數(shù)學年譜 獲獎教學設計

公元前

約公元前4000年，中國西安半坡的陶器上出現(xiàn)數(shù)字刻符。公元前3000～前1700年，巴比倫的泥版上出現(xiàn)數(shù)學記載。公元前2700年，中國黃帝時代傳說隸首做算數(shù)之說，大撓發(fā)明了甲子。公元前2500年前，據(jù)中國戰(zhàn)國時尸佼著《尸子》記載：“古者，陲(注：傳說為黃帝或堯時人)為規(guī)、矩、準、繩，使天下仿焉”。這相當于在已有“圓，方、平、直”等形的概念。公元前2100年，中國夏朝出現(xiàn)象征吉祥的河圖洛書縱橫圖，即為“九宮算”，這被認為是現(xiàn)代“組合數(shù)學”最古老的發(fā)現(xiàn)。美索不達米亞人已有了乘法表，其中使用著六十進位制的算法。公元前1900～前1600，古埃及的紙草書上出現(xiàn)數(shù)學記載，已有基于十進制的記數(shù)法，將乘法簡化為加法的算術、分數(shù)計算法。并已有三角形及圓的面積、正方角錐體、錐臺體積的度量法等。公元前1950年，巴比倫人能解二個變數(shù)的一次和二次方程，已經知道“勾股定理”。公元前1400年，中國殷代甲骨文卜辭記錄已有十進制記數(shù)，最大數(shù)字是三萬。公元前1050年，在中國的西周時期，“九數(shù)”成為“國子”的必修課程之一。公元前六世紀，古希臘的發(fā)展了初等幾何學，開始證明幾何命題。古希臘學派認為數(shù)是萬物的本原，宇宙的組織是數(shù)及其關系的和諧體系。證明了勾股定理，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，引起了所謂第一次數(shù)學危機。印度人求出=。公元前462年左右，意大利的埃利亞學派的芝諾等人指出了在運動和變化中的各種矛盾，提出了飛矢不動等有關時間、空間和數(shù)的芝諾悖理(古希臘巴門尼德、芝諾等)。公元前五世紀，古希臘丘斯的希波克拉底研究了以直線及圓弧形所圍成的平面圖形的面積，指出相似弓形的面積與其弦的平方成正比。開始把幾何命題按科學方式排列。公元前四世紀，古希臘的歐多克斯把比例論推廣到不可通約量上，發(fā)現(xiàn)了“窮竭法”。開始在數(shù)學上作出以公理為依據(jù)的演繹整理。古希臘德謨克利特學派用“原子法”計算面積和體積，一個線段、一個面積或一個體積被設想為由很多不可分的“原子”所組成。提出圓錐曲線，得到了三次方程式的最古老的解法。古希臘的亞里士多德等建立了亞里士多德學派，開始對數(shù)學、動物學等進行了綜合的研究。公元前400年，中國戰(zhàn)國時期的《墨經》中記載了一些幾何學的義理。公元前380年，古希臘柏拉圖學派指出數(shù)學對訓練思維的作用，研究正多面體、不可公度量。公元前350年，古希臘梅納克莫斯發(fā)現(xiàn)三種圓錐曲線，并用以解立方體問題。古希臘色諾科拉底開始編寫幾何學的歷史。古希臘的塞馬力達斯開始世界簡單方程組公元前335年，古希臘的歐德姆斯開始編寫數(shù)學史。公元前三世紀，古希臘的《》十三卷發(fā)表，把前人和他本人的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)化，確立幾何學的邏輯體系，為世界上最早的公理化數(shù)學著作。公元前三世紀，古希臘的研究了曲線圖形和曲面體所圍成的面積、體積；研究了拋物面、雙曲面、橢圓面，討論了圓柱、圓錐和半球之關系，還研究了螺線。戰(zhàn)國時期的中國，籌算成為當時的主要計算方法；出現(xiàn)《莊子》、《考工記》記載中的極限概念、分數(shù)運算法、特殊角度概念及對策論的例證。公元前230年，古希臘的埃拉托色尼提出素數(shù)概念，并發(fā)明了尋找素數(shù)的篩法。公元前三至前二世紀，古希臘的阿波羅尼發(fā)表了八本《圓錐曲線學》，這是最早關于橢圓、拋物線和雙曲線的論著。公元前170年，湖北出現(xiàn)竹簡算書《算數(shù)書》。公元前150年，古希臘的希帕恰斯開始研究球面三角，奠定三角術的基礎。