文科-數(shù)列-數(shù)列的通項公式與求和-(2019高考復(fù)習(xí)資料)

第2節(jié)數(shù)列的通項公式與求和題型74數(shù)列通項公式的求解1.(2013安徽文19）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；；（2）若，求數(shù)列的前項和.1.分析（1）求導(dǎo)，代入，并對所得式子進行變形，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由題目條件求基本量，得通項公式.（2）將代入化簡，利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項和公式計算.解析（1）由題設(shè)可得.對任意，，即，故為等差數(shù)列.由，，可得數(shù)列的公差，所以.（2）由知，.2.（2013廣東文19）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，,且構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)，有2.分析（1）把代入遞推式，可以得到和的關(guān)系式，變形可得.（2）鑒于遞推式含有的特點，常用公式進行化異為同，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項.（3）要證的不等式的左邊是一個新數(shù)列的前項和，因此要求和、化簡，因為是一個分式，常常通過裂項相消法逐項相消，然后再通過放縮，得出結(jié)論.解析（1）證明：由，得，即，所以.因為，所以.（2）因為①所以當(dāng)時，②由①-②得，即.因為，所以，即.因為成等比數(shù)列，所以，即，解得.又由（1）知，所以，所以.綜上知，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項公式為.（3）證明：由（2）知，所以.3.（2013江西文16）正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列的前項和為．3.分析（1）根據(jù)已知的和的關(guān)系式進行因式分解，通過得到數(shù)列的通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入的表達式，利用裂項法求出數(shù)列的前項和.解析（1）由，得.由于是正項數(shù)列，所以.（2）由，則，.(2013重慶文16）設(shè)數(shù)列滿足：.（1）求的通項公式及前項和；（2）已知是等差數(shù)列，為其前項和，且，求.4.分析根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項公式及前項和公式直接運算求解.解析（1）由題設(shè)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），所以公差，故.5.(2013湖南文19）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，2，.（1）求，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.5.分析根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式，求其通項；利用錯位相減法求前項和.解析（1）令，得，即.因為，所以.令，得，解得.當(dāng)時，由，即.于是數(shù)列是首項為.公比為的等比數(shù)列.因此，.所以的通項公式為.（2）由（1）知，.記數(shù)列的前項和為，于是，.，得.從而.6.（2014陜西文4）根據(jù)如圖所示框圖，對大于的整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項公式是（）.A.B.C.D.7.（2014新課標(biāo)Ⅱ文16）數(shù)列滿足，，則.8.（2014江西文17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：對任意，都有，使得成等比數(shù)列.9.（2014大綱文17）（本小題滿分10分）數(shù)列滿足.（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（2）求的通項公式.10.（2014廣東文19）（本小題滿分14分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.求的值；求數(shù)列的通項公式；求證：對一切正整數(shù)，有.11.（2014湖南文16）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.12.（2015陜西文16）觀察下列等式：……據(jù)此規(guī)律，第個等式可為______________________.12.解析觀察等式知，第個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為.13.（2015江蘇卷11）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項的和為．13.解析解法一：可以考慮算出前項，但運算化簡較繁瑣．解法二：由題意得，，…，故累加得，從而，當(dāng)時，滿足通項．故，則有．14.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和.14.解析（1）因為是等比數(shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.15.（2015北京文16）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項相等？15.解析（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，①②得，.數(shù)列的通項公式為.（2）等比數(shù)列中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，.，得，則與數(shù)列的第項相等.16.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．16.分析（1）利用基本量法可求得，，進而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項和．解析（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.17.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，．已知，，，且當(dāng)時，．（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式．17.解析（1）當(dāng)時，，即，解得.（2）因為（），所以（），即（），亦即，則.當(dāng)時，，滿足上式.故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是.18.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，.(1)求數(shù)列，的通項公式;(2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和.18.解析(1)由題意有，，即.解得，或.故或.(2)由，知，，故，于是，①.②式①式②可得.故.19.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即.