多元統(tǒng)計分析第二講

多元統(tǒng)計分析第二講zf第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四線性代數(shù)中的有關概念、定理矩陣的概念方程組求解二次型特征值與特征向量

2023/4/52第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四一、矩陣的概念矩陣的定義以及計算矩陣的定義：n*m階矩陣、n階方陣、列向量、行向量、對角陣、對角線元素、非對角線元素、單位矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對稱矩陣、三角陣、上三角陣、下三角陣矩陣運算：矩陣的加法、常數(shù)與矩陣的積、矩陣的乘法、矩陣的運算規(guī)律矩陣的行列式：行列式的定義行列式的性質(zhì)逆矩陣定義、矩陣可逆的充要條件、逆矩陣的性質(zhì)*矩陣的跡、矩陣的秩：定義、性質(zhì)正交矩陣與正交變換正交矩陣定義、性質(zhì)；正交變換分塊矩陣分塊矩陣定義、利用分塊矩陣求逆2023/4/53第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四非奇次線性方程組有解的充要條件系數(shù)矩陣與其增廣系數(shù)矩陣同秩解法１：消元法解法２：求解求逆并行變換法二、方程組求解2023/4/54第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例2023/4/55第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/56第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/57第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例解2023/4/58第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/59第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四

二次型的矩陣表達式正定二次型以及正定矩陣正定矩陣的性質(zhì)三、二次型2023/4/510第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四二次型的矩陣表達式2023/4/511第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四正定二次型以及正定矩陣定義：設有實二次型f(x1,…,xn)=xTAx，如果對任意的x0，都有

f(x1,…,xn)=xTAx>0稱f為正定二次型;相應的矩陣A稱為正定矩陣，記為A>0;；若對任意x0都有f<0,稱f為負定二次型,相應的矩陣A稱為負定矩陣；若對任何x0都有f≥0，稱f為半正定二次型，若f≤0，稱f為半負定二次型，相應的矩陣A分別稱為半正定、半負定矩陣.2023/4/512第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四定理2f(x1,…,xn)=xTAx正定(或A>０)的充分必要條件是標準形的n個系數(shù)均為正.推論1

f=xTAx正定（或A>０）的充分必要條件是正慣性指數(shù)等于n.推論2f=xTAx正定（或A>０）的充分必要條件是A的特征值都大于零.推論3

f=xTAx正定（或A>０）則A>0.2023/4/513第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四定理3二次型f(x1,…,xn)=xTAx正定(或A>０)的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零,即2023/4/514第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四正定矩陣的性質(zhì)正定矩陣一定是非奇異的。正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。若A為n階對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L，使得A=L*L′，此分解式稱為正定矩陣的喬列斯基（Cholesky）分解。2023/4/515第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四四、特征值與特征向量

特征值、特征向量的定義

特征值的性質(zhì)實對稱矩陣特征值的求解方法2023/4/516第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四特征值的性質(zhì)2023/4/517第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四步驟如下(i)求出特征方程λE–A

=0的全部根

λ1,λ2,…,

λn,即A的全部特征值；(ii)對每個λi

,求方程組(λiE–A)x=0

的所有非零解即為A的對應于特征值λi

的特征向量.實對稱矩陣特征值的求解方法2023/4/518第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例解(ii)2023/4/519第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/520第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理統(tǒng)計中的有關概念、定理

總體與樣本總體樣本、樣本均值、樣本方差

參數(shù)估計

假設檢驗

幾種常用分布的關系2023/4/521第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四總體與樣本

總體所有調(diào)查研究的事物或現(xiàn)象的全體叫總體。反映總體數(shù)量特征的是總體統(tǒng)計指標，如總體均值，總體方差等?？傮w可劃分為有限總體和無限總體。樣本在總體中抽取出來的一部分個體的集合稱為樣本。反映樣本數(shù)量特征的指標稱為樣本指標，如樣本均值、樣本方差等，樣本指標的用途在于推斷總體指標。

2023/4/522第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四參數(shù)估計2023/4/523第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/524第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/525第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/526第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四幾種常用分布的關系

2023/4/527第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/528第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/529第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四假設檢驗：檢驗某種假設是否成立2023/4/530第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/531第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/532第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/533第33頁，共36頁，2023年，2月20