統(tǒng)計學(xué)第5-6章正態(tài)分布、統(tǒng)計量及其抽樣分布詳解

5.1.1定義:當一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般度曲線圖例如：某個地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征：身高、體重、肺活量等某一條件下產(chǎn)品的質(zhì)量Q記做，讀作：隨機變量X服從均值為，方差為Q2的正態(tài)分布xf(x)0f(x)0f()=2。123決定：越大，曲線越平緩；越小，曲線越陡峭xxx當趨于無窮時，曲線以軸為其漸近線。當時，2，稱為標準正態(tài)分布。(x)(x)任何一個正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布,則,則XXx)=1(x)XN(0,1)例：設(shè)，求以下概率 (1)P(X>2)P(1P(1<X3)(1)(2)一般，若，則有P(Xa)=2(a)1例設(shè)，求以下概率P(X10) (1)P(2<X<10))P(2X8) (4)(4)(5)(5)XN(5,32)N解：由，3 (1)3333333(3)33333(4)P(X52)3(5)一般，若，則有一般，若，則有P(aXb)(b)(a)至一般正態(tài)總體，即，有間內(nèi)——統(tǒng)計學(xué)的“3a準則”一個重要性質(zhì)Z5.1.6求分位數(shù)以設(shè)Z以Z以Z=-Z5.2.1分布XXX1定義：設(shè)隨機變量1,2,,n相互獨立，且i，則它們的平方和服從自由度為2n的分布。n的分布。2x2分布的密度函數(shù)圖形1005x150052(1)分布的變量值始終為正。x2x(2)分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的右偏分布，0x0xx2x (4)分布具有可加性。們的和服從于自由度為X+Y~x2(n+n)n+n2的2x2x23分布臨界值表的使用，求得分布的分位數(shù)X，隨機變量，5.2.2t分布(student分布)設(shè)隨機變量互相獨立，Xt=~t(n)Yn——自由度為n的t分布00t5t分布概率密度函數(shù)圖①關(guān)于y軸對稱，與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像非常相似。x②厚尾：當時，t分布的密度函數(shù)趨于0的速度要比標準正態(tài)分布密度函數(shù)慢，所以t分布的密度函數(shù)的尾部要比密度的所以，當n很大時，t分布可以用標準正態(tài)分布近似。記t(n)布的分位數(shù)。n30t(n)Z在實際使用中，當,就近似有t0t0t50t(15)=t(15)=1.76531而0.950.05,0.050.05,2設(shè)隨機變量X2設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且分別服從自由度為和的分布。mnFXmYnF分布。1F1F,10)00123x4F分布的概率密度函數(shù)的圖，a表示分布的分位數(shù)，aa00F5aax101F，F(xiàn)F6.1統(tǒng)計量nX,X,,XX定義：設(shè)12n是從總體中抽取的容量為的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個不依賴于任何未知參數(shù)的函數(shù)T(X,X,,X)n參數(shù)xxxT當獲得樣本的一組具體觀測值12n，帶入,計算出12n的數(shù)值，稱為統(tǒng)計量的值常用的統(tǒng)計量6.2抽樣分布抽樣分布：統(tǒng)計量的分布XXXnxxxxxxxx,,,nmXx,,12,,,,Xxx,,,精確分布：可以得到分布的數(shù)學(xué)表達式①x=-①x=-nn(XX,)nX(XX,)nX裝/n(N裝/n(N裝裝(X-X)2 (X-X)2 裝2=n③X與s2相互獨立(X,X,,X)N(,2)設(shè)12n是取自正態(tài)總體X-t(n-1)X-/nX2(n-1)2 /n2獨立(t分布的定義)X-(X,X,,X)N(,2)設(shè)12m是取自正態(tài)總體11的一個樣本，n22的一個樣本，XY與相互獨立，那么(X-Y)-(-)12N(0,1)221+2mnN(,1)1mN(,1)1m11222nX-YN(-X-YN(-,1+2)12mn(X-Y)-(-)12N(0,1)221+2設(shè)12m是取自正態(tài)總體1的一個樣本，一個樣本，一個樣本，XY(XY)()12t(m+n2)11s+pmn(m1)s2+(n1)s2s2=12 11m22N(,)2n122222mn 1+2可加性22(XY)()1222+1+21+22212+(m1)s2+(n1)s2s2=12sp設(shè)p設(shè)(XY)11mmnp12n是取自正態(tài)總體22的一個樣本，XYX與相互獨立，那么22 11212 2