第3章-有限變形

-第3章，有限變形＜第3章*限變形§3.1有限變形這時說的變形，除連續(xù)性條件外，沒有其余任何條件。小變形：小位移，小轉(zhuǎn)動，小應(yīng)變，有限變形：大位移，大轉(zhuǎn)動，大應(yīng)變對于一個微小六面體：小變形下變?yōu)橐粋€平行六面體有限變形下仍變?yōu)橐粋€平行六面體這一條件不變變形幾何學(xué)方面來研究變形四個問題：1） 記錄2） 什么辦法來描述3） 怎么度量4） 有沒有辦法將變形分解§3.2物體的構(gòu)形和坐標(biāo)系物體：連續(xù)介質(zhì)，變形前用氣代表，變形后物體用K代表氣：物體，物質(zhì)點的集合，被始構(gòu)形（materialconfiguration）；K:變形后的物體,現(xiàn)時構(gòu)形（spatialconfiguration），P:物質(zhì)點物質(zhì)點在空間所占的位置。O-t時刻物質(zhì)點在空間所占的位置。O-t時刻nX田初始坐標(biāo)系現(xiàn)時坐標(biāo)系o-xxx初始構(gòu)形123現(xiàn)時構(gòu)形構(gòu)形：每一瞬時與物質(zhì)點對應(yīng)的空間點的集合。t=。瞬時，初始構(gòu)形 K0K0:初始構(gòu)形，X點的坐標(biāo)（Xk）K:現(xiàn)時構(gòu)形，（瞬時t的構(gòu)形），x點的坐標(biāo)（x&）全部采用直角坐標(biāo)系§3.3描寫物體運動和變形的方法.Lagrange描述法用物質(zhì)坐標(biāo)X.作自變量（描述物體的運動和變形）研究物質(zhì)點在不同時刻所對應(yīng)的空間點（著眼點：跟蹤物質(zhì)點運動狀況）.Euler描述法用空間坐標(biāo)x作自變量（描述物體的運動和變形）k

研究空間點x處對不同時刻流徑這一空間的物質(zhì)點（著眼點：跟蹤在一個空間點上，不同時刻對應(yīng)的物質(zhì)點）（前者跟蹤同一個人，不同晚上睡不同的床位，后者跟蹤同一張床，不同晚上由不同的人去睡）位移點：u（其中d不隨時間而變，X也與t無關(guān)）速度和加速度：分兩種表1） Lagrange法2） Euler法：（研究述方法流體的流動等）流場述方法流體的流動等）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)二局部導(dǎo)數(shù)+遷移導(dǎo)數(shù)§3.4變形梯度物體的有限變形的研究，離不開一點的領(lǐng)域，.或取一個線元。變形前線元：PQ=dX—變形后線元：pq=物體的有限變形的研究，離不開一點的領(lǐng)域，.或取一個線元。變形前線元：PQ=dX—變形后線元：pq=dx=dXtdx經(jīng)歷了一個長度的變化和方向的變化（它們的量都可能是很大的）1）Lagrange法：坐標(biāo)Xk 自變量變形后dx（方向、長度）P點：%=%變形前金（方向、長度）（稱為“物質(zhì)”的理由是物質(zhì)坐標(biāo)下的）。F（稱為“物質(zhì)”的理由是物質(zhì)坐標(biāo)下的）。FkKq點：x+dx=x(X+dX,t)求dx:&廣寸虬表示和dX的關(guān)系（可見亡典要性）K Kdx _稱為物質(zhì)變形梯度張量FdXKdx簡寫————xdX k,K=FdX叫”//變形前后線元之間的關(guān)系（包含了長度和方向）⑴下面驗證F是-個二階張量即F，=q-F-QtF為二階張量，關(guān)系到兩個坐標(biāo)系，稱為兩點張量。

