2023年高考數(shù)學(xué)必做模擬卷-新高考Ⅱ考綱卷07（解析版）

PAGE12023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷07一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由題意可知，集合，，∴，故選C。2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【答案】A【解析】，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，故選A。3．已知函數(shù)，，，，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由題意可知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，，，∴，故選B。4．移効支付、高鐵、網(wǎng)購與共享單車被稱為中國的新“四大發(fā)明”，某中學(xué)為了解本校學(xué)生中新“四大發(fā)明”的普及情況，隨機調(diào)査了位學(xué)生，共中使用過移功支付或共享單車的學(xué)生共位，使用過移動支付的學(xué)生共有位，使用過共享單車的學(xué)生且使用過移動支付的學(xué)生共有位，則該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】根據(jù)題意使用過移動支付、共享單車的人數(shù)用韋恩圖表示如圖，∴該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值，故選C。5．某中學(xué)話劇社的個演員站成一排照相，高一、高二和高三年級均有個演員，則高一與高二兩個年級中僅有一個年級的同學(xué)相鄰的站法種數(shù)為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】分兩類，第一類：高一年級同學(xué)相鄰高二年級同學(xué)不相鄰，把高一兩個同學(xué)“捆綁”看作一個元素與高三兩個同學(xué)排列有種不同排法，把高二年級兩個同學(xué)排入個空位中的個（插空法）有種不同方法，第一類有種站法，第二類：高二年級同學(xué)相鄰高一年級同學(xué)不相鄰，與第一類方法相同，也有種站法，由分類加法計數(shù)原理知，共有種站法，故選C。6．已知橢圓：與雙曲線：共焦點，則橢圓的離心率的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵與共焦點，∴與有共同的，又中、，，中、，，則，∴，橢圓的離心率，又，∴，∴，∴，即，故選D。7．在等差數(shù)列中，、，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】數(shù)列為等差數(shù)列，公差，則，，，則，∴數(shù)列（）是遞減數(shù)列，最大項為，∴，，又是正整數(shù)，∴的最小值為，故選C。8．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)（）恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】當時，，令，解得、、（舍），∴有個零點，不符合題意，當時，，當時，，無零點，當時，設(shè)，∵，，則在上有個零點，又，∴在內(nèi)有個零點，若使有個零點，則在上有個不等實數(shù)根，設(shè)，∵，∴只需滿足，解得，當時，，當時，令，得，在上有個零點，當時，令，得，，∴在上有個零點，當時，令，∵，，，∴在上有個零點，又，∴在上有個零點，∴時有個零點，綜上所述，若恰有個零點，則或，故選D。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．已知，其中（）且（），則下列結(jié)論一定正確的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A選項，，從而得到，∴，，即，，∴，對，B選項，，錯，C選項，∵，當為偶數(shù)時，，錯，D選項，又，對，故選AD。最簡單方法：賦值：令、，則，則、、、，令、，則，則、、、，則AD一定對，CD可對可錯，故選AD。10．下列敘述不正確的是（）。A、的解是B、“”是“”的充要條件C、已知，則“”是“”的充分不必要條件D、函數(shù)的最小值是【答案】ABCD【解析】A選項，顯然當時，恒成立，于是的解是，錯，B選項，令，當時，恒有成立，當時，要求，解得，∴“”是“”的充要條件不成立，錯，C選項，由題意，對不等式去絕對值得到，解得，當時，對“”有“”不一定成立，如，反之成立，于是“”是“”的必要不充分條件，錯，D選項，由題意，變式得，當且僅當，即時等號成立，這顯然不可能，錯，故選ABCD。11．中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積。把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）?，F(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結(jié)論正確的是（）。A、的周長為B、的三個內(nèi)角、、成等差數(shù)列C、的外接圓半徑為D、的中線的長為【答案】AB【解析】A選項，設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，∵，∴由正弦定理可得，設(shè)、、（），∵，∴，解得，則、、，故的周長為，對，B選項，∵，∴，，∴的三個內(nèi)角、、成等差數(shù)列，對，C選項，∵，∴，由正弦定理得，，錯，D選項，由余弦定理得，在中、，由余弦定理得，解得，錯，故選AB。12．若直線與曲線相交于不同兩點、，曲線在、點處切線交于點，則（）。A、B、C、D、存在，使得【答案】ABC【解析】A選項，當時，直線與曲線沒有兩個不同交點，∴，如圖1所示，當直線與曲線相切時，設(shè)切點為，則，∴切線方程為，代入點解得，此時，∴直線與曲線相切，∴當時直線與曲線有兩個不同的交點，當時，直線與曲線沒有交點，對，B選項，由已知得、，不妨設(shè)，則，又在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，兩式相減得，將、代入得：，∵，∴，即，對，C選項：要證，即證，即證，∵，∴需證，令，則，令，則點、是與的兩個交點，令（），∴，令（），則，∴當時，，單調(diào)遞減，而，，∴，∴時，，∴單調(diào)遞減，∴，即，又，∴，而，∴當時，，單調(diào)遞增，又，，∴，即，對，D選項，設(shè)直線交軸于，直線交軸于點，作軸于點，若，則，即，∴，化簡得，即，∴，即，令，又，∴，而，∴方程無解，∴不存在，使得，錯，故選ABC。