點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題(含答案)95633

#5、已知，下列集族中,① ②5、已知，下列集族中,① ②③ ④6、設(shè)，下列集族中,(① ②③ ④7、已知,拓?fù)?，則=(①“② ③已知，拓?fù)?則=(①“② ③已知，拓?fù)洌瑒t=(③10、已知，拓?fù)洌瑒t=(③11、已知,拓?fù)?則=(③12、已知，拓?fù)?，則=13、設(shè)，拓?fù)洧? ②2答案：④答案:④答案：②答案：④點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試一、單項(xiàng)選擇題(每題1分)1、已知，下列集族中，()是上的拓?fù)洹OC\o"1-5"\h\z① ②③ ④答案：③2、設(shè)，下列集族中，()是上的拓?fù)?① ②③ ④ 答案:②3、已知，下列集族中，()是上的拓?fù)?① ②③ ④ 答案：①4、設(shè)，下列集族中，()是上的拓?fù)?① ②③④ 答案：②()是上的拓?fù)?答案：④)是上的拓?fù)?答案:③)④)④)④)④)④ 答案：②( )③ ④答案:④則的既開又閉的非空真子集個(gè)數(shù)(③3 ④4答案：②14、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為(①1 ②2 ③3 ④4答案：②15、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為(①0 ②1 ③2 ④3 答案：①16、設(shè)，拓?fù)?，則的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為( )①0 ②1 ③2 ④3答案：③17、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為( )①1 ②2 ③3 ④4答案：④18、設(shè)，拓?fù)?的既開又閉的非空真子集個(gè)數(shù)()

③3 ④4答案：②19、①20、19、①20、①21、①22、①23、①24、①25、①②Q③R-Q ④R答案：①在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（）②Q③R-Q ④R 答案：④在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（）② ③R—Z ④R 答案：①在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（）② ③R-Z ④R答案:②在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（）② ③ ④ 答案：③在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（）② ③ ④ 答案:③在實(shí)數(shù)空間中,區(qū)間的內(nèi)部是（）② ③ ④ 答案：④TOC\o"1-5"\h\z26、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是的子集，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）① ②③ ④ 答案:③27、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是的子集，則下列關(guān)系中正確的是（ ）① ②③ ④ 答案：①28、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是的子集，則下列關(guān)系中正確的是（ ）① ②③ ④答案:④29、已知是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是的子集，則下列結(jié)論中正確的是（ ）① ②③ ④ 答案：①30、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g,A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）①若，則 ②若，則③若A={}，則④若，則 答案：④31、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集，則下列結(jié)論中正確的是（ ）①若,則 ②若，則③若A={},則④若，則 答案:①32、設(shè),令，則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵ǎ賩,,{c},e2ocuqq,{c,d},{a,b,c}} ②{,,{c},0sag8ak,{c,d}}③{,,{c},{a,b,c}} ④{,,yeaemgq,{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案:①33、設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，,是的拓?fù)洌瑒t（）是的基。① ②③ ④答案：③設(shè)，則下列的拓?fù)渲校ǎ┮詾樽踊?①{,，{a}，{a,c}} ②{,，{a}}③{,,{a},,{a,b}}④{,}答案：②35、離散空間的任一子集為（）④非開非閉答案：③①開集②閉集③即開又閉④非開非閉答案：③36、平庸空間的任一非空真子集為（）①開集②閉集③即開又閉④非開非閉答案：④37、實(shí)數(shù)空間中的任一單點(diǎn)集是（ ）①開集②閉集③既開又閉④非開非閉答案：②38、實(shí)數(shù)空間R的子集A={1,,,,……}，則=（）①“ ②R③AU{0} ④A 答案：③39、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ）①整數(shù)集② ③有理數(shù)集④無理數(shù)集 答案：①40、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（）①整數(shù)集Z②有理數(shù)集③無理數(shù)集④整數(shù)集Z的補(bǔ)集答案:④41、已知上的拓?fù)洌瑒t點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（）①1 ②2 ③3 ④4 答案：④42、已知,則上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?個(gè)②2個(gè)③3個(gè)④4個(gè) 答案：④43、已知={a,b，c}，則上的含有4個(gè)元素的拓?fù)溆校?）個(gè)①3 ②5 ③7 ④9 答案：④44、設(shè)為拓?fù)淇臻g，則下列敘述正確的為（ ）③當(dāng)時(shí)， ④當(dāng)時(shí)， 答案：③45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（）答案：③①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉答案：③46、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，，且滿足，則是（）①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉47、設(shè)，是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇椋á?④答案：③48、設(shè),是的拓?fù)?