F對應(yīng)于一個線性變換，（從（*）式看），包含了方向和長度的變換。由此可見，F(xiàn)包含了全部的有限變形信息。F=冥=Gradx（所以稱為變形“梯度”）cXdx=~CX^匕⑤EK（各種不同的寫法）K2）Euler法：用空間坐標(biāo)七自變量，t作參變量。P點（與〃對應(yīng)的物質(zhì)點）：Xk=Xk楫,t）己點（與q對應(yīng)的物質(zhì)點）：Xk+dXK=Xk（x^+dx^,t）dX=^^-dx（知道現(xiàn)在線元，倒回去查原來的線元）KCx kk對應(yīng)于一個由dx的線性變換。k空間變形梯度張量：FT（以空間坐標(biāo)為自變量）其實，F(xiàn)與F-1互逆，所以以F-1定義。§3.5變形張量回顧變形梯度張量：F,dx=FdX包含了全部信息變形張量只研究其長度改變的信息（不包含方向改變）1） Lagrange描述法：XK作為自變量變形前dX的長度dL:（dL）2=dXK-dX《變形后dx的長度dl:（dl）2=dx-dx=6dx-dxkkklkl上述dXK應(yīng)該是已知的，dxk可求出的。則變形張量C（稱為Green變形張量）C為正定的（（de）220）Ckl=氣代仁L—C為對稱張量。已知變形梯梯度張量可求出變形張量。通過C可直接算出長度的變化（優(yōu)點）。2） Euler描述法：x.作為自變量變形后的長度dl:（dl）2=dxk-dxk（作為已知的）變形前的長度dL:Cauchy變形張量B-1通過變形梯度張量可求出變形張量?！?.6變形梯度張量的極分解變形梯度張量F。（若）F是一個可逆張量，即F-1存在，則F可寫為：F=R-U或F=V-R右極分解 左極分解上述分解存在且唯一的，R是正常正交張量，表示轉(zhuǎn)動，所以記為R,U和V是對稱、正定張量。1.右極分解的證明若F=R-U成立，且R為正交張量，U為對稱正定張量。則FtF=（U-Rt）（R-U）=U-U又FtF=C為正定的，對稱軸，由F可找到U，且U為正定、對稱的。又R=F-U-1R為正交張量。2.右極分解的唯一性設(shè)F=R-U=R'?U?U'=U，由此可推得R'=R3.左右極分解中的R是相同的。F=RU又F=V-R*上式為一右極分解，因為右極分解是唯一的，則R*=R同時由上式可得：U:右伸長張量V：左伸長張量U和V是相似張量。則V=RURt§3.7Lagrange標(biāo)架和Euler標(biāo)架通過這兩個標(biāo)架的學(xué)習(xí)了解R,U,V的幾何意義。dx=F-dX F相當(dāng)于一個變換。變形后線元；變形前線元1.右極分解將dX先進行U變換，再進行R變換。U正定對稱二階張量，???對稱張量，存在三個互相垂直的主方向，M以（a=1,2,3）（???正定）對應(yīng)有三個主值（非負(fù)）Lagrange標(biāo)架：M「M2,M3作為基矢第一步：U?dX=AM?M?dXdX=dXM也按Lagrange標(biāo)架分解。第二步：F?dX=R（U?dX）即 dx=A（）dXRM又 dx=AdXm則：ma=R'Ma （變換后仍為矢量）正交張量：有體內(nèi)積性質(zhì)，即，有Ma為單位矢量，正交變換后的ma仍為單位矢量，但方向改變，且Ma仍為三個互為正交的。m三個相垂直的方向 Euler標(biāo)架根據(jù)前面兩步可知：U右伸長張量，R轉(zhuǎn)動張量。2.左極分解第一步：R-dX=RdX-M（保內(nèi)性質(zhì)）=dXm （長度不變，但投影到Euler標(biāo)架上）第二步：V-RdX=?a令V=RURt=R-AM0M-RtEuler標(biāo)架是V的三個主方向，以m,m2,m3作為基矢。設(shè)V=Xm0m則*（a）=A（a）???u和V主方向不同，主值相等。（「.U和V是相似張量）兩個極分解是同樣的結(jié)果，只是伸長與轉(zhuǎn)動的順序不同。Lagrange標(biāo)架：U主方向MaEuler標(biāo)架：V的主方向ma既不固定在空間，也不固定在物體上，由變形來確定的標(biāo)架。e,e,e與E,E,E是分別固定在空間與物體上的。1 2 3IIIIII§3.8有限變形的應(yīng)變張量F,C,B,U,V已學(xué)過不是應(yīng)變張量。小變形的應(yīng)變張量應(yīng)變定義：一廠^=入—1,I-1<<Il 0 00Hill研究上述定義有三個含義：X的遞增函數(shù)（變形增加，則應(yīng)變增加）X=1時，應(yīng)變=0應(yīng)變對X的導(dǎo)數(shù)=1 （X=1時）根據(jù)上述三條，推廣Hill應(yīng)變張量（有限變形）：f（X1）,f（X2）,f（氣）為￡標(biāo)架中的主應(yīng)變，主應(yīng)變是X1,X2,X3的函數(shù)。條件：a） f（X）是X的遞增函數(shù)b） X=1時，f（X）=0c） f'（X）=1，當(dāng)X=1理由，當(dāng)是小變形時，可與原來的理論相通。

