高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練4

高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練4高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練4高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練4高考解答題專項訓(xùn)練(四)空間向量與立體幾何1．如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H.(1)求證：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．解：(1)證明：在正方形AMDE中，由于B是AM的中點，所以AB∥DE.又由于AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE.由于AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)由于PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，→P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，BC＝(1,1,0)．設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則→＝0，＝，·nABx0→即＝0，y＋z＝0.·nAF令z＝1，則y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則→→n·BC1sinα＝|cos〈n，BC〉|＝→＝2.|n||BC|π所以直線BC與平面ABF所成角的大小為6.設(shè)點H的坐標為(u，v，w)．由于點H在棱PC上，→→所以可設(shè)PH＝λPC(0<λ<1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)．所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.由于n是平面ABF的法向量，→所以n·AH＝0，即(0，－1,1)(2·λ，λ，2－2λ)＝0.2解得λ＝3，所以點H的坐標為4223，3，3.424所以PH＝32＋32＋－32＝2.2．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小．解：(1)證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形．則O為CD的中點，又H為BC的中點，所以O(shè)H∥BD，又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.由于BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)設(shè)AB＝2，則CF＝1.在三棱臺DEF-ABC中，G為AC的中點，1由DF＝2AC＝GC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，所以DG∥FC.又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中點，所以AB＝BC，GB⊥GC，所以GB，GC，GD兩兩垂直．以G為坐標原點，建立以以下列圖的空間直角坐標系G-xyz.所以G(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，D(0,0,1)．可得H2，2，0，F(xiàn)(0，2，1)．22→→故GH＝2，2，0，GF＝(0，2，1)．22設(shè)n＝(x，y，z)是平面FGH的法向量，→＝0，x＋y＝0，·nGH可得則由→2y＋z＝0.＝0，·nGF可得平面FGH的一個法向量n＝(1，－1，2)．→→由于GB是平面ACFD的一個法向量，GB＝(2，0,0)，→→GB·n21所以cos〈GB，n〉＝→＝22＝2.|GB|·|n|所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°.3．(2019湖·北要點中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)等邊△ABC的邊長為3，點D，ADCE1分別是AB，AC上的點，且知足DB＝EA＝2(如圖①)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的地址，使二面角A1-DE-B成直二面角，連接A1B，A1C(如圖②)．(1)求證：A1D⊥平面BCED；(2)在線段BC上可否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明原因．解：(1)證明：題圖①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.進而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3.故得AD2＋DE2＝AE2，AD⊥DE，BD⊥DE.∴題圖②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角，又二面角A1-DE-B為直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D為坐標原點，以射線DB、DE、DA1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，過P作PH∥DE交BD于點H，設(shè)PB＝2a(0≤2a≤3)，則BH＝a，PH＝3a，DH＝2－a，易知A1(0,0,1)，P(2－a，3a,0)，E(0，3，0)，→所以PA1＝(a－2，－3a,1)．由于ED⊥平面A1BD，→所以平面A1BD的一個法向量為DE＝(0，3，0)．由于直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，→→|PA1·DE|3a35所以sin60°＝→→＝4a2－4a＋5×3＝2，解得a＝4.|PA1||DE|5∴PB＝2a＝2，知足0≤2a≤3，切合題意．