，，則的子空間的拓?fù)錇椋á匍_集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉47、設(shè)，是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇椋á?④答案：③48、設(shè),是的拓?fù)?，，則的子空間的拓?fù)錇椋á?④ 答案：②49、設(shè)，是的拓?fù)?,則的子空間的拓?fù)錇椋á?④ 答案：②50、設(shè)，是的拓?fù)?，，則的子空間的拓?fù)錇椋á?④ 答案：①51、設(shè)，是的拓?fù)?，，則的子空間的拓?fù)錇椋á?④ 答案：②52、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇椋ù鸢福孩冖冖冖冖冖诖鸢福孩?3、設(shè)是實(shí)數(shù)空間，是整數(shù)集,則的子空間的拓?fù)錇椋ǎ?② ③ ④答案：②54、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ）①單射續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射 答案：④55、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（）①單射連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射答案:④56、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ）①單射續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射 答案：④57、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間。是到的投射,則是（）①單射連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射 答案:④58、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間。是到的投射，則是（）①單射 ②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射 答案：④59、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間。是到的投射，則是（ ）①單射連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射 ④滿的連續(xù)開映射 答案:④60、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是它們的積空間,，,則有（）①②③④答案：②61、有理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（）不連通子集 ②連通子集③開集 ④以上都不對(duì) 答案：①62、整數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（）不連通子集 ②連通子集開集 ④以上都不對(duì)答案:①63、無理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（）①不連通子集 ②連通子集③開集 ④以上都不對(duì)答案：①64、設(shè)y為拓?fù)淇臻gX的連通子集，Z為X的子集，若， 則Z為（）①不連通子集②連通子集③閉集④開集答案：②65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（）①離散空間 ②不一定是平庸空間③平庸空間 ④不連通空間答案:③66、設(shè)是離散空間，則積空間是（）①離散空間 ②不一定是離散空間③平庸空間 ④連通空間答案：①67、設(shè)是連通空間，則積空間是（）①離散空間 ②不一定是連通空間③平庸空間④連通空間答案：④68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為（①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對(duì)答案：④69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E為（ ）①開區(qū)間②閉區(qū)間區(qū)間④以上都不對(duì)①開區(qū)間②閉區(qū)間區(qū)間④以上都不對(duì)答案:③區(qū)間④區(qū)間或一點(diǎn)答案：④70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集￡為（區(qū)間④區(qū)間或一點(diǎn)答案：④①開區(qū)間②閉區(qū)間71、下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為（）（I）單位圓周是連通的；（II）是連通的（III）是連通的 （W）和同胚①1 ②2 ③3 ④4答案：②二、填空題（每題1分）1、設(shè)，則的平庸拓?fù)錇?；答案?、設(shè)，則的離散拓?fù)錇?答案：3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫;答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.答案：R5、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于的每一鄰域有答案：6、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無限子集，則=；答案：7、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無限子集，則=;答案：8、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則=；答案：9、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則=；答案：10、設(shè),的拓?fù)洌瑒t的子集的內(nèi)部為;答案：{2}11、設(shè)，的拓?fù)?，則的子集的內(nèi)部為；答案：{1}12、設(shè),的拓?fù)?，則的子集的內(nèi)部為答案：{1}13、設(shè)，的拓?fù)洌瑒t的子集的內(nèi)部為；答案：14、設(shè)，則的平庸拓?fù)錇?答案：15、設(shè)，則的離散拓?fù)錇榇鸢福?6、設(shè)，的拓?fù)洌瑒t的子集的內(nèi)部為;答案：⑶17、設(shè),的拓?fù)?，則的子集的內(nèi)部為;答案：{1}18、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，若它是一個(gè)單射，并且是從到它的象集的一個(gè)同胚，則稱映射是一個(gè)。答案：嵌入19、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)?