約公元前一世紀，中國的《周髀算經》發(fā)表。其中闡述了“蓋天說”和四分歷法，使用分數(shù)算法和開方法等。公元元年～公元１０００年公元50～100年，繼西漢張蒼、耿壽昌刪補校訂之后，東漢時纂編成，這是中國最早的數(shù)學專著，收集了246個問題的解法。公元75年，古希臘的海倫研究面積、體積計算方法、開方法，提出海倫公式。一世紀左右，古希臘的梅內勞發(fā)表《球學》，其中包括球的幾何學，并附有球面三角形的討論。古希臘的希隆寫了關于幾何學的、計算的和力學科目的百科全書。在其中的《度量論》中，以幾何形式推算出三角形面積的“希隆公式”。100年左右，古希臘的尼寇馬克寫了《算術引論》一書，此后算術開始成為獨立學科。150年左右，古希臘的托勒密著《數(shù)學匯編》，求出圓周率為，并提出透視投影法與球面上經緯度的討論，這是古代坐標的示例。三世紀時，古希臘的丟番都寫成代數(shù)著作《算術》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了許多定和不定方程式。三世紀至四世紀，魏晉時期，中國的趙爽在《勾股圓方圖注》中列出了關于直角三角形三邊之間關系的命題共21條。中國的劉徽發(fā)明“割圓術”，并算得圓周率為；著《海島算經》，論述了有關測量和計算海島的距離、高度的方法。四世紀時，古希臘帕普斯的幾何學著作《數(shù)學集成》問世，這是古希臘數(shù)學研究的手冊。約463年，中國的祖沖之算出了圓周率的近似值到第七位小數(shù)，這比西方早了一千多年。466年～485年，中國三國時期的《張邱建算經》成書。五世紀，印度的阿耶波多著書研究數(shù)學和天文學，其中討論了一次不定方程式的解法、度量術和三角學等，并作正弦表。550年，中國南北朝的甄鸞撰《五草算經》、《五經算經》、《算術記遺》。六世紀，中國六朝時，中國的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立體等高處的截面積相等，則二者體積相等。西方直到十七世紀才發(fā)現(xiàn)同一定律，稱為卡瓦列利原理。隋代《皇極歷法》內，已用“內插法”來計算日、月的正確位置(中國劉焯)。620年，中國唐朝的王孝通著《輯古算經》，解決了大規(guī)模土方工程中提出的三次方程求正根的問題。628年，印度的婆羅摩笈多研究了定方程和不定方程、四邊形、圓周率、梯形和序列。給出了方程ax+by=c(a，b，c是整數(shù))的第一個一般解。656年，中國唐代李淳風等奉旨著《“十部算經”注釋》，作為國子監(jiān)算學館的課本?！笆克憬洝敝福骸吨荀隆贰毒耪滤阈g》《海島算經》《張邱建算經》《五經算術》等。727年，中國唐朝開元年間，僧一行編成《大衍歷》，建立了不等距的內插公式。820年，阿拉伯的阿爾·花刺子模發(fā)表了《印度計數(shù)算法》，使西歐熟悉了十進位制。850年，印度的摩珂毗羅提出嶺的運算法則。約920年，阿拉伯的阿爾·巴塔尼提出正切和余切概念，造出從0o到90o的余切表，用sine標記正弦，證明了正弦定理。公元１０００年～１７００年1000～1019年，中國北宋的劉益著《議古根源》，提出了“正負開方術”。1050年，中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術細草》中，創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”，并列出了二項式定理系數(shù)表，這是現(xiàn)代“組合數(shù)學”的早期發(fā)現(xiàn)。后人所稱的“楊輝三角”即指此法。1086～1093年，中國宋朝的沈括在《夢溪筆談》中提出“隙積術”和“會圓術”，開始高階等差級數(shù)的研究。1079年，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統(tǒng)研究三次方程的書《代數(shù)學》，用圓錐曲線解三次方程。十一世紀，阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根。