2022-2023學(xué)年上海市曹楊二中高三年級下冊學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022—2023學(xué)年上海市曹楊二中高三年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷2023.02.27一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.若，則___________.【答案】##-0.25【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式六化簡，即可求解.【詳解】因為，所以，故答案為：.2.不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，即可求解.【詳解】不等式即，故不等式的解集是，故答案為：3.二項式展開中的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】利用二項式定理，寫出展開式的通項即可求解.【詳解】二項式的展開式為，令，解得，所以展開中的系數(shù)為，故答案：4.方程的虛根為___________.【答案】或【解析】【分析】直接因式分解得，解出即可.【詳解】，即，即，則或，解得或或，所以原方程的虛根為或.故答案為：或5.設(shè)是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】由題意求出直線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為是直線的一個法向量，所以直線的斜率為：，所以的傾斜角的大小為.故答案為：.6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則實數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的對稱性運算求解.【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)，則，故.故答案為：.7.在中，角A、B、C的對邊分別為，若則____．【答案】【解析】【分析】由正弦定理化簡已知等式可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可求解【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得，∴，可得，故答案為：8.已知為球的半徑，過的中點且垂直的平面截球得到圓，若圓的面積為，則球的表面積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)截面圓的面積求得截面圓的半徑，再由球心到截面圓的距離為，由勾股定理即可求得球的半徑，再由面積公式即可求得球的表面積.【詳解】若圓的面積為，則平面截球得到圓的半徑為，設(shè)球半徑為，由題意知，代入數(shù)據(jù)可得，則.故答案為：.9.已知袋中有（為正整數(shù)）個大小相同的編號球，其中黃球8個，紅球個，從中任取兩個球，取出的兩球是一黃一紅的概率為，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分別計算出任取兩個球和取出的兩球是一黃一紅的種類數(shù)，利用概率計算公式可得出的表達(dá)式，再利用基本不等式和為正整數(shù)即可求得的最大值.【詳解】根據(jù)題意可得，黃球8個，紅球個，從中任取兩個球總共有種，取出的兩球是一黃一紅總共有種；所以從袋中任取兩個球，取出兩球是一黃一紅的概率；令，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但為正整數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；即當(dāng)或時，的最小值為，所以，即的最大值為故答案為：10.已知函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意參變分離可得在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性，求出最值，即可得的取值范圍.【詳解】解：因為在上恒成立，即在上恒成立，取，所以，因為，所以，而，即，所以在上，，單調(diào)遞增，所以，因為在上恒成立，所以.故答案為：11.已知正項等比數(shù)列的公比為，其前項和為，若對一切，都有，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得對于，時，恒成立，分，，其中分，兩種情況討論，再得即可解決.【詳解】由題知，對一切，都有，即即對于，時，，即恒成立，當(dāng)時，顯然不成立，不滿足題意；當(dāng)時，有，即，由題知，，當(dāng)，即時，得，所以，因為當(dāng)越大，越接近0，所以此時不恒成立，不滿足題意；當(dāng)，即時，得，所以，因為，且恒成立，所以，所以的取值范圍是．故答案為：12.已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，O為外接圓的圓心，過O作，已知等式兩邊同乘以，結(jié)合數(shù)量積定義得，同理得，從而兩式聯(lián)立即可求得的值．【詳解】由題意可知，為的外心，設(shè)半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為,因為，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則得②，①②聯(lián)立解得，，所以，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將兩邊分別乘以，結(jié)合數(shù)量積定義化簡得到關(guān)于的方程，求得答案.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分，4+4+5+5）每小題給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則得0分.13.已知向量，“”是“”的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的平方即模長的平方，結(jié)合充要條件的概念即可得結(jié)果.【詳解】，故“”是“”的充要條件，故選：C.14.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；講座后問卷答題正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.15.已知銳角，，，則邊上的高的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.【詳解】因為為銳角三角形，，設(shè)邊上的高為，所以，解得由正弦定理可得，，所以，，因為，所以因為，所以，所以，所以，所以邊上的高的取值范圍為.故選：C.16.將曲線()與曲線()合成的曲線記作．設(shè)為實數(shù)，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結(jié)論：①存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；②存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（）．A.①②均正確 B.①②均錯誤C.①正確，②錯誤 D.①錯誤，②正確【答案】C【解析】【分析】對①，分析當(dāng)時點的軌跡總落在某個橢圓上即可；對②，設(shè)，，，則，利用點差法，化簡可得，故若存在，使得點軌跡總落在某條直線上則為常數(shù)，再化簡分析推出無解即可【詳解】設(shè)，，，則.對①，當(dāng)時，，，易得，故兩式相減有，易得此時，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得點的軌跡總落在橢圓上.故①正確；對②，，.由題意，若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則，，兩式相減有，即，又，故，即，又，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則為常數(shù).即為定值，因為分子分母次數(shù)不同，故若為定值則恒成立，即，無解.即不存在，使得點的軌跡總落在某條直線上故選：C三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】證明：因為，即①，當(dāng)時，②得，，即，即,所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以當(dāng)或時，取得最小值，.18.已知正方體的棱長為1.（1）的平面截正方體為兩個部分，求體積大的部分幾何體的體積；（2）動點，在線段，上，且，為的中點，異面直線與所成的角為，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體及錐體的體積公式即得；（2）建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量、表示夾角即可求解．【小問1詳解】因為正方體的棱長為1，所以正方體的體積為，，所以的平面截正方體為兩個部分，體積大的部分幾何體的體積為；【小問2詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立如圖坐標(biāo)系，則，所以，，所以，即，解得．19.甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【小問1詳解】設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.20.已知是以為焦點的拋物線，是離心率為，以為焦點的雙曲線，且與在第一象限有兩個公共點（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的最大值；（3）是否存在，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）9（3）存在，理由見詳解.【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程，利用雙曲線的焦點坐標(biāo)和離心率建立方程組，即可求得雙曲線的方程；（2）設(shè)點、，其中，，將拋物線與雙曲線的方程，由求出正數(shù)的取值范圍，列出韋達(dá)定理，將表示的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值；（3）求出的重心的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，求出正數(shù)的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為雙曲線焦點是，故雙曲線焦點在軸上，于是可設(shè)雙曲線的方程為，且該雙曲線的離心率為，由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】拋物線的焦點為，設(shè)點、，其中，聯(lián)立，可得，由題意可知，關(guān)于的方程有兩個不等的正根，所以，因為，解得，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.【小問3詳解】由（2）可知，的重心為，且，，故點，因為點為第一象限內(nèi)的點，故點在直線上，所以，因為，解得.因此，存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都存在個不同的實數(shù)，，…，，使得（其中，為正整數(shù)），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；（2）求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；（3）已知，，若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的范圍.【答案】（1）否，理由見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1），則本題等價于判斷，方程在時是否總有兩個不同實數(shù)根；（2）注意到，則本題等價于證明，都存在4個不同的實數(shù)，，，，使得；（3）利用導(dǎo)數(shù)可知，則為的“3重覆蓋函數(shù)”，等價于，方程總有3個根.【小問1詳解】由題可得，注意到方程在時只有一個根0，則當(dāng)，存