令，得，即.聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.19.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.19.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因為，，成等差數(shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.20.（2015天津文18）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.20.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和.解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項公式為，的通項公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項和為，則，，兩式相減得，所以.21.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為，求.21.解析(1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以，又，所以.（或采用累乘法）(2)，所以，所以，所以.22.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和.22.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，，化簡得，，解得，，故通項公式，．（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項和.23.（2016浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.23.解析（1）由題意得，則.因為，，所以，得.又知，所以數(shù)列的通項公式為，.（2）對于，，，當(dāng)時，有.設(shè)，，，，當(dāng)時，有.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，.當(dāng)時，，時也滿足此式，所以.24.（2017全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.24.解析（1）令，則有，即.當(dāng)時，=1\*GB3①=2\*GB3②得，即，得.當(dāng)時，也符合，所以.（2）令，所以.評注本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法.25.（2017山東文19）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和，已知，求數(shù)列的前項和.25.解析（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，.又，解得，，所以.（2）由題意知，.又，，所以.令，則，因此，又，兩式相減得，所以.題型75數(shù)列的求和1.（2015湖南文5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的（）.A.B.C.D.1.解析由題意，輸出的為數(shù)列的前項和，即.故選B.2.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和.2.解析（1）因為是等比數(shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.3.（2014安徽文18）（本小題滿分12分）數(shù)列滿足，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.3.解析（=1\*ROMANI）由已知可得，即.所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得，所以.從而.，①.②得.所以.評注本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯位相減法求數(shù)列的前項和，解題時利用題（=1\*ROMANI）提示對遞推關(guān)系進行變形是關(guān)鍵.4.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．4.分析（1）利用基本量法可求得，，進而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項和．解析（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.5.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，.(1)求數(shù)列，的通項公式(2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和.5.解析(1)由題意有，，即.解得，或.故或.(2)由，知，，故，于是，①.②式①式②可得.故.6.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，且.（1）證明：；（2）求.6.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，.（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是，從而，綜上所述，.7.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.7.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即令，得，即聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.8.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.8.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因為，，成等差數(shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.9.（2015天津文18）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.9.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和.解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項公式為，的通項公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項和為，則，，兩式相減得，所以.10.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為，求.10.解析(1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以.又，所以（或采用累乘法）.(2)，所以，所以，所以.11.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和.11.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，，化簡得，，解得，，故通項公式，．（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項和.12.