十一世紀，埃及的阿爾·海賽姆解決了“海賽姆”問題，即要在圓的平面上兩點作兩條線相交于圓周上一點，并與在該點的法線成等角。十二世紀，印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書，這是東方算術和計算方面的重要著作。1202年，意大利的裴波那契發(fā)表《計算之書》，把印度—阿拉伯記數(shù)法介紹到西方。1220年，意大利的裴波那契發(fā)表《幾何學實習》一書，介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例。1247年，中國宋朝的秦九韶著《數(shù)書九章》共十八卷，推廣了“增乘開方法”。書中提出的聯(lián)立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。1248年，中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷，這是第一部系統(tǒng)論述“天元術”的著作。1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》，用“垛積術”求出幾類高階等差級數(shù)之和。1274年，中國宋朝的楊輝發(fā)表《乘除通變本末》，敘述“九歸”捷法，介紹了籌算乘除的各種運算法。1280年，元朝《授時歷》用招差法編制日月的方位表(中國王恂、郭守敬等)。十四世紀中葉前，中國開始應用珠算盤，并逐漸代替了籌算。1303年，中國元朝的朱世杰著《四元玉鑒》三卷，把“天元術”推廣為“四元術”。1464年，德國的約·米勒在《論各種三角形》(1533年出版)中，系統(tǒng)地總結了三角學。1489年，德國的魏德曼用“+”、“-”表示正負。1494年，意大利的帕奇歐里發(fā)表《算術集成》，反映了當時所知道的關于算術、代數(shù)和三角學的知識。1514年，荷蘭的賀伊克用“+”、“-”作為加減運算的符號。1535年，意大利的塔塔利亞發(fā)現(xiàn)三次方程的解法。1540年，英國的雷科德用“=”表示相等。1545年，意大利的卡爾達諾、費爾諾在《大法》中發(fā)表了求三次方程一般代數(shù)解的公式。1550～1572年，意大利的邦別利出版《代數(shù)學》，其中引入了虛數(shù)，完全解決了三次方程的代數(shù)解問題。1585年，荷蘭的斯蒂文提出分數(shù)指數(shù)概念與符號；系統(tǒng)導入了十進制分數(shù)與十進制小數(shù)的意義、計算法及表示法。1591年左右，德國的韋達在《美妙的代數(shù)》中首次使用字母表示數(shù)字系數(shù)的一般符號，推進了代數(shù)問題的一般討論。1596年，德國的雷蒂卡斯從直角三角形的邊角關系上定義了6個三角函數(shù)。1596～1613年，德國的奧脫、皮提斯庫斯完成了六個三角函數(shù)的每間隔10秒的十五位小數(shù)表。1614年，英國的耐普爾制定了對數(shù)，做出第一張對數(shù)表，只做出圓形計算尺、計算棒。1615年，德國的開卜勒發(fā)表《酒桶的立體幾何學》，研究了圓錐曲線旋轉體的體積。1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表《不可分連續(xù)量的幾何學》，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。1637年，法國的出版《幾何學》，提出了解析幾何，把變量引進數(shù)學，成為“數(shù)學中的轉折點”。1638年，法國的費爾瑪開始用微分法求極大、極小問題。意大利的伽里略發(fā)表《關于兩種新科學的數(shù)學證明的論說》，研究距離、速度和加速度之間的關系，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽里略重要的科學成就。