2021-2022學(xué)年上海市上海中學(xué)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市上海中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．直線的傾斜角的大小為_(kāi)___．【答案】##60°．【分析】根據(jù)直線的一般式化成斜截式得直線的斜率，再由得直線的傾斜角.【詳解】由得，所以直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為且，由，解得.故答案為：．2．圓心為(1,2)且與直線相切的圓的方程為_(kāi)____________．【答案】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求出半徑即可.【詳解】因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心(1,2)到直線的距離等于半徑，即，所以圓心為(1,2)且與直線相切的圓的方程為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.3．由數(shù)字0，1，2，3，4可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是__．【答案】16【分析】分兩位數(shù)不含0和含0兩種情況，進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)兩位數(shù)不含0時(shí)，有種；當(dāng)這個(gè)兩位數(shù)含有0時(shí)，只有4種情況，總的個(gè)數(shù)為．故答案為：164．直線與直線垂直，則__．【答案】3【分析】根據(jù)直線一般式垂直的充要條件列方程求解即可得的值.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得．故答案為：3.5．對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.6．用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”這六個(gè)字可以組成__種不同的六字短語(yǔ)（不考慮短語(yǔ)的含義）.【答案】360【分析】先將六個(gè)字全排列，再除以2即可.【詳解】先將六個(gè)字進(jìn)行排列，有種選擇，由于六個(gè)字中有兩個(gè)相同的“墩”，故均重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有種不同的六字短語(yǔ).故答案為：3607．在3月舉行的“SBG”籃球賽中，8個(gè)籃球隊(duì)中有2個(gè)強(qiáng)隊(duì)，先任意將這8個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，這兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組內(nèi)的概率是__．【答案】【分析】分2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組和都分在組兩種情況討論，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組，包括互斥的兩種情況：2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組和都分在組個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為；2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為．因此，2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組的概率為．故答案為：.8．某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則__．【答案】##0.36【分析】黑球的個(gè)數(shù)為，通過(guò)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，求出，然后求解記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可．【詳解】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為，由得，記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的取值可以為1，2，3；，，，則分布列如下：123所以，則．故答案為：.9．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為_(kāi)_．【答案】576【分析】先將甲丁捆綁，后與剩余3人排列，最后將乙丙插空排入不與甲相鄰的位置，計(jì)算得到每步的方法，用分步計(jì)數(shù)原理相乘即可得出結(jié)果.【詳解】可以分步完成：①甲丁捆綁后排序有種方法，②捆綁后的甲丁與另外的3人（不包含乙丙）排序，有種方法，③第②步完成后，有5個(gè)空位，去掉與甲相鄰的1個(gè)空位，將乙丙用插空法排入四個(gè)空位中，有種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方法．故答案為：.10．已知圓和兩點(diǎn)，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是________．【答案】；【詳解】

由于兩點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則兩圓有公共點(diǎn)，設(shè)圓心距為，，則，則，則的取值范圍是.11．盒中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺颍瑒t第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】##【分析】根據(jù)，由全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓，且圓和圓相交于兩點(diǎn)，若在直線上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是__．【答案】【分析】求出兩圓的圓心、半徑.根據(jù)已知，可得在直線兩側(cè)或在直線上，進(jìn)而即可得出的取值范圍.【詳解】由已知可得，圓的圓心，半徑；圓的圓心為，半徑.所以，.因?yàn)閮蓤A相交，所以，所以.若在直線上存在一點(diǎn)，使得，所以在直線兩側(cè)或在直線上.當(dāng)在直線兩側(cè)時(shí)，顯然有成立.如圖1，只需，即，所以，當(dāng)在直線上時(shí)，如圖2.此時(shí)由，可知，顯然此時(shí)值最大.從而的取值范圍是．故答案為：．二、單選題13．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是奇數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求得，，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，事件“第一次取到的是奇數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，可得，，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，可得.故選：D.14．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是012若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)分布列、期望、方差的定義列方程組，即可求出a、b、c.【詳解】由分布列可知：.，，即所以聯(lián)立方程組得：，解得：故選：B【點(diǎn)睛】在離散型隨機(jī)變量的分布列中，概率和為1.15．已知直線(、為非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（

