復(fù)變函數(shù)微分

復(fù)變函數(shù)微分第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四第二章復(fù)變函數(shù)微積分第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第二節(jié)復(fù)變函數(shù)的解析性第三節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的定義和性質(zhì)第四節(jié)柯西定理和柯西積分公式第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限記作第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個預(yù)先給定的ε鄰域中幾何意義第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

(1)

定義中的方式是任意的.

與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.(2)w0是復(fù)數(shù).(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.注意第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四定理1定理2設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四例１

第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四例１

二元函數(shù)求極限！典型方法第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四注：如果沿線性路徑逼近時，極限與系數(shù)k有關(guān)，則極限必不存在，但即使與系數(shù)k無關(guān)，也不能判定極限必存在。例第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)=f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)，滿足1.f(z0)存在；2.第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四定理3設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)u(x,y)和v(x,y)皆在(x0,y0)點(diǎn)連續(xù)。定理4連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也連續(xù)。定理5在閉區(qū)域中連續(xù)的函數(shù)必有界。第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四證明f(z)=argz在原點(diǎn)不連續(xù)。證明第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四舉例第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)變函數(shù)一致連續(xù)定理6在閉區(qū)域中連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)。第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四小結(jié)極限連續(xù)一致連續(xù)第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四本節(jié)作業(yè)2-12-22-3基礎(chǔ)題中等題（1）（2）難題√√第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域D上的單值函數(shù)，若在D內(nèi)某點(diǎn)z0，極限存在，則稱函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微商，記為第二節(jié)復(fù)變函數(shù)的解析性第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四說明如果函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)兩個例子：1.求dzn/dz=nzn-12.求證=z*，Rez，Imz，在z平面上處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四求導(dǎo)法則第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四舉例第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四充分必要條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是Cauchy-Riemann條件第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)數(shù)的計算公式極坐標(biāo)下的Cauchy-Riemann條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四解析函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處解析；又若f(z)在區(qū)域B內(nèi)的每一點(diǎn)解析，則稱f(z)在區(qū)域B內(nèi)是解析函數(shù)說明2.稱函數(shù)的不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然在區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)在B內(nèi)可導(dǎo)

3.解析函數(shù)的充分必要條件函數(shù)f(z)

在區(qū)域B內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)(1)實(shí)部和虛部在B內(nèi)可微；(2)實(shí)部和虛部在B內(nèi)每一點(diǎn)滿足Cauchy-Riemann條件第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四解析函數(shù)的主要性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B內(nèi)解析，則u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B內(nèi)的兩組正交曲線舉例紅:實(shí)部蘭:虛部第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)2：若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y)均為B內(nèi)的調(diào)和函數(shù)舉例實(shí)部虛部實(shí)部虛部最大和最小值只能在邊界上達(dá)到調(diào)和函數(shù)：第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四解析函數(shù)的變換性質(zhì)解析函數(shù)是一個保角映射=f(z)解析函數(shù)第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四解析函數(shù)將z平面上的區(qū)域變?yōu)槠矫嫔系膮^(qū)域解析函數(shù)可以將z平面上的一個區(qū)域變換為平面上的一個區(qū)域，其中區(qū)域的邊界變換為區(qū)域的邊界，甚至保持邊界的方向不變；同時區(qū)域的內(nèi)部變換為區(qū)域的內(nèi)部xOyBuO

vD=f(z)第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四舉例xOy/3uOvf(z)=z3xOyiauOv第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四給定實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)例1：已知某解析函數(shù)f(z)的實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求該解析函數(shù)。例2：已知某解析函數(shù)f(z)的虛部求該解析函數(shù)。第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四