1639年，法國的迪沙格發(fā)表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發(fā)生的事的草案》，這是近世射影幾何學的早期工作。1641年，法國的帕斯卡發(fā)現(xiàn)關于圓錐內接六邊形的“帕斯卡定理”。1649年，法國的帕斯卡制成帕斯卡計算器，它是近代計算機的先驅。1654年，法國的帕斯卡、費爾瑪研究了概率論的基礎。1655年，英國的瓦里斯出版《無窮算術》一書，第一次把代數(shù)學擴展到分析學。1657年，荷蘭的惠更斯發(fā)表了關于概率論的早期論文《論機會游戲的演算》。1658年，法國的帕斯卡出版《擺線通論》，對“擺線”進行了充分的研究。1665～1676年，(1665～1666年)先于(1673～1676年)制定了微積分，萊布尼茨(1684～1686年)早于牛頓(1704～1736年)發(fā)表了微積分。1669年，英國的牛頓、雷夫遜發(fā)明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法。1670年，法國的費爾瑪提出“費爾瑪大定理”。1673年，荷蘭的惠更斯發(fā)表了《擺動的時鐘》，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線。1684年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關于微分法的著作《關于極大極小以及切線的新方法》。1686年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關于積分法的著作。1691年，瑞士的約·貝努利出版《微分學初步》，這促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究。1696年，法國的洛比達發(fā)明求不定式極限的“洛比達法則”。1697年，瑞士的約·貝努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測地線。公元１７０１～１８００年1704年，英國的牛頓發(fā)表《三次曲線枚舉》《利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度》《流數(shù)法》。1711年，英國的牛頓發(fā)表《使用級數(shù)、流數(shù)等等的分析》。1713年，瑞士的雅·貝努利出版了概率論的第一本著作《猜度術》。1715年，英國的布·泰勒發(fā)表《增量方法及其他》。1731年，法國的克雷洛出版《關于雙重曲率的曲線的研究》，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。1733年，英國的德·勒哈佛爾發(fā)現(xiàn)正態(tài)概率曲線。1734年，英國的貝克萊發(fā)表《分析學者》，副標題是《致不信神的數(shù)學家》，攻擊牛頓的《流數(shù)法》，引起所謂第二次數(shù)學危機。1736年，英國的牛頓發(fā)表《流數(shù)法和無窮級數(shù)》。1736年，瑞士的出版《力學、或解析地敘述運動的理論》，這是用分析方法發(fā)展牛頓的質點動力學的第一本著作。1742年，英國的麥克勞林引進了函數(shù)的冪級數(shù)展開法。1744年，瑞士的歐拉導出了變分法的歐拉方程，發(fā)現(xiàn)某些極小曲面。1747年，法國的等由弦振動的研究而開創(chuàng)偏微分方程論。1748年，瑞士的歐拉出版了系統(tǒng)研究分析數(shù)學的《無窮分析概要》，這是歐拉的主要著作之一。1755～1774年，瑞士的歐拉出版了《微分學》和《積分學》三卷。書中包括微分方程論和一些特殊的函數(shù)。1760～1761年，法國的系統(tǒng)地研究了變分法及其在力學上的應用。1767年，法國的拉格朗日發(fā)現(xiàn)分離代數(shù)方程實根的方法和求其近似值的方法。1770～1771年，法國的拉格朗日把置換群用于代數(shù)方程式求解，這是群論的開始。