）條A．66 B．60 C．52 D．50【答案】B【分析】由已知求出圓上的整數(shù)點(diǎn)，然后分別分析直線與圓相切以及直線與圓相交兩種情況，求出滿足條件的直線條數(shù)，即可得出答案.【詳解】由已知可得，直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).而圓上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，，，，，.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，顯然切點(diǎn)為或時(shí)，不滿足題意，此時(shí)滿足條件的有8條；當(dāng)直線與相交時(shí)，則可知過(guò)任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中垂直于軸直線的有4條，垂直于軸直線的有4條，根據(jù)圓上點(diǎn)的對(duì)稱性，知過(guò)原點(diǎn)的直線有6條.故滿足題設(shè)的直線有條．綜上，滿足題設(shè)的直線共有條.故選:B．16．已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根和，那么過(guò)點(diǎn)、的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．隨值變化【答案】A【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得到和，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線方程，再根據(jù)圓心到直線的距離求出距離與圓的半徑大小進(jìn)行比較可得答案.【詳解】由和為方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，得，，又、，得到直線的斜率，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線，即，由圓，得圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線的距離：，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交．故選：A．三、解答題17．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與直線的夾角為，求直線的方程．【答案】或．【分析】先求出的傾斜角，根據(jù)兩直線的夾角，求得的傾斜角，結(jié)合直線過(guò)點(diǎn)，可求得直線方程.【詳解】由于直線的斜率為，故它的傾斜角為，由于直線和直線的夾角為，故直線的傾斜角為或，故直線的斜率不存在或斜率為．再根據(jù)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得直線的方程為或，即或．18．現(xiàn)有一些小球和盒子，完成下面的問(wèn)題．(1)4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（允許有空盒子），一共有多少種不同的放法？(2)4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有1個(gè)空盒的放法共有多少種？【答案】(1)256；(2)144.【分析】（1）根據(jù)題意分析將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行，①將4個(gè)小球分為3組，②在4個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入三組小球，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得出答案；【詳解】（1）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，則4個(gè)小球有種不同的放法；（2）①將4個(gè)小球分為3組，有種分組方法，②在4個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入三組小球，有種情況，則種不同的放法．19．在核酸檢測(cè)中，“合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束．現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確．(1)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè)．①如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：②已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)是檢測(cè)的總次數(shù)，求的分布和期望．(2)將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè)．設(shè)是檢測(cè)的總次數(shù)，求的分布和期望，并比較與（1）中的大小．【答案】(1)①20次；②分布列見(jiàn)解析，(2)分布列見(jiàn)解析，，【分析】（1）①分析得到先檢驗(yàn)10次，再由兩名患者在同一組，檢驗(yàn)10次，共20次；②求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列；（2）得到的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出期望，方法一：與直接比較出大小即可；方法二：先設(shè)“10合1”和“5合1”混采核酸檢測(cè)兩名感染患者在同一組的概率分別為，，則，得到和，從而比較出大小關(guān)系.此時(shí)有；而，所以．【詳解】（1）①若采用“10合1檢測(cè)法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，因此一共需要檢查20次．②由題意得的可能取值為20，30．當(dāng)時(shí)，兩名患者在同一組，故，當(dāng)時(shí)，兩名患者不在同一組，故，從而得到分布列如下：2030期望．（2）由題意得：采用“5合1”混采核酸檢測(cè)，先檢測(cè)20次，若兩名感染患者在同一組，此時(shí)，若兩名感染患者不在同一組，則．，．得分布列為2530故期望，法一：因?yàn)椋裕ǘ涸O(shè)“10合1”混采核酸檢測(cè)兩名感染患者在同一組的概率為，“5合1”混采核酸檢測(cè)兩名感染患者在同一組的概率為，則，此時(shí)有；而，所以．20．設(shè)某工廠有甲、乙、丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一批彩電.(1)假設(shè)100臺(tái)彩電中有10臺(tái)次品，現(xiàn)采用不放回抽樣從中依次抽取3次，每次抽1臺(tái)，求第3次才抽到合格品的概率；(2)若甲、乙、丙3個(gè)車間的產(chǎn)量依次占全廠的、、，且各車間的次品率分別為、、，.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品，求該次品來(lái)自甲、乙、丙車間的概率分別是多少?【答案】(1)；(2)甲車間，乙車間，丙車間．【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可直接求解；（2）求出各種產(chǎn)量的數(shù)量，然后根據(jù)全概率公式求出次品率，然后根據(jù)條件概率求解即可.【詳解】（1）第3次才抽到合格品的概率.（2）設(shè)“從一批產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品”，“零件為甲車間加工”，“零件為乙車間加工”，“零件為丙車間加工”.則，且兩兩互斥.由題意可知，，，，，，.由全概率公式可得，.則該次品來(lái)自甲車間的概率，該次品來(lái)自乙車間的概率，該次品來(lái)自丙車間的概率.21．已知直線，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的上方．(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)