配套版第七章第十三章

數(shù)學(xué)歸納(2)(歸納遞推)n＝k(k≥n0，k∈N＋)n＝k＋1時(shí)命題也成立.n0n都成立. ) ) ) ×) √ √

答案解析nn0若 1 (n∈N)，則f(1) ＋＋ 5 5 答案解析16n－1n＝1時(shí)，最大分母為5，故選C. 設(shè)f(n)1＋1 1，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝

—答案 1 — 解析f(n＋1)－f(n)＝1＋1＋…＋1 ＋ －(1＋1

＋1 1 ＋2＋3＋…＋2 答案解析n＝k1＋1＋1＋…＋1 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，要證的式子為1＋1＋1＋…＋1＋1＋1

題型一例1 思維啟迪證明時(shí)注意等式兩邊從n＝k到n＝k＋1時(shí)的變化.證明①當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，右邊＝2，故等式成立；那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊n＝k＋1時(shí)等式也成立.思維升華n0n＝n0時(shí)等式成立n＝kn＝k＋1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo). 1＋…＋ 證明(1)n＝1時(shí)，左邊＝1

右邊 假設(shè)當(dāng)1＋1 ＝

n＝k＋11＋1

＝ ＝ ＝2k＋12k＋3

3＋3

21k＋1＋21n＝k＋1時(shí)，等式也成立可知，對(duì)一切題型二例 3

1時(shí) (1)a

(2)

＝f(a)，n∈N*，證明 1.aa

n思維啟迪(1)a3 a (1)解f(x)＝ax－2x＝－2(x－3)6 又x∈1，1時(shí) f 所以

即 3

a2≤1(2)證明①當(dāng)n＝1時(shí) 11，顯然結(jié)論成立0<ax∈(0，1

11所以 1n＝2時(shí)，原不等式也成立0<a k10<af(x)＝ax－32 x∈(0，1時(shí)，f(x)為增函數(shù)所以 所以 0<a

1， 0<f(a， k＋

f(a 1 3 1f(a

k

n＝k＋1時(shí)，原不等式也成立a根據(jù)①②n∈N*，不等式n1a思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)命題成立證n＝k＋1時(shí)命題也成用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式 2n＋1

均成立證明(1)n＝2時(shí)，左邊＝1＋1＝4；右邊＝ 22 2 2n＝k2 1

2∴n＝k＋1時(shí)，不等式也成立題型三歸納—猜想—例 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足

1n＝2＋an(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)思維啟迪通過(guò)計(jì)算a1，a2，a3尋求規(guī)律猜想{an}的通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)解n＝1 ∴a1＝n＝2a1＋a2＝a2＋1 2a1＝3－1a2＋22∴a2＝5－a3＝7－猜想 (2)證明①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)成立②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)成立，即ak＝ 由

ak＋1＋

－ak－1

k＝

將 解得：ak＋1＝2k＋3－即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，通項(xiàng)也成立由①和②n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立思維升華(1)猜想{an}的通項(xiàng)是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程注意兩點(diǎn)①準(zhǔn)確計(jì)算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng))；②ak＋1時(shí)，ak＋1a2、a3的求解已知函數(shù) 13－x，數(shù)列{a}滿足條件：a

≥f′(a＋1)

＋1 1 1 1＋ 1的大小，并說(shuō)明理由

解∵f′(x)＝x2－1∵g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增.于是由a1≥1得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，①n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1②n＝k(k≥1k∈N*)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立 即 1 1 ∴1＋1＋1＋…＋

≤1＋1＋1＋…＋1＝1－1

(2)＝典例：(12分)設(shè) ax，令a＝1，a＝

＝f(a

(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)思維啟迪a2，a3，a4an，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)解∴a2＝f(a1)＝f(1)＝aa3＝f(a2)＝a；a4＝f(a3)＝a [2分 猜想 [4分(2)證明①，n＝1時(shí)，猜想正確 [6分②n＝k即 [8分 ＝則 ＝f(a)＝a·ak k－1＋a＝

ka＋k－ka 這說(shuō)明，n＝k＋1時(shí)猜想正確 [11分 [12分n0(n0∈N*)成立.n＝k(k≥n0)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.n≥n0，n∈N*成立.溫馨提醒解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納—猜想—證明”問(wèn)題及不等式證明時(shí)，還有以下幾點(diǎn)n＝kn＝k＋1這一步時(shí)，忽略了假設(shè)條件去證明，造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)n0n＝k＋1n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法A組(時(shí)間：40分鐘 答案解析∵n＝1時(shí)，21＝1,2×1＋1＝3,2n>2n＋1n＝2時(shí)，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立∴n

(a≠1)n＝1得的項(xiàng) 答案 答案解析 對(duì)于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)n＝1時(shí)，12＋1<1＋1，不等式成立＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法 B.n＝1D.n＝kn＝k＋1答案解析n＝k＋1n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列{an}中 答案

解析n＝2時(shí)，1＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝1 n＝3時(shí)，1＋1＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝1 故猜想 設(shè)S 1

－S ＋2＋3＋4＋…＋2n，

答 1 1 1答

解析∵Sn＋1＝1＋1＋…＋1＋1＋…＋ Sn＝1＋1＋1＋1＋…＋1

∴Sn＋1－Sn＝1＋1＋1＋…＋

題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝ 答案解析n2k－1設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝ ；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)＝ 答案答案

解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，22證明(1)n＝1時(shí)，左邊右邊 (2)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2 n＝k＋1 ＝(－1)k·2 ∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)知對(duì)任意n∈N*有 已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a2n 求證：當(dāng)n∈N*時(shí)2證明(1)n＝1a2a2＋a2－1＝02假設(shè)當(dāng)

kk

得ak＋1<ak＋n＝k＋1時(shí)，an<an＋1B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝2 ，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加 答案解析1下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是 答案解析(1)k＝13(2＋7k)9整除(2)k＝n(n∈N*)時(shí)，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，k＝n＋1這就是說(shuō)，k＝n＋1時(shí)命題也成立.由(1)(2)知，命題對(duì)k∈N*成立.已知數(shù)列{a}a

n答

解析∵a1＝1，∴a2＝1a3＝1

2a＋1＝4，a＝2a＋1＝8

已知

1

1*，n∈N*

解(1)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1 n＝3時(shí)，f(3)＝251，g(3)＝312 ，猜想①n＝1,2,3假設(shè)當(dāng)1＋1＋1＋1＋…＋1<3－1

k3

<那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí) 3－1＋ <因 －[1

k＋13

＝

-1＝k

3－ 1 ＝g(＋1).

，都有1 1 1 a若不等 對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并明結(jié)論

3n＋1解n＝1時(shí)，1＋1＋1>a即26

3＋11＋1＋…＋ 2511

(1)n＝1時(shí)，已證得不等式成立假設(shè)當(dāng)即1＋1＋