1772年，法國的拉格朗日給出三體問題最初的特解。1788年，法國的拉格朗日出版了《解析力學》，把新發(fā)展的解析法應用于質點、剛體力學。1794年，法國的勒讓德出版流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》。德國的從研究測量誤差，提出最小二乘法，于1809年發(fā)表。1797年，法國的拉格朗日發(fā)表《解析函數(shù)論》，不用極限的概念而用代數(shù)方法建立微分學。1799年，法國的創(chuàng)立畫法幾何學，在工程技術中應用頗多。德國的高斯證明了代數(shù)學的一個基本定理：實系數(shù)代數(shù)方程必有根。公元１８００～１８９９年1801年，德國的高斯出版《算術研究》，開創(chuàng)近代數(shù)論。1809年，法國的蒙日出版了微分幾何學的第一本書《分析在幾何學上的應用》。1812年，法國的拉普拉斯出版《分析概率論》一書，這是近代概率論的先驅。1816年，德國的高斯發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但未發(fā)表。1821年，法國的出版《分析教程》，用極限嚴格地定義了函數(shù)的連續(xù)、導數(shù)和積分，研究了無窮級數(shù)的收斂性等。1822年，法國的彭色列系統(tǒng)研究了幾何圖形在投影變換下的不變性質，建立了射影幾何學。法國的傅立葉研究了熱傳導問題，發(fā)明用傅立葉級數(shù)求解偏微分方程的邊值問題，在理論和應用上都有重大影響。1824年，挪威的阿貝爾證明用根式求解五次方程的不可能性。1826年，挪威的阿貝爾發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的級數(shù)之和并非連續(xù)函數(shù)。俄國的和匈牙利的波約改變歐幾里得幾何學中的平行公理，提出非歐幾何學的理論。1827～1829年，德國的雅可比、挪威的阿貝爾和法國的勒阿德爾共同確立了橢圓積分與橢圓函數(shù)的理論，在物理、力學中都有應用。1827年，德國的高斯建立了微分幾何中關于曲面的系統(tǒng)理論。德國的莫比烏斯出版《重心演算》，第一次引進齊次坐標。1830年，捷克的波爾查諾給出一個連續(xù)而沒有導數(shù)的所謂“病態(tài)”函數(shù)的例子。法國的在代數(shù)方程可否用根式求解的研究中建立群論。1831年，法國的柯西發(fā)現(xiàn)解析函數(shù)的冪級數(shù)收斂定理。德國的高斯建立了復數(shù)的代數(shù)學，用平面上的點來表示復數(shù)，破除了復數(shù)的神秘性。1835年，法國的斯特姆提出確定代數(shù)方程式實根位置的方法。1836年，法國的柯西證明解析系數(shù)微分方程解的存在性。瑞士的史坦納證明具有已知周長的一切封閉曲線中包圍最大面積的圖形一定是圓。1837年，德國的狄利克萊第一次給出了三角級數(shù)的一個收斂性定理。1840年，德國的狄利克萊把解析函數(shù)用于數(shù)論，并且引入了“狄利克萊”級數(shù)。1841年，德國的雅可比建立了行列式的系統(tǒng)理論。1844年，德國的格拉斯曼研究多個變元的代數(shù)系統(tǒng)，首次提出多維空間的概念。1846年，德國的雅克比提出求實對稱矩陣特征值的雅可比方法。1847年，英國的布爾創(chuàng)立了布爾代數(shù)，在后來的電子計算機設計有重要應用。1848年，德國的庫莫爾研究各種數(shù)域中的因子分解問題，引進了理想數(shù)。英國的斯托克斯發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限的一個重要概念——一致收斂，但未能嚴格表述。1850年，德國的給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念。1851年，德國的黎曼提出共形映照的原理，在力學、工程技術中應用頗多，但未給出證明。