復變函數(shù)與積分變換課件復數(shù)項級數(shù)

復變函數(shù)與積分變換課件復數(shù)項級數(shù)第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四§4.1復數(shù)項級數(shù)一、復數(shù)序列二、復數(shù)項級數(shù)第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、復數(shù)序列1.基本概念定義設為復數(shù)，稱為復數(shù)序列。極限如果對任意給定的

e>

0，相應地存在自然數(shù)N，設

為一復數(shù)序列，又設

為一確定的復數(shù)，當

n

>

N時，總有

|

zn-

a

|

<

e

成立，或或稱

a

為復數(shù)序列的極限，收斂于復數(shù)

a，則稱復數(shù)序列記作使得第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、復數(shù)序列2.復數(shù)序列極限存在的充要條件則

的充要條件是定理設證明必要性“”若則當時，

P78定理

4.1

第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四則

的充要條件是一、復數(shù)序列2.復數(shù)序列極限存在的充要條件定理設證明充分性“”則當

時，若第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解由或發(fā)散，即得也發(fā)散。已知故序列收斂。附考察實序列

的收斂性。(其中見上例)根據(jù)復數(shù)模的三角不等式有第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四注(1)序列收斂序列收斂；(2)例設討論序列的收斂性。解即序列收斂。第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、復數(shù)項級數(shù)1.基本概念定義設為一復數(shù)序列，(1)稱為復數(shù)項級數(shù)，(2)稱為級數(shù)的部分和；并且極限值

s

稱為級數(shù)的和；(3)如果序列收斂，即則稱級數(shù)收斂，(4)如果序列不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散。簡記為第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、復數(shù)項級數(shù)2.復數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件級數(shù)

和

都收斂。則級數(shù)收斂的充分必要條件是定理設證明令

和

分別為級數(shù)和

的部分和，則級數(shù)

的部分和即得級數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂。由于序列收斂的充要條件是和都收斂，

P80定理

4.1

第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、復數(shù)項級數(shù)3.復數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件則

收斂的必要條件是定理設等價于因此

收斂的必要條件是證明由于級數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂，而實數(shù)項級數(shù)

和

收斂的必要條件是：P80定理4.3

第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四級數(shù)收斂，解但級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)發(fā)散。(幾何級數(shù)時收斂)(

p

級數(shù)時發(fā)散)P81例4.2部分

第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解由于級數(shù)和均為收斂，(絕對收斂)故有級數(shù)和均收斂，即得級數(shù)收斂。記為在復數(shù)項級數(shù)中是否也能引入絕對收斂的概念呢？P81例4.2部分

第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四4.復數(shù)項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂二、復數(shù)項級數(shù)定義(1)若

收斂，則稱絕對收斂。(2)若

發(fā)散，

收斂，則稱

條件收斂。由收斂，證明收斂，定理若收斂，則必收斂。又根據(jù)正項級數(shù)的比較法可得，和

均收斂，和均收斂，收斂。P81

P80定理4.4

第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解由于即絕對收斂，故收斂。第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四分析由于發(fā)散，(

p

級數(shù)，比階法)因此不能馬上判斷

是否收斂。解故級數(shù)收斂。記為(萊布尼茲型的交錯級數(shù))收斂，收斂，第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四§4.2復變函數(shù)項級數(shù)一、基本概念二、冪級數(shù)三、冪級數(shù)的性質第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、基本概念1.復變函數(shù)項級數(shù)(2)稱為區(qū)域

G

內(nèi)(1)稱為區(qū)域

G

內(nèi)的復變函數(shù)序列。定義設復變函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)有定義，的復變函數(shù)項級數(shù)，簡記為第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、基本概念2.復變函數(shù)項級數(shù)收斂的定義(1)稱為級數(shù)的部分和。定義設為區(qū)域G

內(nèi)的復變函數(shù)項級數(shù)，稱級數(shù)在點收斂。z0則稱級數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)收斂。(3)如果存在區(qū)域D

G

，有此時，稱(2)如果對

G

內(nèi)的某一點，有z0則為和函數(shù)，D

為收斂域。第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念其中，

為復常數(shù)。定義稱由下式給出的復變函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)：(

I

)特別地，當

時有(Ⅱ)注(1)下面主要是對型冪級數(shù)進行討論，所得到的結論(Ⅱ)只需將換成

即可應用到型冪級數(shù)。(

I

)z(2)對于型冪級數(shù)，在

點肯定收斂。(Ⅱ)第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級數(shù)在點收斂，則它在

上絕對收斂；對于冪級數(shù)，有定理(2)如果級數(shù)在點發(fā)散，則它在

上發(fā)散。則存在

M，使對所有的

n

有即得收斂。證明(1)由收斂，有其中，當時，

P83定理

4.5

推論(阿貝爾與伽羅華)第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四對于冪級數(shù)，有二、冪級數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級數(shù)在點收斂，則它在

上絕對收斂；定理(2)如果級數(shù)在點發(fā)散，則它在

上發(fā)散。證明(2)反證法：與已知條件矛盾。已知級數(shù)在點發(fā)散，假設存在使得級數(shù)在點收斂，由定理的第

(1)

條有，級數(shù)在上絕對收斂；級數(shù)在點收斂，第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂分析第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂定義如圖設

