高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解+公式+精題(附講解)

高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解+公式+精題（附講解）引言三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有許多獨(dú)特的表現(xiàn)，是高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行考查的一個(gè)內(nèi)容。其考查內(nèi)容包括：三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數(shù)。要求掌握三角函數(shù)的定義，圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，會(huì)用“五點(diǎn)法”作正余弦函數(shù)及的簡(jiǎn)圖；掌握基本三角變換公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。了解反三角函數(shù)的概念，會(huì)由已知三角函數(shù)值求角并能用反三角函數(shù)符號(hào)表示。由于新教材刪去了半角公式，和差化積，積化和差公式等內(nèi)容，近年的高考基本上圍繞三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及簡(jiǎn)單的三角變換來(lái)進(jìn)行考查，目的是考查考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本運(yùn)算能力掌握情況。2．近年來(lái)高考對(duì)三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重視對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。每年有2—3道選擇題或填空題，或1—2道選擇、填空題和1道解答題?？偟姆种禐?5分左右，占全卷總分的約10左右。（1）關(guān)于三角函數(shù)的圖象立足于正弦余弦的圖象，重點(diǎn)是函數(shù)的圖象與y=sinx的圖象關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式，以及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性。如2000年第（5）題、（17）題的第二問(wèn)。（2）求值題這類問(wèn)題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多，主要是考查三角的恒等變換。如2002年（15）題。（3）關(guān)于三角函數(shù)的定義域、值域和最值問(wèn)題（4）關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)（包括奇偶性、單調(diào)性、周期性）。一般要先對(duì)已知的函數(shù)式變形，化為一角一函數(shù)處理。如2001年（7）題。（5）關(guān)于反三角函數(shù)，2000—2002年已連續(xù)三年不出現(xiàn)。（6）三角與其他知識(shí)的結(jié)合（如1999年第18題復(fù)數(shù)與三角結(jié)合）今后有關(guān)三角函數(shù)仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現(xiàn)，難度不會(huì)太大，會(huì)控制在中等偏易的程度；三角函數(shù)如果在解答題出現(xiàn)的話，應(yīng)放在前兩題的位置，放在第一題的可能性最大，難度不會(huì)太大。二、復(fù)習(xí)策略1、近幾年的高考已經(jīng)堅(jiān)決拋棄對(duì)復(fù)雜三角變換及特殊技巧的考查，重點(diǎn)已轉(zhuǎn)移到對(duì)基礎(chǔ)和基本技能的考查上。所以復(fù)習(xí)中用好教材、打好基礎(chǔ)猶為重要。（1）一定要掌握好三角函數(shù)的圖象，特別是的圖象的五點(diǎn)法作圖及平移、伸縮作圖。（2）熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)、切實(shí)掌握判定三角函數(shù)奇偶性、確定單調(diào)區(qū)間及求周期的方法。（3）熟練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，把基本公式記準(zhǔn)用熟。*******************************************************************************《三角函數(shù)公式大全》銳角三角函數(shù)公式sinα=∠α的對(duì)邊/斜邊cosα=∠α的鄰邊/斜邊tanα=∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊cotα=∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosAsin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推導(dǎo)公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)兩角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2誘導(dǎo)公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個(gè)除(cosα)^2即可(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0********************************************************************三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)：（1）求函數(shù)的初相的問(wèn)題（2）函數(shù)的圖象及應(yīng)用（3）三角函數(shù)的最值問(wèn)題（4）角的拆拼在求值中的應(yīng)用

［教學(xué)目的］通過(guò)對(duì)四個(gè)三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問(wèn)題的專題研究，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的主要知識(shí)點(diǎn)和重點(diǎn)題型的解題方法，深層挖掘三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，盡量使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握融會(huì)貫通。

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］上述四個(gè)專題中涉及的核心思想

［知識(shí)分析］（一）求函數(shù)的初相的問(wèn)題在三角函數(shù)問(wèn)題中，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)的初相的問(wèn)題，這一類問(wèn)題是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，又是高考中的熱點(diǎn)，現(xiàn)在我們將相關(guān)題型進(jìn)行歸納，幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)：1、由圖象求此類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從圖象特征入手，尋找解題的突破口。

例1.如圖1所示函數(shù)的圖象，由圖可知（

）圖1A.

B.C.

D.解：由已知，易得A＝2函數(shù)圖象過(guò)（0，1）和，再考慮到故選C。

例2.（2005年福建）函數(shù)的部分圖象如圖2所示，則（

）圖2A.

B.C.

D.解：由圖象知∵點(diǎn)（3，0）是在函數(shù)的單調(diào)遞減的那段曲線上。因此∴令，得，故選C。

2、由奇偶性求例3.（2003全國(guó)）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值。解：由是偶函數(shù)，得即所以對(duì)任意x都成立，且，由，解得

3、由最值求例4.函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取得最大值，則的一個(gè)值是（

）A.

B.

C.