1854年，德國的黎曼建立了更廣泛的一類非歐幾何學——黎曼幾何學，并提出多維拓撲流形的概念。俄國的車比雪夫開始建立函數(shù)逼近論，利用初等函數(shù)來逼近復雜的函數(shù)。二十世紀以來，由于電子計算機的應用，使函數(shù)逼近論有很大的發(fā)展。1856年，德國的維爾斯特拉斯確立極限理論中的一致收斂性的概念。1857年，德國的黎曼詳細地討論了黎曼面，把多值函數(shù)看成黎曼面上的單值函數(shù)。1868年，德國的普呂克在解析幾何中引進一些新的概念，提出可以用直線、平面等作為基本的空間元素。1870年，挪威的李發(fā)現(xiàn)李群，并用以討論微分方程的求積問題。德國的克朗尼格給出了群論的公理結構，這是后來研究抽象群的出發(fā)點。1872年，數(shù)學分析的“算術化”，即以有理數(shù)的集合來定義實數(shù)(德國戴特金、康托爾、維爾斯特拉斯)。德國的克萊茵發(fā)表了“”，把每一種幾何學都看成是一種特殊變換群的不變量論。1873年，法國的埃爾米特證明了e是超越數(shù)。1876年，德國的維爾斯特拉斯出版《解析函數(shù)論》，把復變函數(shù)論建立在了冪級數(shù)的基礎上。1881～1884年，美國的吉布斯制定了向量分析。1881～1886年，法國的彭加勒連續(xù)發(fā)表《微分方程所確定的積分曲線》的論文，開創(chuàng)微分方程定性理論。1882年，德國的林德曼證明了圓周率是超越數(shù)。英國的亥維賽制定運算微積，這是求解某些微分方程的簡便方法，工程上常有應用。1883年，德國的建立了集合論，發(fā)展了超窮基數(shù)的理論。1884年，德國的弗萊格出版《數(shù)論的基礎》，這是數(shù)理邏輯中量詞理論的發(fā)端。1887～1896年，德國的達布爾出版了四卷《曲面的一般理論的講義》，總結了一個世紀來關于曲線和曲面的微分幾何學的成就。1892年，俄國的李雅普諾夫建立運動穩(wěn)定性理論，這是微分方程定性理論研究的重要方面。1892～1899年，法國的彭加勒創(chuàng)立自守函數(shù)論。1895年，法國的彭加勒提出同調的概念，開創(chuàng)代數(shù)拓撲學。1899年，德國的《幾何學基礎》出版，提出歐幾里得幾何學的嚴格公理系統(tǒng)，對數(shù)學的公理化思潮有很大影響。瑞利等人最早提出基于統(tǒng)計概念的計算方法——蒙特卡諾方法的思想。二十世紀二十年代柯朗(德)、馮·諾伊曼(美)等人發(fā)展了這個方法，后在電子計算機上獲得廣泛應用。公元１９００年～１９６０年１９００年德國數(shù)學家希爾伯特，提出數(shù)學尚未解決的23個問題，引起了20世紀許多數(shù)學家的關注。１９０１年德國數(shù)學家希爾伯特，嚴格證明了狄利克萊原理，開創(chuàng)了變分學的直接方法，在工程技術的級拴問題中有很多應用。德國數(shù)學家舒爾、弗洛伯紐斯，首先提出群的表示理論。此后，各種群的表示理論得到大量研究。意大利數(shù)學家里齊、齊維塔，基本上完成張量分析，又名絕對微分學。確立了研究黎曼幾何和相對論的分析工具。法國數(shù)學家勒貝格，提出勒貝格測度和勒貝格積分，推廣了長度、面積積分的概念。１９０３年英國數(shù)學家貝·羅素，發(fā)現(xiàn)集合論中的羅素悖論，引發(fā)第三次數(shù)學危機。瑞典數(shù)學家弗列特荷姆，建立線性積分方程的基本理論，是解決數(shù)學物理問題的數(shù)學工具，并為建立泛函分析作出了準備。１９０６年意大利數(shù)學家賽維里，總結了古典代數(shù)幾何學的研究。法國數(shù)學家弗勒錫、匈牙利數(shù)學家里斯，把由函數(shù)組成的無限集合作為研究對象，引入函數(shù)空間的概念，并開始形成希爾伯特空間。這是泛函分析的發(fā)源。德國數(shù)學家哈爾托格斯，開始系統(tǒng)研究多個自變量的復變函數(shù)理論。俄國數(shù)學家馬爾可夫，首次提出“馬爾可夫鏈”的數(shù)學模型。