所以在線段BC上存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為560°，此時PB＝2.4．(2019·河北衡水中學(xué)、河南頂級名校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AB＝AA1，過AA1的平面分別交BC，B1C1于點D，D1.(1)求證：四邊形ADD1A1為平行四邊形；(2)若AA1⊥平面ABC，D為BC的中點，E為DD1的中點，求二面角A-C1E-C的余弦值．解：(1)證明：由于AA1∥BB1，AA1?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，所以AA1∥平面BCC1B1.又由于AA1?平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面BCC1B1＝DD1，所以AA1∥DD1.由于平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ADD1A1＝AD，平面A1B1C1∩平面ADD1A1＝A1D1，所以AD∥A1D1.所以四邊形ADD1A1為平行四邊形．(2)由于D為BC的中點，AC＝AB，所以AD⊥BC.由于AA1∥DD1，AA1⊥平面ABC，所以DD1⊥平面ABC，進而DD1⊥AD.又DD1∩BC＝D，所以AD⊥平面BCC1B1.分別以DA，DB，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，以以下列圖．設(shè)AC＝BC＝AB＝AA1＝2，→→則A(3，0,0)，E(0,0,1)，C1(0，－1,2)，AE＝(－3，0,1)，C1E＝(0,1，－1)．設(shè)平面AC1E的法向量為n＝(a，b，c)，→AE·n＝0，得－3a＋c＝0，由b－c＝0，→C1E·n＝0，取c＝3，得n＝(1，3，3)．→由AD⊥平面BCC1B1，得平面CC1E的一個法向量為DA＝(3，0,0)，→→DA·n37所以cos〈DA，n〉＝→＝7×3＝7，|DA|·|n|又易知二面角A-C1E-C為銳二面角，7故二面角A-C1E-C的余弦值為7.5．(2019·天津十二校聯(lián)考)如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝26，DE＝36.(1)求證：面ACE⊥面BED；(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；(3)在線段AF上可否存在點M，使得二面角M-BE-D的大小為AM60°？若存在，求出AF的值；若不存在，說明原因．解：(1)證明：由于平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE?平面ADEF，DE⊥AD，所以DE⊥平面ABCD.又由于AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又由于DE∩BD＝D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)由于DE⊥DC，DE⊥AD，AD⊥DC，所以建立空間直角坐標系D-xyz以以下列圖．則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0,26)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，→→→所以CA＝(3，－3,0)，BE＝(－3，－3,36)，EF＝(3,0，－6)．設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x1，y1，z1)．→n·BE＝0，則→n·EF＝0，－3x1－3y1＋36z1＝0，即3x1－6z1＝0，令x1＝6，則y1＝26，z1＝3，則n＝(6，26，3)．→→－36CA·n13所以cos〈CA，n〉＝＝3→2×39＝－13.|CA|·|n|所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為1313.(3)存在．點M在線段AF上，設(shè)M(3,0，t)，0≤t≤26.→→則BM＝(0，－3，t)，BE＝(－3，－3,36)，設(shè)平面MBE的法向量為m＝(x2，y2，z2)，→m·BM＝－3y2＋tz2＝0，則→m·BE＝－3x2－3y2＋36z2＝0，令y2＝t，得m＝(36－t，t,3)，→→|96－6t|＝1，〈，·〉|＝|mCA|＝|cosmCA→×－22236t|m|·|CA|32整理得：2t2－66t＋15＝0，56解得t＝2或t＝2(舍)，故在線段AF上存在點M，使得二面角M-BE-D的大小為60°，此AM1時AF＝4.6．(2019·廣州模擬)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，G為BD的中點，點R在線段BRBH上，且RH＝λ(λ>0)．現(xiàn)將△AED，△CFD，△DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，C重合于點B(該點記為P)，如圖2所示．(1)若λ＝2，求證：GR⊥平面PEF；(2)可否存在正實數(shù)λ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值2為5？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明原因．解：(1)證明：由題意，可知PE，PF，PD三條直線兩兩垂直．PD⊥平面PEF.在圖1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，G為BD的中點，則EF∥AC，GD＝GB＝2GH.PRBRDG在圖2中，∵RH＝RH＝2，且GH＝2，∴在△PDH中，GR∥PD.GR⊥平面PEF.(2)存在．由題意，分別以PF，PE，PD所在直線為x軸，y軸，z軸建立以以下列圖的空間直角坐標系P-xyz.設(shè)PD＝4，則P(0,0,0)，F(xiàn)(2,0,0)，E(0,2,0)，D(0,0,4)，∴H(1,1,0)．BRPR∴RH＝RH＝λ，→→λ，λ，0.∴PR＝λPH，∴R1＋λ1＋λ1＋λ→λ，－λ，0－1＋λ1＋λ＝2＋λλ，0.，－1＋λ1＋λ→→EF＝(2，－2,0)