CR

的半徑為

R，(1)稱圓域為收斂圓。(2)稱

R

為收斂半徑。R注意級數(shù)在收斂圓的邊界上各點的收斂情況是不一定的。約定表示級數(shù)僅在z

=

0點收斂；表示級數(shù)在整個復平面上收斂。第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四例考察級數(shù)的收斂性。對任意的解都有收斂半徑為(必要條件?)例考察級數(shù)的收斂性。由收斂，因此級數(shù)在全平面上收斂，收斂，故級數(shù)僅在點收斂，收斂半徑為對任意固定的解當時，有第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四級數(shù)的部分和為解▲級數(shù)發(fā)散。級數(shù)收斂；(1)當時，和函數(shù)為(2)當時，故級數(shù)收斂半徑為第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對于冪級數(shù)，有推導考慮正項級數(shù)利用達朗貝爾判別法：當即時，級數(shù)收斂；當即時，級數(shù)發(fā)散。P85

第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(2)根值法如果則收斂半徑為二、冪級數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對于冪級數(shù)，有(利用正項級數(shù)的柯西判別法即可得到)第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為得得P86例4.3部分

第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。收斂圓為故級數(shù)的收斂半徑為由于解第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四令則在內(nèi)有三、冪級數(shù)的性質1.冪級數(shù)的運算性質P86

第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.冪級數(shù)的分析性質即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分，即(1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。設性質則(2)函數(shù)的導數(shù)可由其冪函數(shù)逐項求導得到，三、冪級數(shù)的性質P87

第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.冪級數(shù)的代換(復合)性質在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時，上述三類性質有著重要的作用。又設函數(shù)在

內(nèi)解析，且滿足設級數(shù)

在內(nèi)收斂，和函數(shù)為性質當時，有則三、冪級數(shù)的性質第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解方法一

利用乘法運算性質方法二

利用逐項求導性質第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解其收斂半徑為收斂圓為第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四§4.3泰勒級數(shù)一、泰勒(Taylor)定理二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四z0DC一、泰勒(Taylor)定理則當時，有定理設函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)解析，C

為

D

的邊界，其中，證明(略)

Rl

為

D

內(nèi)包圍

點的z0的任意一條閉曲線。l

P88定理

4.6

(進入證明?)第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(1)為什么只能在圓域上展開為冪級數(shù)，z0RDC而不是在整個解析區(qū)域

D

上展開？回答這是由于受到冪級數(shù)本身的收斂性質的限制：

冪級數(shù)的收斂域必須是圓域。

冪級數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法一第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法二z0RDCl第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(3)對于一個給定的函數(shù)，用任何方法展開為冪級數(shù)，其結果都是一樣的，即具有唯一性。將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。比如方法一

利用已知的結果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用長除法。(長除法)第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(4)對于一個給定的函數(shù)，能不能在不具體展開為冪級數(shù)的情況下，就知道其收斂域？可以知道。函數(shù)在點展開為泰勒級數(shù)，其收斂半徑結論等于從點到的最近一個奇點的距離。(1)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，

因此奇點

不可能理由在收斂圓內(nèi)；(2)奇點

也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑還可以擴大，故奇點

只能在收斂圓周上。第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法1.直接展開法利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù)將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。例解P90例4.6

第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法1.直接展開法利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù)同理可得第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法2.間接展開法根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、代換運算、逐項求導、逐項求積等方法展開。兩個重要的已知展開式第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四故收斂半徑函數(shù)有奇點解函數(shù)有奇點故收斂半徑(1)(2)P92例4.10

第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(1)解將函數(shù)分別在點展開為冪級數(shù)。例P92例4.11修改

第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(2)解將函數(shù)分別在點展開為冪級數(shù)。例第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(1)解(2)第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。例將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。例解第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四解將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。例*P93例4.12

第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四§4.4洛朗級數(shù)一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”二、洛朗(Laurent)定理三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析引例根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)

在

點的冪級數(shù)展開式為事實上，該函數(shù)在整個復平面上僅有一個奇點，但正是這樣一個奇點，使得函數(shù)只能在內(nèi)展開為

z

的冪級數(shù)，而在如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能展開為

z

的冪級數(shù)。

有沒有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析設想這樣一來，在整個復平面上就有由，有從而可得第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析啟示如果不限制一定要展開為只含正冪次項的冪級數(shù)的話，即如果引入負冪次項，那么就有可能將一個函數(shù)在整個復平面上展開(除了奇點所在的圓周上)。在引入了負冪次項以后，“冪級數(shù)”的收斂特性如何呢？下面將討論下列形式的級數(shù):第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”分析2.級數(shù)的收斂特性將其分為兩部分：正冪次項部分與負冪次項部分。(A)(B)(1)對于

(A)

式，其收斂域的形式為(2)對于

(B)

式，其收斂域的形式為根據(jù)上一節(jié)的討論可知：第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結論2.級數(shù)的收斂特性(1)如果級數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：①

如果只含正冪次項(或者加上有限個負冪次項)，特別地則其收斂域為：或②

如果只含負冪次項(或者加上有限個正冪次項)，則其收斂域為：上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結論2.級數(shù)的收斂特性(1)如果級數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級數(shù)同樣的運算性質和分析性質。(2)級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,因此，下面將討論如何將一個函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開為上述形式的級數(shù)。第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四R2z0R1D二、洛朗(Laurent)定理設函數(shù)在圓環(huán)域定理C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。解析,內(nèi)在此圓環(huán)域中展開為則

一定能其中，證明(略)zC

P94定理

4.7

(進入證明?)第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四注(1)展開式中的系數(shù)可以用下面得方法直接給出。二、洛朗(Laurent)定理R2zz0R1CD第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四注(2)洛朗級數(shù)中的正冪次項和負冪次項分別稱為洛朗級數(shù)二、洛朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負冪次項的級數(shù)是唯一的。(4)系數(shù)?(5)若函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，則在在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式就是泰勒展開式。第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法1.直接展開法根據(jù)洛朗定理，在指定的解析環(huán)上R2zz0R1CD直接計算展開系數(shù)：有點繁！有點煩！第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法