１９０７年德國數(shù)學家寇貝，證明復變函數(shù)論的一個基本原理——黎曼共形映照定理。美籍荷蘭數(shù)學家布勞威爾，反對在數(shù)學中使用排中律，提出直觀主義數(shù)學。１９０８年德國數(shù)學家金弗里斯，建立點集拓撲學。德國數(shù)學家策麥羅，提出集合論的公理化系統(tǒng)。１９０９年德國數(shù)學家希爾伯特，解決了數(shù)論中著名的華林問題。１９１０年德國數(shù)學家施坦尼茨，總結了19世紀末20世紀初的各種代數(shù)系統(tǒng)，如群、代數(shù)、域等的研究，開創(chuàng)了現(xiàn)代抽象代數(shù)。美籍荷蘭數(shù)學家路·布勞威爾，發(fā)現(xiàn)不動點原理，后來又發(fā)現(xiàn)了維數(shù)定理、單純形逼近法、使代數(shù)拓撲成為系統(tǒng)理論。英國數(shù)學家背·羅素、卡·施瓦茲西德，出版《數(shù)學原理》三卷，企圖把數(shù)學歸納到形式邏輯中去，是現(xiàn)代邏輯主義的代表著作。１９１３年法國的厄·加當和德國的韋耳完成了半單純李代數(shù)有限維表示理論，奠定了李群表示理論的基礎。這在量子力學和基本粒子理論中有重要應用。德國的韋耳研究黎曼面，初步產生了復流形的概念。１９１４年德國的豪斯道夫提出拓撲空間的公理系統(tǒng)，為一般拓撲學建立了基礎。１９１５年瑞士美籍德國人愛因斯坦和德國的卡·施瓦茨西德把黎曼幾何用于廣義相對論，解出球對稱的場方程，從而可以計算水星近日點的移動等問題。１９１８年英國的哈臺、立篤武特應用復變函數(shù)論方法來研究數(shù)論，建立解析數(shù)論。丹麥的愛爾蘭為改進自動電話交換臺的設計，提出排隊論的數(shù)學理論。希爾伯特空間理論的形成(匈牙利里斯)。１９１９年德國的亨賽爾建立P-adic數(shù)論，這在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何中有重要用。１９２２年德國的希爾伯特提出數(shù)學要徹底形式化的主張，創(chuàng)立數(shù)學基礎中的形式主義體系和證明論。１９２３年法國的厄·加當提出一般聯(lián)絡的微分幾何學，將克萊因和黎曼的幾何學觀點統(tǒng)一起來，是纖維叢概念的發(fā)端。法國的阿達瑪提出偏微分方程適定性，解決二階雙曲型方程的柯西問題()。波蘭的巴拿哈提出更廣泛的一類函數(shù)空間——巴拿哈空間的理論()。美國的諾·維納提出無限維空間的一種測度——維納測度，這對概率論和泛函分析有一定作用。１９２５年丹麥的哈·波爾創(chuàng)立概周期函數(shù)。英國的費希爾以生物、醫(yī)學試驗為背景，開創(chuàng)了“試驗設計”(數(shù)理統(tǒng)計的一個分支)，也確立了統(tǒng)計推斷的基本方法。１９２６年德國的納脫大體上完成對近世代數(shù)有重大影響的理想理論。１９２７年美國的畢爾霍夫建立動力系統(tǒng)的系統(tǒng)理論，這是微分方程定性理論的一個重要方面。１９２８年美籍德國人理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。美國的哈特萊首次提出通信中的信息量概念。德國的格羅許、芬蘭的阿爾福斯、蘇聯(lián)的拉甫連捷夫提出擬似共形映照理論，這在工程技術上有一定應用。１９３０年美國的畢爾霍夫建立格論，這是代數(shù)學的重要分支，對射影幾何、點集論及泛函分析都有應用。美籍匈牙利人馮·諾伊曼提出自伴算子譜分析理論并應用于量子力學。１９３１年瑞士的德拉姆發(fā)現(xiàn)多維流形上的微分型和流形的上同調性質的關系，給拓撲學以分析工具。奧地利的哥德爾證明了公理化數(shù)學體系的不完備性。蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫和美國的費勒發(fā)展了馬爾可夫過程理論。１９３２年法國的亨·嘉當解決多元復變函數(shù)論的一些基本問題。