D.解：∵當(dāng)時(shí)取得最大值，即當(dāng)時(shí)，，故選A。

四、由對(duì)稱性求例5.（2005全國(guó)）設(shè)函數(shù)，圖象的一條對(duì)稱軸是直線，求。解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以

(二)函數(shù)的圖象及應(yīng)用下面我們談一談函數(shù)的圖象在日常生產(chǎn)、生活中的幾個(gè)應(yīng)用。1、顯示水深例6.（2004

湖北）設(shè)是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，其中。下表是該港口某一天從0時(shí)到24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象。下面的函數(shù)中，最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（

）A.B.C.解：由已知數(shù)據(jù)，易得的周期為T＝12由已知易得振幅A＝3又t＝0時(shí)，y＝12，∴k＝12∴令得故

2、確定電流最值例7.如圖3表示電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式：I=在同一周期內(nèi)的圖象。（1）根據(jù)圖象寫出I=的解析式；（2）為了使I=中t在任意－段秒的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)的最小值是多少？圖3解：（1）由圖知A＝300，，由得（2）問(wèn)題等價(jià)于，即，∴正整數(shù)的最小值為314。

3、顯示最大溫差例8.（2002

全國(guó)）如圖4某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)（1）求這段時(shí)間的最大溫差（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式。圖4解：（l）由圖4知這段時(shí)間的最大溫差是30－10＝20（℃）（2）在圖4中，從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期的圖象，解得由圖4知這時(shí)將代入上式，可取綜上所述，所求解析式為：

4、研究商品的價(jià)格變化例9.以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元；而商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷售價(jià)最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月盈利最大？并說(shuō)明理由。解：由條件可得出廠價(jià)格函數(shù)為銷售價(jià)格函數(shù)為則利潤(rùn)函數(shù)為所以，當(dāng)時(shí)，即6月份盈利最大。

（三）三角函數(shù)的最值問(wèn)題1、型函數(shù)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)，即化為，其中角所在象限由點(diǎn)（a，b）所在象限確定，且例10.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的（

）A.最大值是l，最小值是－1

B.最大值是l，最小值是C.最大值是2，最小值是－2

D.最大值是2，最小值是－1解：解析式可化為時(shí)，時(shí)，故選D

2、型函數(shù)策略：先降次、整理，再化為形如型來(lái)解。例11.求的最小值，并求出函數(shù)y取最小值時(shí)點(diǎn)x的集合。解：

當(dāng)時(shí)，y取最小值時(shí)，使y取得最小值的x的集合為

3、型函數(shù)此類函數(shù)的特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別會(huì)有正、余弦的一次式?？上绒D(zhuǎn)化為型，再利用三角函數(shù)的有界性來(lái)求三角函數(shù)的最大值和最小值。

例12.求函數(shù)的最大值和最小值。解：去分母整理得即解之得故

4、同時(shí)出現(xiàn)型函數(shù)此類函數(shù)的特點(diǎn)是含有或經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后出現(xiàn)與式子，處理方法是應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問(wèn)題。例13.函數(shù)的最大值為______________解法一：令則所以由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，解法二：令，則由，得于是有∴當(dāng)時(shí)，由以上的幾種形式可以歸納解三角函數(shù)最值問(wèn)題的基礎(chǔ)方法：一是應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的有界性來(lái)求；二是利用二次函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)求最大、最小值的方法來(lái)解決；以后還可以利用重要的不等式公式或利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決。

（四）角的拆拼在求值中的應(yīng)用

例14.已知α、β為銳角，，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（

）A.B.C.D.對(duì)此題，不少同學(xué)采取的求解思路是：根據(jù)已知條件求出cosα、sinβ的值后，再將sinα，cosβ，cosα，sinβ的值同時(shí)代入的展開式中，從中解出y來(lái)，思路直接。但運(yùn)算量非常大，不可取，而如果利用“湊”的思想，注意到（這就是“湊”），也就是用已知的角來(lái)表示目標(biāo)角（因?yàn)椋?，繼而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，而x的范圍可由y＝cosB＞0來(lái)確定。解：∵α為銳角，且又α、β為銳角，且于是

由，即易得，故選A。

例15.已知，且，求的值。分析：觀察條件和結(jié)論中角的種類差異，可配湊角，這樣就可以將已知角與待求角聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)了由未知角向已知角的轉(zhuǎn)化。解：又，故

【練習(xí)】

已知，求。提示：配湊角：，可通過(guò)求出和的差的余弦來(lái)求，較簡(jiǎn)便。解：又同學(xué)們不難看到，上面的例題中我們分別利用了；；等“湊”角的技巧。此外根據(jù)題目的不同，還常用的“湊”的技巧有：，，，及，今后解題時(shí)要多關(guān)注“配湊”的思想方法。

【模擬試題】一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.使的意義的m的值為（

）A.

B.C.

D.或

2.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（

）

A.

B.

C.

D.

3.若是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則的夾角為（

）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

4.已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P與ΔABC的位置關(guān)系是（

）A.P在AC邊上B.P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上C.P在ΔABC外部D.P在ΔABC內(nèi)部

5.若，且，則等于（

）

A.

B.

C.

D.

6.若，則的值等于（

）

A.

B.

C.

D.

7.在ΔABC中，，則ΔABC是（

）A.銳角三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.不能確定形狀

8.已知，且，，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

9.已知函數(shù)為偶函數(shù)（），其圖象與直線y＝2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，若的最小值為π，則（

）A.