非等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算方法(范本模板)

第二章：數(shù)列nn(S,(n=1)nn-1⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即a－na=d,(n≥2，n∈N+)，n-1那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.n1mnn122⑸常用性質(zhì):nkpnnnnn{a}(p,q=N*)、，…也成等差數(shù)列。⑤性:{a}的公差為d，則：dan}為遞減數(shù)列;nnnk2kk3k2kb已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，n1m⑷前n⑸常用性質(zhì)+mnpqnnnnnnlanJ{ar}(r=Z)是等比數(shù)列,公比依次是q，q2，1，qr.nq1n11nnn⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。nnk2kk3k2k4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類類型Ⅰ觀察法:aaannnnnn(S,(n=1)1n一)。類型類型Ⅲ21n1②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;類類型Ⅳ形如a=a.f(n)(|an+1=f(n))|型的遞推數(shù)列(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu)造：n+1n(a)n〈a1n1有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類類型Ⅴ㈠形如a=pa+q(其中p,q均為常數(shù)且p才0)型的遞推式:n+1nn(2)若q=0時(shí)，數(shù)列{a}為等比數(shù)列;n(3)若p才1且才0時(shí)，數(shù)列{a}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等nn+1nn+1nllnp-1J1p-1a=pa+q比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得n+1nn+1nnn-1a-a{a-a}構(gòu)成以a-a為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出{aa}n通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為n+1n21n+1n類型Ⅲ(累加法)便可求出a.npn+1nnn-1nnn法二：當(dāng)f(n)的公差為d時(shí)，由遞推式得：a=pa+f(n)，a=pa+f(n-1)n+1nnn-1兩式相減得：a-a=p(a-a)+d,令b=a-a得：b=pb+d轉(zhuǎn)化為類型n+1nnn-1nn+1nnn-1Ⅴ㈠求出b，再用類型Ⅲ(累加法)便可求出a.nn⑵當(dāng)f(n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí):nn-11n{a+入f(n)}的通項(xiàng)整理可得a.nn法二：當(dāng)f(n)的公比為q時(shí)，由遞推式得:a=pa+f(n)-—n+1nnn-1nn-1類型Ⅷ類型Ⅷnnnnaqanpaqnpqaparqnpqn+1nn+1nr均為常數(shù))時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn+1，得：nr均為常數(shù))時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn+1，得：n+1=.n+，引入輔qn+1qqnq助數(shù)列(其中b=an),得：b=pb+1再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決。nnqnn+1qnq⑶當(dāng)f(n)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：n+1npn+1pnpn+1pnnb=b+f(n)，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ(累加法)，求出b之后得a=pnb。n+1npn+1nnn類類型Ⅵnnn+1n+1nnnbqblgpapaqbabn底數(shù)不一定n+1nn+1nnn類型Ⅶ類型Ⅶ11=+p形式,化歸為a=pa+q型求出1的表達(dá)式，再求a;nnnaan+1nnn還有形如a=man的遞推式,也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成1=m1+m形式，化歸為n+1pa+qaqapnn+1nnnnnnnn+1n用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{a一a}的形式求解。方法為:設(shè) nnn+1n11{aka}是公比為h的等比數(shù)列,這樣就化歸為a=pa+q型.n+1nn+1n上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公a式.n5、非等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法⑴錯(cuò)位相減法a為等比數(shù)列，則數(shù)列{a.b}的求和就要采用此法.nnnn②將數(shù)列{a.b}的每一項(xiàng)分別乘以的公比,然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)