（2016北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.12.解析（1）等比數(shù)列的公比，所以，.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，，所以，即.所以.（2）由（1）知，，.因此.從而數(shù)列的前項和.13.（2016山東文19）已知數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令.求數(shù)列的前n項和.13.解析（1）由題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，即，所以，以上兩式兩邊相減得.所以.14.（2016浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.14.解析（1）由題意得：，則.因為，，所以，得.又知，所以數(shù)列的通項公式為，.（2）對于，，，當(dāng)時，有.設(shè)，，，，當(dāng)時，有.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，.當(dāng)時，，時也滿足此式，所以.15.（2017全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.15.解析（1）令，則有，即.當(dāng)時，=1\*GB3①=2\*GB3②得，即，得.當(dāng)時，也符合，所以.（2）令，所以.評注本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法.16.（2017山東文19）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和，已知，求數(shù)列的前項和.16.解析（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，.又，解得，，所以.（2）由題意知，.又，，所以.令，則，因此，又，兩式相減得，所以.第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型143歸納推理2013年1.(2013陜西文13）觀察下列等式：照此規(guī)律，第個等式可為.2014年1.（2014陜西文14）已知，，，，則的表達式為__________.2.（2014安徽文12）如圖所示，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；…，以此類推，設(shè)，，，…，，則.2015年1.（2015陜西文16）觀察下列等式：……據(jù)此規(guī)律，第個等式可為__________.1.解析觀察等式知，第個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為.2.（2015江蘇23）已知集合，，設(shè)整除或整除，，令表示集合所含元素的個數(shù)．（1）寫出的值；（2）當(dāng)時，寫出的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．2.分析其實解決此除了需要有良好的數(shù)學(xué)分類思維以外，還需下表輔助我們理解問題的本質(zhì)．帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)（其實是奇葩，其余的都是的倍數(shù)），帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)，而則表示既是的倍數(shù)或約數(shù)又是的倍數(shù)或約數(shù)（即為的倍數(shù)或約數(shù)，此題不作研究）．這樣研究時，可直接得:，當(dāng)時，可直接得：．這就是本題的本質(zhì)，以為周期進行分類整合并進行數(shù)學(xué)歸納研究．解析（1）當(dāng)時，，，可取，，，，，，，，，，，，，共個，故．（2）當(dāng)時，，證明：當(dāng)時，枚舉可得，，，，，，符合通式；假設(shè)時，成立，即成立，則當(dāng)時，此時，此時比多出有序數(shù)對個，即多出，，，，，，，，，，，從而，符合通式；另外，當(dāng)，，，，，同理可證，綜上，即，即當(dāng)時也成立．例如時，，則，綜上所述：．2016年1.（2016山東文12）觀察下列等式：；；；；……照此規(guī)律，_________.1.解析通過觀察這一系列等式可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊最前面的數(shù)都是，接下來是和項數(shù)有關(guān)的兩項的乘積，經(jīng)歸納推理可知是，所以第個等式右邊是.題型144類比推理——暫無題型145演繹推理——隱含在好多題目的證明過程中補充題型邏輯推理2014年1.（2014新課標(biāo)Ⅰ文14）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過，，三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；乙說：我沒去過城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為.2017年1.（2017全國2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：“你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績”．看后甲對大家說：“我還是不知道我的成績”．根據(jù)以上信息，則（）.A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績1.解析由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果.故選D.第二節(jié)證明題型146綜合法與分析法證明2015年1.（2015全國II文24）選修4-5：不等式選講設(shè)，，，均為正數(shù)，且.證明：(1)若，則；(2)是的充要條件.1.分析（1）由，及，可證明，兩邊開方即得；（2）由第（1）問的結(jié)論來證明.在證明中要注意分別證明充分性和必要性.解析（1）因為，，由題設(shè)，，得，因此.（2）(i)若，則，即.因為，所以，由（1）得.(ii)若，則，即.因為，所以，于是，因此.綜上，是的充要條件.命題意圖不等式的證明要緊抓不等式的性質(zhì)，結(jié)合其正負性來證明.充要條件的證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，要分充分性和必要性兩個方面來證明.2016年1.（2016四川文18（1））在中，角，，所對的邊分別是，，，且證明：.1.解析根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，，.代入中，有，可變形得在中，由，有，所以2.（2016浙江文16（1））在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.證明：.2.解析（1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以題型147反證法證明2014年1.（2014山東文4）用反證法證明命題：“設(shè)為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（）.A.方程沒有實根 B.方程至多有一個實根C.方程至多有兩個實根 D.方程恰好有兩個實根2015年1.