2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考（三）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二下學(xué)期3月月考（三）數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知圓錐的高，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角為216°，求其全面積__________．【答案】【分析】利用圓錐母線與底面半徑的關(guān)系，求出圓錐的母線長(zhǎng)和底面半徑，然后求其全面積.【詳解】解：設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)，則有，解得，所有，故答案為：.2．已知球面上三點(diǎn)，球半徑為，球心到平面的距離是________.【答案】【分析】由題意可知為直角三角形，從而求出三角形的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)可得，即求.【詳解】因?yàn)?，則為直角三角形，為外接圓的直徑，即外接圓的半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，則.故答案為：3．在正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_______．【答案】線段B1C【分析】利用直線與平面垂直的判定可得BD1⊥平面B1AC，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，得到點(diǎn)的軌跡為平面B1AC與平面BCC1B1的交線段.【詳解】解：如圖：連接、、正方體中，，，又與交于點(diǎn)ABD1⊥平面B1AC又知點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)根據(jù)平面的基本性質(zhì)可得：平面B1AC與平面BCC1B1的交線段為B1C故答案為：線段B1C4．已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值等于_________.【答案】【分析】因?yàn)槭堑冗吶切危傻幂S，再根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而求得，再根據(jù)橢圓中的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，故，故關(guān)于軸對(duì)稱，故軸.故，，故，又，故，故，即，所以，故答案為：5．如圖所示，已知是棱長(zhǎng)為a的正方體，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則四棱錐的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】把所求幾何體體積轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)體積相等的三棱錐與三棱錐體積之和，變換頂點(diǎn)成求即可解出.【詳解】因?yàn)椋?，所以四邊形是菱形．連接EF，則．易知三棱錐與三棱錐的高相等，故．又因?yàn)?，則，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查幾何體體積求法，通過(guò)割補(bǔ)，變換三棱錐頂點(diǎn)等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，輕松解題，需要積累求常見(jiàn)幾何體體積的常規(guī)方法，對(duì)于解題能起到事半功倍的作用.6．已知，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件為_(kāi)_______．【答案】【分析】利用點(diǎn)到兩點(diǎn)距離相等，利用距離公式列出方程，化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)到兩點(diǎn)距離相等，則化簡(jiǎn)得，即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件為.故答案為：.7．已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【詳解】試題分析：設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z）則∵O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），∴=（-1，1，0），=（x，y，z），∵點(diǎn)H在直線OA上，則∥，即存在λ∈[0，1]，使=λ即（x，y，z）=λ（-1，1，0）=（-λ，λ，0）∴=（-λ，λ-1，-1），又∵BH⊥OA，即?=0即λ+λ-1=0，解得λ=∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-，，0）【解析】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直8．已知圓，點(diǎn)在以為起點(diǎn)的同一條射線上，且滿足，則稱點(diǎn)關(guān)于圓周對(duì)稱.那么，雙曲線上的點(diǎn)關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)所滿足的方程為_(kāi)________.【答案】【分析】在雙曲線上任取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，利用距離公式聯(lián)立列出方程，化簡(jiǎn)求出，令，分別用表示，，，，用消參法即可求得所滿足的方程.【詳解】在雙曲線上任取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)為.則.令，則，，故，，上述兩式聯(lián)立得點(diǎn)所滿足的方程為.故答案為：.二、單選題9．定義曲線：為橢圓：的“倒曲線”，給出以下三個(gè)結(jié)論：①曲線有對(duì)稱軸，②曲線有對(duì)稱中心，③曲線與橢圓有公共點(diǎn)．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】曲線：上取點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)證得對(duì)稱性，從而判斷出①②，利用的范圍可以判斷出③，從而得出結(jié)論.【詳解】曲線：上取點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理可證曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)也在曲線，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①②正確；曲線：，則，而橢圓：中，，故曲線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)，③錯(cuò)誤；綜上，正確的有2個(gè)，故選：C.10．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值【答案】D【分析】A．通過(guò)線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故正確；B．因?yàn)?，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因?yàn)闉槎ㄖ?，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)?，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算，難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).三、解答題11．已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)為，是中點(diǎn)，求：(1)直線與所成角的大??；(2)直線與平面所成角的大??；(3)二面角的大小；(4)點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線與所在的向量，利用向量的夾角公式即可求解；（2）求出平面的法向量和直線的一個(gè)方向向量，利用向量的夾角公式即可求解；（3）求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合（2）中的平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解；（4）利用向量法即可求解.【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)直線與所成角的大小，，直線與所成角大小為.（2）設(shè)平面的法向量為，則，，即，取，得，直線的一個(gè)方向向量，設(shè)與也即與平面所成角為，所以，則．（3）平面的一個(gè)法向量，設(shè)夾角為，則，由圖可知所求是銳二面角，所以二面角大小為．（4）平面的法向量，，則．12．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且（其中為原點(diǎn)），求的范圍；(3)對(duì)于（2）中的點(diǎn)和，在軸上是否存在點(diǎn)使為等邊三角形，若存在請(qǐng)求出的值；不存在則說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程，用待定系數(shù)法求出，的值；（2）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，求解判別式，利用韋達(dá)定理和已知條件求出參數(shù)的取值范圍即可；（3）分和兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論和弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式和題干條件即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，則，再由得，故的方程為.（2）將代入得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得：，且①，，則，，又，得，，即，解得：②，故的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，此時(shí)，點(diǎn)到的距離，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，線段的中垂線方程為，令，得，由①知，且，由（2）知：點(diǎn)到的距離，且，即，，滿足范圍，故.【點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線