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，向量滿足，且，則與的夾角為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，，∴，又，∴，又，故向量與的夾角為。14．的展開式中的系數(shù)為，則?！敬鸢浮俊窘馕觥科渫椆綖?，令，則，則，解得。15．在正三棱錐中，、分別是棱、的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是。引理：正三棱錐的對棱相互垂直，證明如下：取、的中點、，連接、，，連接，則是底面正的中心，∴平面，∴，∵、，∴，∴平面，∴，同理：、，即正三棱錐的對棱相互垂直。【答案】【解析】∵、，∴，∵，∴平面，∴，，∵、，∴平面，∴，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，∴，即，∴正三棱錐外接球的表面積是。16．在平面直角坐標系中，動點到兩坐標軸的距離之和等于它到點的距離，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于坐標原點對稱；②曲線關(guān)于直線對稱；③曲線與軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于；④曲線上存在橫坐標大于的點。其中，所有正確結(jié)論的序號是?！敬鸢浮竣冖邰堋窘馕觥俊邉狱c到兩坐標軸的距離之和等于它到點的距離，∴，∴時或時，函數(shù)圖像如圖所示，曲線關(guān)于直線對稱，①錯誤，②正確，曲線與軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于，③正確，由與聯(lián)立可得，∴曲線上的點到原點距離的最小值為，④正確，故選②③④。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在①；②；③的面積。這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中。（請將選擇的序號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上），然后解答補充完整的題目。在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知，且，，求。注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分?！窘馕觥糠桨敢唬哼x條件①②，在中，，∵，，∴，1分由正弦定理得，2分∵，∴，4分∵，∴，，5分∵，，∴，∴，7分∴，∵，∴，9分在中，由正弦定理得。10分方案二：選條件①③，在中，，∵，，∴，∵，∴，2分在中，由正弦定理得，4分∴，即，5分∵，∴，，∴，∴，7分又，∴，∴，∴，9分在中，由正弦定理得。10分方案三：選條件②③，在中，，∵，，∴，1分由正弦定理得，2分∵，∴，4分∵，∴，，5分∵，∴，6分在中，由余弦定理得，∴，8分聯(lián)立，解得或。10分18．（本小題滿分12分）在高中學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題?！蹦嘲噌槍Α案咧猩锢韺W(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進行研究，得到了高中生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論?，F(xiàn)從該班隨機抽取名學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績，如表：編號成績物理（）數(shù)學(xué)（）（1）求數(shù)學(xué)成績對物理成績的線性回歸方程（精確到）。若某位學(xué)生的物理成績?yōu)榉?，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；（2）要從抽取的這五位學(xué)生中隨機選出位參加一項知識競賽，記其中數(shù)學(xué)成績高于分的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考公式：，。參考數(shù)據(jù)：，?！敬鸢浮浚?）由表中數(shù)據(jù)可知、，2分∴，，4分∴，5分∴當時，，即某位學(xué)生的物理成績?yōu)榉郑A(yù)測他的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉郑?分（2）抽取的這五位學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績高于分的有人，不高于分的有人，則可取、、，7分、、，10分∴的分布列為：∴。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，，點、分別是、的中點。（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值?！窘馕觥浚?）證明：在直三棱柱中，，，1分又∵，∴平面，2分又∵平面，∴，3分又∵在矩形中，，，∴，∴，4分又，∴平面；5分（2）以為原點，、、為、、軸建立直角坐標系，則、、、，則，6分設(shè)平面的法向量為，又，，則，得，令，則、，則，9分設(shè)與的夾角為，則，10分∴直線與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，∴直線與平面所成角的正切值為。12分20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，（）。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：。【解析】（1）當時，，1分∴當時，，，2分上式-下式得：，∴，3分驗證，當時不符合，∴；5分（2）證明：當時，，∴，7分當時，，∴，11分綜上所述，當時，。12分21．（本小題滿分12分）已知橢圓：（），橢圓的長軸長為，離心率為，若直線：與橢圓相交于、兩點，且（為坐標原點）。（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：的面積為定值，并求此定值?！窘馕觥浚?）由題意可得，，，解得：，，2分∴橢圓的標準方程為：；3分（2）由（1）得：設(shè)、，∵，即，5分聯(lián)立直線與圓的方程：，整理得，，，，7分∴，∴，8分，