（2015湖南理16（3））設(shè)，，且.（1）；（2）與不可能同時成立.1.解析證明：由，，得.（）由基本不等式及，有，即.()假設(shè)與同時成立，則由及得；同理，，從而，與相矛盾.故與不可能同時成立.2016年1.（2016全國甲文16）有三張卡片，分別寫有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是”，則甲的卡片上的數(shù)字是_______.1.解析由題意得：丙不拿，若丙，則乙，甲滿足；若丙，則乙，甲不滿足，故甲.2.（2016上海文22）對于無窮數(shù)列與，記，，若同時滿足條件：①，均單調(diào)遞增；②且，則稱與是無窮互補數(shù)列.（1）若，，判斷與是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；（2）若=且與是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列的前項的和；（3）若與是無窮互補數(shù)列，為等差數(shù)列且，求與的通項公式.2.解析（1）易知，，而，，所以，從而與不是無窮互補數(shù)列.（2）由題意，因為，所以.數(shù)列的前項的和為.（3）設(shè)的公差為，，則.由，得或.若，則，，與“與是無窮互補數(shù)列”矛盾，因為此時不是無窮數(shù)列；若，則，，.綜上所述，，.導(dǎo)數(shù)第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型40方程解(零點)的個數(shù)問題1.（2014江蘇19（2））已知函數(shù)．若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值．1.解析解法一：因，故，由（1）得：當(dāng)時，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點，則恒成立，從而對恒成立，構(gòu)造，則對恒成立，故單調(diào)遞減，從而，故．當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點，則恒成立，從而對恒成立，構(gòu)造，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，從而，即．綜上得．解法二：因，故，由（1）得：當(dāng)時，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點，則只需保證，又實數(shù)的解集為，因此，，是方程的三個實數(shù)根，易知該方程必有一根，從而若時，則，驗證知不為其根，故舍；若時，則，驗證知，是其根，驗證不等式，即，即，其解集為，滿足題意；若時，則，驗證知不為其根，故舍．綜上得．解法三：因，故，由（1）得：當(dāng)時，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點，則，從而，根據(jù)的取值范圍可知：是方程的根，因此．當(dāng)時，若，則根據(jù)函數(shù)有三個不同的零點，則必有，即．因此解得或或，符合題意．綜上得．評注（2）的解法一將該問題轉(zhuǎn)化到恒成立解決；解法二將問題統(tǒng)一歸類轉(zhuǎn)化到不等式的解集，進而轉(zhuǎn)化到等式（方程）的根；解法三亦是將問題轉(zhuǎn)化到不等式的解集問題進行解決．2.（2015北京文19（2））設(shè)函數(shù).證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.2.解析若存在零點，則即，解得.又，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上僅有一個零點.3.（2015廣東文21（3））設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．當(dāng)時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)．3.解析由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.(i)當(dāng)時，，.令=0，即.因為在上單調(diào)遞減，所以.而在上單調(diào)遞增，.所以在上，故與在無交點.當(dāng)時，，即.所以，所以.因為，所以.故當(dāng)時，有一個零點.(ii)當(dāng)時，，當(dāng)時，，，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，.下面比較與的大?。阂驗椋?結(jié)合圖像可知當(dāng)時，與有兩個交點.綜上，當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，與有兩個零點.4.（2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21（1））設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；4.解析由題意可得，.顯然當(dāng)時，恒成立，無零點；當(dāng)時，取，則，即單調(diào)遞增.令，即.畫出與的圖像，如圖所示.由圖可知，必有零點，所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點.5.（2015山東文20()）設(shè)函數(shù)，.已知曲線在點處的切線與直線平行.是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；5.解析時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)，當(dāng)時，.又，所以存在，使.因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根.6.（2015陜西文21（2））設(shè)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.6.解析因為，，所以在內(nèi)至少存在一個零點，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點，由于，所以，由此可得，故，所以.7.（2015四川文21（2））已知函數(shù)，其中.求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.7.解析由，解得，令.則，，所以存在，使得.令，其中.由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，即.當(dāng)時，有，，再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.又當(dāng)時，，故時，.綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.8.（2016北京文20）設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求的取值范圍；（3）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.8.解析（1）由，得.因為，，所以曲線在點處的切線方程為.（2）當(dāng)時，，所以.令，得，解得或.與在區(qū)間上的變化情況如下表所示.所以當(dāng)且時，存在，，，使得.由的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點.（3）證法一：分兩步證明.