三角形的概念及基本性質(zhì)-教案

三角形的概念及基本性質(zhì)-教案 個(gè)性化教案三角形相關(guān)的概念適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長（分鐘）120分鐘知識(shí)點(diǎn)三角形中幾條重要的線段三角形的一般性質(zhì)三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)理解掌握三角形的相關(guān)的概念；能夠利用三角形相關(guān)的概念解決一些實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)三角形相關(guān)知識(shí)的點(diǎn)的靈活掌握教學(xué)難點(diǎn)三角形的邊角關(guān)系、性質(zhì)的靈活應(yīng)用教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；（5）三角形具有穩(wěn)定性。4.補(bǔ)充性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則。三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用三、例題精析【例題1】【題干】銳角三角形ABC中，∠C＝2∠B，則∠B的范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉殇J角三角形，所以又∠C＝2∠B，又∵∠A為銳角，為銳角，即，故選擇C。【例題2】【題干】已知三角形的一個(gè)外角等于160°，另兩個(gè)外角的比為2:3，則這個(gè)三角形的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定【答案】C【解析】由于三角形的外角和等于360°，其中一個(gè)角已知，另兩個(gè)角的比也知道，因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：∵三角形的一個(gè)外角等于160°∴另兩個(gè)外角的和等于200°設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x，3x解得：與80°相鄰的內(nèi)角為100°∴這個(gè)三角形為鈍角三角形【例題3】【題干】如圖，已知：在中，，求證：。【答案】證明：作∠ABC的角平分線BE交AC于E，過點(diǎn)A作AF//BE交CB的延長線于F又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF又∵，又∵【解析】欲證，可作∠ABC的平分線BE交AC于E，只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系，又作AF//BE交CB的延長線于F。顯然∠EBC＝∠F，只要證即可。由可得證。【例題4】【題干】已知：如圖，在中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證：（1）∠BEC＞∠BAC；（2）AB＋AC＞BE＋EC。【答案】證明：（1）∵∠BED是的一個(gè)外角，同理，即（2）延長BE交AC于F點(diǎn)即【解析】在（1）中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在（2）中，添加一條輔助線，轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。【例題5】【題干】求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。已知：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD。求證：∠AFB＝45°【答案】證明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C∠ABD＝∠CAB＋∠C∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD在中，【解析】欲證，須證∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD∴要轉(zhuǎn)證∠EAB＋∠ABD＝270°又∵∠C＝90°，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和∴問題得證四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.已知：三角形的三邊長為3，8，，求x的取值范圍。分析：本題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。解：∵三邊長分別為3，8，，由三邊關(guān)系定理得：2.已知：中，，D點(diǎn)在BC的延長線上，使，，，求α和β間的關(guān)系為？解：又，又∵根據(jù)三角形內(nèi)角和，得：3.如圖，中，的平分線交于P點(diǎn)，，則（）A.68° B.80° C.88° D.46°答案:C解析:又∵BP、CP為∠B、∠C的平分線4.已知：如圖，AD是的BC邊上高，AE平分。求證：證明：∵AE平分∠BAC，又∵AD⊥BC，又【鞏固】1.求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半。證明：如圖，設(shè)的∠BAC和∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)D則又。2.在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是（）A.1＜AB＜29B.4＜AB＜24C.5＜AB＜19D.9＜AB＜19分析:在解三角形的有關(guān)中線問題時(shí)，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識(shí)求解，這也是一種常見的作輔助線的方法.答案:D3.如圖，將一副三角板折疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，則∠AOC+∠DOB=度答案:180解析:本題考查了角度的計(jì)算問題，因?yàn)楸绢}中∠AOC始終在變化，因此可以采用“設(shè)而不求”的解題技巧進(jìn)行求解解：設(shè)∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°-a，

所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°．故答案為180°．4.如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，試求∠DAC，∠ADC的度數(shù)．答案:解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，

∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC-∠1=4∠1+63°-∠1=3∠1+63°=180°，

∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，

∴∠DAC=63°-∠1=63°-39°=24°，∠ADC=∠3=78°．解析:由三角形的內(nèi)角和是180°，和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．【拔高】如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝61°，延長BC至E，使CE＝AC，延長CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度數(shù).分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出∠D＋∠E的度數(shù)，即可求得∠DAE的度數(shù).如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D.問：△AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析：（1）DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD＋AE＝BE＋BC＋CD（2）既有等邊三角形的條件，就有60。的角可以利用；又有垂線，可造成含30°角的直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明.答案:過P作PM∥AC，PN∥AB

∴∠PMB=∠A=∠B，∠PNC=∠A=∠C

∴PM=PB，PN=PC

∵PE⊥AB，PD⊥AC

∴BE=EM，CD=DN

∴四邊形AMPN為平行四邊形，

∴AN=PM，AM=PN

∴三角形AED的周長=AE+ED+AD

=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB

=BE+BC+CD+ED=四邊形EBCD的周長3.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有個(gè)答案:121解析:解決此題關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的以及與第一個(gè)圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．解：第1個(gè)大三角形中白色三角形有1個(gè)；第2個(gè)大三角形中白色三角形有（1+3）個(gè)；第3個(gè)大三角形中白色三角形有（1+3+32）個(gè)；那么第5個(gè)大三角形中白色三角形有（1+3+32+33+34）=121個(gè)．4.如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝______．分析：∠ABC與∠DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會(huì)迎刃而解．解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°．課程小結(jié)知識(shí)點(diǎn)1:三角形的邊、角關(guān)系①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何兩邊之差小于第三邊；③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；④三角形三個(gè)外角的和等于360°；⑤三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；⑥三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2:三角形的主要線段和外心、內(nèi)心①三角形的角平分線、中線、高；②三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；③三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；④連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA=15米，OB=10米，A、B間的距離不可能是（）A.20米B.15米C.10米D.5米答案:D解析:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長一定＞已知的兩邊的差，而＜兩邊的和，求得相應(yīng)范圍，看哪個(gè)數(shù)值不在范圍即可．∵15-10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．

∴所以不可能是5米．故選D．2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.60°答案:B解析:利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算．通過已知條件由∠B=90°，∠BAE=10°?∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．∵ED是AC的垂直平分線，∴AE=CE∴∠EAC=∠C，又∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠AEB=80°，又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠C=40°．3.（1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：①若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。②若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：①若頂角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。②若底角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80°、20°。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°?！眷柟獭?.下面是小強(qiáng)用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）下面是小強(qiáng)用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）B.C.D.答案:C解析:因?yàn)槿切蔚亩x為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形解：因?yàn)槿切问怯刹辉谕粭l直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．2.三角形外心具有的性質(zhì)是（）A.到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等B.到三邊距離相等C.外心必在三角形外D.到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍答案:A解析:∵三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，

∴到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等．

故選A．3.已知△ABC中，∠ACB＝90o，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。求證：△HEF≌△EHC；分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF＝CH，HF＝EC。要證明三角形相似，從條件中得∠FHE＝∠CHB＝90o，由全等三角形可知，∠HEF＝∠HCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明：∵HE⊥BC，HF⊥AC，∴∠CEH＝∠CFH＝90o。又∵∠ACB＝90o，∴四邊形CEHF是矩形。∴EF＝CH，HF＝EC，∠FHE＝90o。又∵HE＝EH，∴△HFE≌△EHC?！景胃摺?.如圖，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分線與∠A2008CD的平分線交于點(diǎn)A2009，得∠A2009，則∠A2009=答案:

解析:讀懂題意，根據(jù)角平分線的定義找規(guī)律，按規(guī)律作答．利用外角的平分線表示∠ACA1，再根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此類推，后一個(gè)是前一個(gè)的一半，而2的次數(shù)與腳碼相同．2.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；②連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正