復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如它是由復(fù)合而成的由于f

沒有具體給出一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四一、鏈?zhǔn)椒▌t證第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或這個公式的特征：⑴函數(shù)有兩個自變量x

和

y故法則中包含兩個公式；第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四⑵由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量u

和

v故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩項分別含有⑶每一項的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即“函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”

第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四注此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形如則從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項數(shù)等于中間變量的個數(shù)，而與自變量的個數(shù)無關(guān)第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時自如地運用公式①用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系②函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項數(shù)及項的構(gòu)成）第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵③弄清仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的

f(u,v)完全相同即仍是以u,v

為中間變量，以x,y

為自變量的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于x,y

的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈?zhǔn)椒▌t第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四在具體計算中最容易出錯的地方是對再求偏導(dǎo)數(shù)這一步是與

f(u,v)具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認為僅是u

的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉原因就是不注意④求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，一定要設(shè)中間變量⑤注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)⑥的合并問題視題設(shè)條件第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四解第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四解例3設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計算（兩重復(fù)合問題）解由鏈?zhǔn)椒▌t第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四故同理可得第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四解令記同理有第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四于是二、全微分形式不變性第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四全微分形式不變形的實質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯綜復(fù)雜，都可以不加辨認和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運算的結(jié)果對自變量的微分來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四例5設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求解一變量間的關(guān)系如下圖所示第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到

x,z

是獨立自變量解二第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四由全微分定義注解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯故第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性（理解其實質(zhì)）第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四思考題第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)題第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共33頁，