必要性：若函數(shù)有三個不同零點，那么的單調(diào)性必然變化次，因此其導(dǎo)函數(shù)必然有2個不同的零點，從而的判別式，即.非充分性：取，則函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù).所以其極大值為，其極小值為，因此函數(shù)只有1個零點.綜上所述，是有三個不同零點的必要而不充分條件.證法二：分兩步證明.必要性（反證法）若，則恒成立，所以單調(diào)遞增，于是最多只有1個零點，與條件不符，所以.以下證明同證法一.9.（2016山東文15）已知函數(shù)，其中，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是________________.9.解析因為的對稱軸為，所以時單調(diào)遞增，只要大于的最小值時，關(guān)于的方程在時有一根；又在，時，存在實數(shù)，使方程在時有兩個根，只需；故只需即可，又，所以解得，即的取值范圍是.10.（2016江蘇19）已知函數(shù).（1）設(shè)，.①求方程的根；②若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）若，，函數(shù)有且只有個零點，求的值.10.解析（1）①，由可得，則，即，則，解得；②由題意得恒成立，即恒成立.令，則由，可得，此時恒成立，即恒成立，因為時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此實數(shù)的最大值為.（2），，由，可得，令，則單調(diào)遞增，而，因此時.因此時，，，則；時，，，則.則在遞減，遞增.解法一：下證.=1\*GB3①若，則，于是，又且，因此連續(xù)函數(shù)在以與為端點的區(qū)間上存在零點，不妨記為.由且可知，這與“是函數(shù)的唯一零點”相矛盾.=2\*GB3②若，仿照=1\*GB3①可得到，連續(xù)函數(shù)在以與為端點的區(qū)間上存在大于的零點，也相矛盾.=3\*GB3③綜合=1\*GB3①=2\*GB3②可知，即，即，即，因此，則.評注解法二：（也可以作為研究對象）因此最小值為.①若，時，，，則；時，，，則；因此且時，，因此在有零點，且時，，因此在有零點，則至少有兩個零點，與條件矛盾；②若，由函數(shù)有且只有個零點，最小值為，可得，由，因此，所以，即，亦即，因此，則.11.（2016全國乙文21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.11.解析（1）由題意.=1\*GB3①當(dāng)，即時，恒成立.令，則，所以的單調(diào)增區(qū)間為.同理可得的單調(diào)減區(qū)間為.=2\*GB3②當(dāng)，即時，令，則或.（ⅰ）當(dāng)，即時，令，則或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和.同理的單調(diào)減區(qū)間為；（ⅱ）當(dāng)，即時，當(dāng)時，，，所以.同理時，.故的單調(diào)增區(qū)間為；（ⅲ）當(dāng)，即時.令，則或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，同理的單調(diào)減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）解法一（直接討論法）：易見，如（1）中討論，下面先研究（?。áⅲá＃┤N情況.①當(dāng)時，由單調(diào)性可知，，故不滿足題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，顯然不滿足題意；③當(dāng)時，由的單調(diào)性，可知，且，故不滿足題意；下面研究，當(dāng)時，，令，則，因此只有個零點，故舍去；當(dāng)時，，，所以在上有個零點；（i）當(dāng)時，由，而，所以在上有個零點；（ii）當(dāng)時，由，而，所以在上有個零點；可見當(dāng)時有兩個零點.所以所求的取值范圍為.解法二（分離參數(shù)法）：顯然不是的零點，當(dāng)時，由，得.設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與圖像有兩個交點，對求導(dǎo)得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.=1\*GB3①當(dāng)時，若，，直線與圖像沒有交點，若，單調(diào)遞減，直線與圖像不可能有兩個交點，故不滿足條件；=2\*GB3②若時，取，則，而，結(jié)合在單調(diào)遞減，可知在區(qū)間上直線與圖像有一個交點，取，，則，，結(jié)合在單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上直線與圖像有一個交點，綜上所述，時直線與圖像有兩個交點，函數(shù)有兩個零點.評注此題與2015年文科卷第（1）問基本一致，都是對函數(shù)零點個數(shù)的研究，基本形成分離與不分離兩種解答方案，但不管是否分離，都涉及到零點的取值問題.【1】=2\*GB3②=4\*GB3④可放一起研究，當(dāng)或，由題意，，故不滿足題意.【2】用分離參數(shù)的方法很多時候只能初步感知結(jié)論，不能替代論證.很多資料上在論證完的單調(diào)性后直接書寫如下過程，當(dāng)時，；當(dāng)時，令，則，所以時，；時，.綜上所述：時函數(shù)有兩個零點.這里論述時是不完備的，這里涉及到極限的知識，僅僅用是不夠的，可能會有值的趨向性，因此這種解析不完備是會扣除步驟分.【3】考試院提供的參考答案與去年提供的參考相仿：（i）設(shè)，則由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，取滿足且，則，所以函數(shù)有兩個零點.（ii）設(shè)，則，令，則，因此只有個零點，故舍去；（iii）設(shè)，若，則由（1）知，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，故不存在兩個零點；當(dāng)時，則由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，故不存在兩個零點.綜上，的取值范圍為.12.（2017全國3文12）已知函數(shù)有唯一零點，則（）.A． B． C． D．112.解析(對稱性解法)因為關(guān)于直線對稱，所以要有唯一零點，只有，由此解得.故選C.評注難度中偏上，主要考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點結(jié)論，本題的難點在于對函數(shù)的對稱性不夠了解，一般學(xué)生很難看出后面函數(shù)的對稱性，導(dǎo)致做題缺乏思路.本題與2016年的高考全國卷2文科數(shù)學(xué)的選擇壓軸題（第12題）類似，都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)來考查，需要學(xué)生有較強的基本功底并具有較強的運用能力.13.（2017江蘇14）設(shè)是定義在且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，．其中集合，則方程的解的個數(shù)是．13.解析由題意，所以只需要研究內(nèi)的根的情況．在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì)，若，則由，可設(shè)，且互質(zhì).從而，則，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，于是不可能與內(nèi)的部分對應(yīng)相等，所以只需要考慮與每個周期內(nèi)部分的交點.