復變函數(shù)與積分變換大綱

復變函數(shù)與積分變換大綱第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四一、復數(shù)與復變函數(shù)(1)熟悉復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的四則運算及共軛運算；(2)熟悉復平面、模與輻角的概念，熟練掌握復數(shù)的各種表示法；(3)了解復球面、無窮遠點及擴充復平面的概念。(4)熟練掌握乘積與商的模與輻角定理，方根運算公式。(5)理解區(qū)域、簡單曲線、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域的概念；(6)理解復變函數(shù)以及映射的概念，了解復變函數(shù)與二元實函數(shù)的關(guān)系；(7)了解復變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念、性質(zhì)，熟悉復變函數(shù)數(shù)的極限和連續(xù)性與實變函數(shù)的極限與連續(xù)性之間的區(qū)別與聯(lián)系。第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四二、解析函數(shù)(1)理解復變函數(shù)的導數(shù)以及解析函數(shù)的概念;(2)掌握連續(xù)、可導、解析之間的關(guān)系及求導方法;(3)熟練掌握函數(shù)可導與解析的判別法;(4)掌握并能靈活應(yīng)用柯西-黎曼方程；(5)熟悉復變初等函數(shù)，了解它們的主要性質(zhì)。重點：解析函數(shù)的概念；函數(shù)解析性的判別。第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四

三、復變函數(shù)的積分（1）了解復積分定義，掌握復積分計算的一般方法；（2）理解柯西-古薩定理；（3）掌握牛頓--萊布尼茨公式；（4）掌握復合閉路原理；（5）熟練掌握柯西積分公式及高階導數(shù)公式；（6）了解調(diào)和函數(shù)的概念，掌握共軛調(diào)和函數(shù)的求法。第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四四、復變函數(shù)的級數(shù)(1)了解復數(shù)列的極限概念，熟悉復數(shù)列收斂的充分必要條件；(2)了解級數(shù)理論、級數(shù)的性質(zhì)；(3)理解阿貝爾定理，掌握收斂半徑的求法；(4)理解泰勒展開定理，熟練掌握的泰勒展開式，掌握函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法，能比較熟練地把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)。(5)掌握羅朗級數(shù)的概念、性質(zhì)，理解羅朗展開定理，能比較熟練地把一些解析函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四五、留數(shù)(1)理解孤立奇點的概念及其分類，掌握可去奇點、極點與本性奇點的特征；(2)熟悉零點與極點的關(guān)系；(3)理解留數(shù)的概念，掌握計算留數(shù)的一般方法；熟練掌握極點處留數(shù)的求法；(4)掌握利用留數(shù)定理計算閉路積分的方法，熟練掌握應(yīng)用留數(shù)計算、型積分。了解應(yīng)用留數(shù)定理計算實積分的圍道積分法。第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四六、Fourier變換(1)熟悉傅氏積分定理，（2）理解傅氏變換及其逆變換的概念；（3）理解函數(shù)的概念和性質(zhì)（4）掌握傅氏變換的線性、位移、積分以及微分性質(zhì)，（5）熟練運用傅氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的傅氏變換及其逆變換；（6）理解卷積的概念，掌握并能運用卷積定理。第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四兩個常用的積分：第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四記住下面幾個常用的Fourier變換：第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四七、拉普拉斯變換(1)理解拉氏變換及其逆變換的概念；(2)了解拉氏變換與傅氏變換的區(qū)別；(3)熟悉拉氏變換的存在定理；(4)掌握拉氏變換的線性、微分、積分、位移以及延遲性質(zhì)；(5)熟練運用拉氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換及其逆變換；(6)了解拉氏反演積分公式，熟練掌握應(yīng)用留數(shù)計算像原函數(shù)的方法；(7)理解卷積的概念，掌握并能運用卷積定理；(8)熟練掌握常系數(shù)線性微分方程的拉氏變換解法。第12頁，共14頁，2023