2022-2023學年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二年級下冊學期3月月考（三）數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二下學期3月月考（三）數(shù)學試題一、填空題1．已知圓錐的高，它的側面展開圖的扇形圓心角為216°，求其全面積__________．【答案】【分析】利用圓錐母線與底面半徑的關系，求出圓錐的母線長和底面半徑，然后求其全面積.【詳解】解：設底面半徑為，母線長，則有，解得，所有，故答案為：.2．已知球面上三點，球半徑為，球心到平面的距離是________.【答案】【分析】由題意可知為直角三角形，從而求出三角形的外接圓半徑，結合球的性質可得，即求.【詳解】因為，則為直角三角形，為外接圓的直徑，即外接圓的半徑為，設球心到平面的距離為，則.故答案為：3．在正方體中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是_______．【答案】線段B1C【分析】利用直線與平面垂直的判定可得BD1⊥平面B1AC，又點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，得到點的軌跡為平面B1AC與平面BCC1B1的交線段.【詳解】解：如圖：連接、、正方體中，，，又與交于點ABD1⊥平面B1AC又知點P在側面BCC1B1及其邊界上運動根據(jù)平面的基本性質可得：平面B1AC與平面BCC1B1的交線段為B1C故答案為：線段B1C4．已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.若是等邊三角形，則的值等于_________.【答案】【分析】因為是等邊三角形，可得軸，再根據(jù)橢圓的定義可得，進而求得，再根據(jù)橢圓中的關系求解即可【詳解】因為是等邊三角形，故，故關于軸對稱，故軸.故，，故，又，故，故，即，所以，故答案為：5．如圖所示，已知是棱長為a的正方體，E，F(xiàn)分別為，的中點，則四棱錐的體積為______．【答案】【分析】把所求幾何體體積轉化成求兩個體積相等的三棱錐與三棱錐體積之和，變換頂點成求即可解出.【詳解】因為，，所以四邊形是菱形．連接EF，則．易知三棱錐與三棱錐的高相等，故．又因為，則，所以．故答案為：【點睛】此題考查幾何體體積求法，通過割補，變換三棱錐頂點等方法進行轉換，輕松解題，需要積累求常見幾何體體積的常規(guī)方法，對于解題能起到事半功倍的作用.6．已知，到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件為________．【答案】【分析】利用點到兩點距離相等，利用距離公式列出方程，化簡即可求得結果.【詳解】點到兩點距離相等，則化簡得，即到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件為.故答案為：.7．已知空間三點O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA，則點H的坐標為________.【答案】【詳解】試題分析：設H點的坐標為（x，y，z）則∵O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），∴=（-1，1，0），=（x，y，z），∵點H在直線OA上，則∥，即存在λ∈[0，1]，使=λ即（x，y，z）=λ（-1，1，0）=（-λ，λ，0）∴=（-λ，λ-1，-1），又∵BH⊥OA，即?=0即λ+λ-1=0，解得λ=∴點H的坐標為（-，，0）【解析】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直8．已知圓，點在以為起點的同一條射線上，且滿足，則稱點關于圓周對稱.那么，雙曲線上的點關于單位圓周的對稱點所滿足的方程為_________.【答案】【分析】在雙曲線上任取點，設其關于圓周的對稱點為，滿足，利用距離公式聯(lián)立列出方程，化簡求出，令，分別用表示，，，，用消參法即可求得所滿足的方程.【詳解】在雙曲線上任取點，設其關于圓周的對稱點為.則.令，則，，故，，上述兩式聯(lián)立得點所滿足的方程為.故答案為：.二、單選題9．定義曲線：為橢圓：的“倒曲線”，給出以下三個結論：①曲線有對稱軸，②曲線有對稱中心，③曲線與橢圓有公共點．其中正確的結論個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】曲線：上取點，利用點的坐標證得對稱性，從而判斷出①②，利用的范圍可以判斷出③，從而得出結論.【詳解】曲線：上取點，則該點關于軸對稱的點也在曲線，故曲線關于軸對稱，同理可證曲線關于軸對稱，則該點關于原點對稱點也在曲線，故曲線關于原點對稱，故①②正確；曲線：，則，而橢圓：中，，故曲線與橢圓無公共點，③錯誤；綜上，正確的有2個，故選：C.10．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結論中錯誤的是（

）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值【答案】D【分析】A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內.三、解答題11．已知正三棱柱的所有棱長為，是中點，求：(1)直線與所成角的大?。?2)直線與平面所成角的大??；(3)二面角的大??；(4)點到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）過點作，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，求出直線與所在的向量，利用向量的夾角公式即可求解；（2）求出平面的法向量和直線的一個方向向量，利用向量的夾角公式即可求解；（3）求出平面的一個法向量，結合（2）中的平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解；（4）利用向量法即可求解.【詳解】（1）如圖，過點作，因為三棱柱為正三棱柱，所以兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，所以，，設直線與所成角的大小，，直線與所成角大小為.（2）設平面的法向量為，則，，即，取，得，直線的一個方向向量，設與也即與平面所成角為，所以，則．（3）平面的一個法向量，設夾角為，則，由圖可知所求是銳二面角，所以二面角大小為．（4）平面的法向量，，則．12．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的范圍；(3)對于（2）中的點和，在軸上是否存在點使為等邊三角形，若存在請求出的值；不存在則說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）設雙曲線的方程，用待定系數(shù)法求出，的值；（2）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元得到一個關于的一元二次方程，求解判別式，利用韋達定理和已知條件求出參數(shù)的取值范圍即可；（3）分和兩種情況討論，結合（2）的結論和弦長公式求出，利用點到直線的距離公式和題干條件即可求解.【詳解】（1）設雙曲線的方程為，則，再由得，故的方程為.（2）將代入得由直線與雙曲線交于不同的兩點得：，且①，，則，，又，得，，即，解得：②，故的取值范圍為.（3）當時，點坐標為，即，此時，點到的距離，顯然不合題意；當時，線段的中垂線方程為，令，得，由①知，且，由（2）知：點到的距離，且，即，，滿足范圍，故.【點睛】解決直線與雙曲線