如圖所示，通過函數(shù)的草圖分析，圖中交點除外，其它交點均為的部分．且當(dāng)時，，所以在附近只有一個交點，因而方程解的個數(shù)為個．故填．題型41利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.（2015福建文22（2））已知函數(shù)．求證：當(dāng)時，；1.分析構(gòu)造函數(shù)，．欲證明，只需證明的最大值小于等于即可.解析令，．則有，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，即當(dāng)時，．2.（2015湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時，，；(2)設(shè)，，證明：當(dāng)時，.2.解析(1)由，的奇偶性及條件①得②聯(lián)立式①式②解得，.當(dāng)時，，，故.③又由基本不等式，有，即.④(2)由(1)得，⑤，⑥當(dāng)時，等價于，=7\*GB3⑦等價于=8\*GB3⑧設(shè)函數(shù)，由式⑤式⑥，有當(dāng)時，（a）若，由式③式④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故式=7\*GB3⑦成立.（b）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故式=8\*GB3⑧成立.綜合式=7\*GB3⑦式=8\*GB3⑧，得.3.（2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21（2））設(shè)函數(shù).求證：當(dāng)時，.3.解析由（1）可知有唯一零點，設(shè)零點為，由圖可知，則當(dāng)時，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，即.又，解得.①①兩邊分別取自然對數(shù)，得，即.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.4.（2015天津文20）已知函數(shù)其中，且.（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（3）若方程（為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，且，求證：.4.分析（2），，證明在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對任意的實數(shù)，，對于任意的正實數(shù)，都有；（3）設(shè)方程的根為，可得，由在上單調(diào)遞減，得，所以.設(shè)曲線在原點處的切線為，方程的根為，可得，由在上單調(diào)遞增，且，可得，所以.解析（2）設(shè)，則，且，得，曲線在點處的切線方程為，即，令，即.則.由于在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以對任意的實數(shù)，，對于任意的正實數(shù)，都有.（3）由（2）知，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞減，又由（2）知，所以.設(shè)曲線在原點處的切線為，可得，對任意的，有，即.設(shè)方程的根為，可得，因為在單調(diào)遞增，且，因此，所以.5.（2017全國3文21）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明．5.解析(1)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，要證，即證.令，，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即.評注本題難度中偏上，第（1）問考查導(dǎo)函數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性的討論，第（2）問屬于構(gòu)造函數(shù)證明不等式類問題，有一定難度.題型42導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用(2013重慶文20）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形儲水池（不計厚度）.設(shè)該儲水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為元/平方米.底面的建造成本為元/平方米，該儲水池的總建造成本為元（為圓周率）（1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時該儲水池的體積最大.1.分析根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.解析（1）因為蓄水池側(cè)面的總成本為（元），底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為元.又根據(jù)題意，所以，從而.因為，又由可得，故函數(shù)的定義域為.（2）因為，所以.令，解得（因為不在定義域內(nèi)，舍去）.當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；由此可知，在處取得最大值，此時.即當(dāng)，時，該蓄水池的體積最大.第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型143歸納推理2013年1.(2013陜西文13）觀察下列等式：照此規(guī)律，第個等式可為.2014年1.（2014陜西文14）已知，，，，則的表達式為__________.2.（2014安徽文12）如圖所示，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；…，以此類推，設(shè)，，，…，，則.2015年1.（2015陜西文16）觀察下列等式：……據(jù)此規(guī)律，第個等式可為__________.1.解析觀察等式知，第個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為.2.（2015江蘇23）已知集合，，設(shè)整除或整除，，令表示集合所含元素的個數(shù)．（1）寫出的值；（2）當(dāng)時，寫出的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．2.分析其實解決此除了需要有良好的數(shù)學(xué)分類思維以外，還需下表輔助我們理解問題的本質(zhì)．帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)（其實是奇葩，其余的都是的倍數(shù)），帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)，而則表示既是的倍數(shù)或約數(shù)又是的倍數(shù)或約數(shù)（即為的倍數(shù)或約數(shù)，此題不作研究）．這樣研究時，可直接得:，當(dāng)時，可直接得：．這就是本題的本質(zhì)，以為周期進行分類整合并進行數(shù)學(xué)歸納研究．解析（1）當(dāng)時，，，可取，，，，，，，，，，，，，共個，故．（2）當(dāng)時，，證明：當(dāng)時，枚舉可得，，，，，，符合通式；假設(shè)時，成立，即成立，則當(dāng)時，此時，此時比多出有序數(shù)對個，即多出，，，，，，，，，，，從而，符合通式；另外，當(dāng)，，，，，同理可證，綜上，