Seth應(yīng)變張量：fS）=］（人2n—1）n取任意數(shù)滿足Hill條件。InGreen應(yīng)變張量：n=1工程應(yīng)變張量：n=—對數(shù)應(yīng)變張量：n=0fn)=fn)=inx（8=j牛推廣）

1/SwaingerSwainger應(yīng)變張量；n=――2Almansi應(yīng)變張量：n=-1有限變形中，應(yīng)變的定義并不明確都可用，到底用哪一個好?§3.9Green有限變形中，應(yīng)變的定義并不明確都可用，到底用哪一個好?§3.9Green應(yīng)變張量和Almansi應(yīng)變張量線元長度公式Lagrange描述法:Euler線元長度公式Lagrange描述法:Euler描述法：1.Green應(yīng)變張量：（也叫做Lagrange應(yīng)變張量）采用Lagrange描述法。EKLEKL=2(氣，廣,廣5KL)Green應(yīng)變張量分量2.Almansi應(yīng)變張量（也叫做Euler應(yīng)變張量）采用Euler描述法Almansi應(yīng)變張量分量§3.102.Almansi應(yīng)變張量（也叫做Euler應(yīng)變張量）采用Euler描述法Almansi應(yīng)變張量分量§3.10用位移表示的Green應(yīng)變張量和Almamsi應(yīng)變張量位移矢:Lagrange描述法令物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐則e=5E故對Xk求導(dǎo)：兩邊乘5Mk同樣，可得對于微小變形:標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)移張量UK-氣5Lk+DkM,K "l,KIMMK1,8司=^（u,,+u,,）兩者沒有區(qū)力別，一般用Lagrange描述法是一對稱應(yīng)變張量，有6個應(yīng)變分量（三個線應(yīng)變，三個角應(yīng)變）是一對稱應(yīng)變張量，有6個應(yīng)變分量（三個線應(yīng)變，三個角應(yīng)變）在有限變形中，應(yīng)變張量也是對稱的，也有6個應(yīng)變分量，但不是直接對應(yīng)3個線應(yīng)變和3個角應(yīng)變，要通過一定的計算才能得出對應(yīng)值。(參考：B.B.諾沃日洛夫：非線性彈性力學(xué)基礎(chǔ))§3.11變形協(xié)調(diào)方程給定應(yīng)變張量分量：E或e—?-^u在線彈性理論中，有生文南方程(6個協(xié)調(diào)方程)在有限變形中：變形協(xié)調(diào)方程：f(cq=0Green變形張量：又5x=8(5)x =8(xX)x =CXkl k,K krrl k,K kr r,P P，/ k,K KP P，/則：2(CKL,M+CKM，廣CM,K)=CKPXP,"lM兩邊乘以XSmXKmxrs，有艮'：2*Sm^Km^Ckl,M*CKM,L LM,k"r,S"r,LM定義：第二類Christoffel符號則：Xr,LM=YIm=,S再求一次偏導(dǎo)數(shù)：則：x =[rsrt+(rt)]xr,LMN LMSN LM,Nr,T又x=[rsrt+(rt)]xr,LNM LNSM LN,Mr,T在歐幾里德空間中，應(yīng)有：則上rsrt~rsrt+(rt)-(rt)=0LMSNLNSMLM,N LN,M簡記為：r；mn=0稱為變形協(xié)調(diào)條件(充分必要的)稱為第二類Riemann Christoffel張量(4階張量)第一類Riemann Christoffel張量：RKLMN=CKTR；MN=0也是變形協(xié)調(diào)的充分必要條件。81個協(xié)調(diào)方程中只有6個是獨立的(為什么只有6個， 其具有對稱性)RklmN的對稱性質(zhì)：RKLMNRMNKL LKMNKLMN，"KLMN KLMN§3.12體元與面元的變化A、B、C三方向變形前的線元分別為：dXa,dXb,dXC

變形前體積:變形后體積：令網(wǎng)“xO則：史=detF=JJ豐0,^dk /I八―-（以前設(shè)：f正定，可逆，這里得證）。面積變化 變形前體積原始面積矢dA=NdA（變形前）其中任一線元dX，其高與面積dA構(gòu)成初始體積現(xiàn)時面積矢da=n-da（變形后）其中任一線元dx，其高與面積