，則稱是一個(gè);答案:商映射20、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)開集的象集是中的一個(gè)開集，則稱映射是一個(gè)答案：開映射21、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射,若中任何一個(gè)閉集的象集是中的一個(gè)閉集，則稱映射是一個(gè)答案:閉映射22、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的閉子集，使得，則是一個(gè)；答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的開子集，使得，則是一個(gè)；答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻g存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集，則是一個(gè) 答案：不連通空間25、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足，則也是的一個(gè) ;答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì),如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)；答案:在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有,則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)；答案:可商性質(zhì)28、若任意個(gè)拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì)，則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為;答案:有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得，則稱是一個(gè)；答案:不連通空間.三.判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、.從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案：J理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意，都有，由于中的任何一個(gè)子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的.2、設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)洌瑒t不一定是集合的拓?fù)洌ǎ┐鸢福毫x理由：因?yàn)棰攀堑耐負(fù)?，?T^，從而；（2）對(duì)任意的T1巴，則有T1且巴，由于T1,T2是的拓?fù)?，故T1且%,從而T1巴；（3）對(duì)任意的，則，由于T1,T2是的拓?fù)?，從而UTUT1,UJT2,故UTUT1巴；綜上有T1%也是的拓?fù)?3、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案：J理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間,它中的開集只有,易知它們?cè)谙碌脑蠓謩e是,均為中的開集，從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則（ ）答案：J理由：設(shè)為中的任何一點(diǎn),因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開集，所以是的開子集，且有，即,從而.5、設(shè)為平庸空間（多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則（ ）答案：義理由:設(shè),則對(duì)于任意,有唯一的一個(gè)鄰域,且有,從而，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于的唯一的鄰域,有，所以有。6、設(shè)為平庸空間的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則（ ）答案：J理由：對(duì)于任意因?yàn)榘嘤谝稽c(diǎn)，從而對(duì)于的唯一的鄰域,且有，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn),即，所以有。7、設(shè)是一個(gè)不連通空間，則中存在兩個(gè)非空的閉子集，使得（ ）答案：J理由:設(shè)是一個(gè)不連通空間，設(shè)是的兩個(gè)非空的隔離子集使得,顯然，并且這時(shí)有：從而是的一個(gè)閉子集，同理可證是的一個(gè)閉子集,這就證明了滿足.8、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間（ ）J理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)是中的一個(gè)既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個(gè)不連通空。五．簡答題（每題4分）1、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,是的子集，且。試說明.答案：對(duì)于任意,設(shè)是的任何一個(gè)鄰域，則有,由于，從而，因此，故。2、設(shè)都是拓?fù)淇臻g.，都是連續(xù)映射,試說明也是連續(xù)映射.答案:設(shè)是的任意一個(gè)開集,由于是一個(gè)連續(xù)映射，從而是的一個(gè)開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此是的開集，所以是連續(xù)映射。3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說明：若是一個(gè)閉集，則的補(bǔ)集是一個(gè)開集.答案：對(duì)于,則，由于是一個(gè)閉集,從而有一個(gè)鄰域使得,因此，即，所以對(duì)任何,是的一個(gè)鄰域，這說明是一個(gè)開集.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說明：若的補(bǔ)集是一個(gè)開集，則是一個(gè)閉集.答案：設(shè)，則,由于是一個(gè)開集，所以是的一個(gè)鄰域，且滿足，因此，從而,即有，這說明是一個(gè)閉集。5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)浼按鸢福?、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)湎?。答?7、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)渑鸢福?、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)浼按鸢?9、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)湎Α４鸢?10、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)湎?。答案?1、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集，試寫出的商拓?fù)湎?。答案：六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個(gè)連續(xù)映射.則是的一個(gè)連通子集。證明：如果是的一個(gè)不連通子集,則存在的非空隔離子集使得……………3分于是是的非空子集，并且:所以是的非空隔離子集此外，，這說明不連通，矛盾。從而是的一個(gè)連通子集。…………8分2、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集,證明：如果和是的兩個(gè)無交的開集使得,則或者,或者.證明：因?yàn)槭堑拈_集,從而是子空間的開集。又因中，故…4分由于是的連通子