：50至7：30之間到達(dá)該車(chē)站乘車(chē)，總時(shí)長(zhǎng)為40分鐘，公交車(chē)在6：30,7：00,7：30準(zhǔn)時(shí)發(fā)車(chē)，他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘，則必須在6：50至7：00或7：20至7：30之間到達(dá)，時(shí)長(zhǎng)為20分鐘，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．(2019·南京模擬)口袋中有形狀、大小完全相同的4個(gè)球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4，若從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的概率為_(kāi)_______．解析：從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6個(gè)基本事件，其中摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4個(gè)，因此摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)14．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值．(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依題意共有小球n＋2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球概率為eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)抽取2個(gè)小球，(a，b)所有可能的結(jié)果為(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12種，而滿(mǎn)足2≤a＋b≤3的結(jié)果有8種，故P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絜q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R))，由幾何概型得概率為P＝eq\f(22－\f(1,4)π·22,22)＝1－eq\f(π,4).15．(2019·昆明適應(yīng)性檢測(cè))某校為了解高一學(xué)生周末的閱讀時(shí)間，從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人的周末閱讀時(shí)間(單位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9組，制成樣本的頻