美國的畢爾霍夫、美籍匈牙利人馮·諾伊曼建立各態(tài)歷經的數(shù)學理論。法國的赫爾勃蘭特、奧地利的哥德爾、美國的克林建立遞歸函數(shù)理論，這是數(shù)理邏輯的一個分支，在自動機和算法語言中有重要應用。１９３３年匈牙利的奧·哈爾提出拓撲群的不變測度概念。蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化體系。美國的諾·維納、丕萊制訂復平面上的傅立葉變式理論。１９３４年美國的莫爾斯創(chuàng)建大范圍變分學的理論，為微分幾何和微分拓撲提供了有效工具。美國的道格拉斯等解決極小曲面的基本問題——普拉多問題，即求通過給定邊界而面積為最小的曲面。蘇聯(lián)的辛欽提出平穩(wěn)過程理論。１９３５年波蘭的霍勒維奇等在拓撲學中引入同倫群，成為代數(shù)拓撲和微分拓撲的重要工具。法國的龔貝爾開始研究產品使用壽命和可靠性的數(shù)學理論。１９３６年德國寇尼克系統(tǒng)地提出與研究圖的理論，美國的貝爾治等對圖的理論有很大的發(fā)展。50年代以后，由于在博弈論、規(guī)劃論、信息論等方面的發(fā)展，而得到廣泛應用?，F(xiàn)代的代數(shù)幾何學開始形成。(荷蘭范德凡爾登，法國外耳，美國查里斯基，意大利培·塞格勒等)英國的圖靈、美國的邱吉、克林等提出理想的通用計算機概念，同時建立了算法理論。美籍匈牙利人馮·諾伊曼建立算子環(huán)論，可以表達量子場論數(shù)學理論中的一些概念。蘇聯(lián)的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。１９３７年美國的懷特尼證明微分流形的嵌入定理，這是微分拓撲學的創(chuàng)始。蘇聯(lián)的彼得洛夫斯基提出偏微分方程組的分類法，得出某些基本性質。瑞士的克拉默開始系統(tǒng)研究隨機過程的統(tǒng)計理論。１９３８年布爾巴基叢書《數(shù)學原本》開始出版，企圖從數(shù)學公理結構出發(fā)，以非常抽象的方式敘述全部現(xiàn)代數(shù)學(法國布爾巴基學派)。１９４０年美國的哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假說在集合論公理系中的無矛盾性。英國的紹司威爾提出求數(shù)值解的松弛方法。蘇聯(lián)的蓋爾方特提出交換群調和分析的理論。１９４１年美國的霍奇定義了流形上的調和積分，并用于代數(shù)流形，成為研究流形同調性質的分析工具。蘇聯(lián)的謝·伯恩斯坦、日本的伊藤清開始建立馬爾可夫過程與隨機微分方程的聯(lián)系。蘇聯(lián)的蓋爾芳特創(chuàng)立賦范環(huán)理論，主要用于群上調和分析和算子環(huán)論。１９４２年美國的諾·維納、蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫開始研究隨機過程的預測，濾過理論及其在火炮自動控制上的應用，由此產生了“統(tǒng)計動力學’。１９４３年中國的林士諤提出求代數(shù)方程數(shù)字解的林士諤方法。１９４４年美籍匈牙利人馮·諾伊曼等建立了對策論，即博弈論。１９４５年法國的許瓦茨推廣了古典函數(shù)概念，創(chuàng)立廣義函數(shù)論，對微分方程理論和泛函分析有重要作用。美籍華人陳省身建立代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，推進了整體幾何學的發(fā)展。１９４６年美國莫爾電子工程學校和賓夕法尼亞大學試制成功第一臺電子計算機ENIAC。(設計者為?？颂?、莫希萊等人)。法國的外耳建立現(xiàn)代代數(shù)幾何學基礎。中國的華羅庚發(fā)展了三角和法研究解析數(shù)論。蘇聯(lián)的蓋爾芳特、諾依瑪克建立羅倫茲群的表示理論。１９４７年美國的?！ね郀柼貏?chuàng)立統(tǒng)計的序貫分析法。１９４８年英國的阿希貝造出穩(wěn)態(tài)機，能在各種變化的外界條件下自行組織，