用lingo求解線性規(guī)劃問題

用lingo求解線性規(guī)劃問題中國石油大學(xué)勝利學(xué)院程兵兵摘要食物營養(yǎng)搭配問題是現(xiàn)代社會中常見的問題，其最終的目的是節(jié)省總費用.本文通過對營養(yǎng)問題的具體剖析.構(gòu)建了一般的線性規(guī)劃模型。并通過實例應(yīng)用Ling。數(shù)學(xué)軟件求解該問題.并給出了價值系數(shù)靈敏度分析，得出蔬菜價格的變動對模型的影響.關(guān)鍵詞線性規(guī)劃，lingo,靈敏度分析。一、問題重述與分析營養(yǎng)師要為某些特殊病人擬訂一周的菜單，可供選擇的蔬菜及其費用和所含營養(yǎng)成分的數(shù)量以及這類病人每周所需各種營養(yǎng)成分的最低數(shù)量如下表1所示。有以下規(guī)定：一周內(nèi)所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。問題一：若病人每周需要14份蔬菜，問選用每種蔬菜各多少份，可使生活費用最小.問題二：當市場蔬菜價格發(fā)生怎樣波動時，所建模型的適用性。表1所需營養(yǎng)和費用蔬菜每份蔬菜所含營養(yǎng)成分費用（元/份）鐵（mg）磷(mg)VA（單位）VC(mg)煙酸（mg）青豆0。451041580。31.5胡蘿卜0.4528906530。351.5花菜1。05502550530。62.4卷心菜0。42575270.150。6甜菜0.5221550。251。8土豆0.57523580。81.0每周營養(yǎng)最低需求量6.0325175002455。0營養(yǎng)搭配是一個線性規(guī)劃問題，在給定蔬菜的情況下，要求菜單所需的營養(yǎng)成分必須達到要求，并在此條件下求出什么樣的搭配所花費的費用最少.第一個要求是滿足各類營養(yǎng)的充足，根據(jù)表中數(shù)據(jù)列出不等式。第二要求為問題一中，蔬菜的份數(shù)必須為14,第三要求為在一周內(nèi)，卷心菜不多于2份，其他不多于4份，根據(jù)以上條件列出各類蔬菜份數(shù)的限定條件，并可表示出費用的表達式.對于第二問，就是價值系數(shù)的變化對總費用的影響，模型的適用范圍。三、模型假設(shè)第一，假設(shè)各蔬菜營養(yǎng)成分保持穩(wěn)定，滿足題干要求。第二，假設(shè)各蔬菜價格在一定時間內(nèi)保持相對穩(wěn)定。第三，假設(shè)各類蔬菜供應(yīng)全部到位，滿足所需要求量.第四，假設(shè)所求出最優(yōu)解時不要求一定為整數(shù)。四、符號約定Z代表目標函數(shù)，此題即為費用。,為價值系數(shù)，此題即為每份蔬菜的價格。下標/代表蔬菜的種類。X,為決策變量，表示各種蔬菜的數(shù)量。^為最低限定條件，表示蔬菜最低營養(yǎng)需要。五、模型建立根據(jù)以上各種假設(shè)和符號約定，建立模型如下。所求的值就是min,也就是最優(yōu)化結(jié)果.i=1ax〉bSoEx^=14Soi=1x,x,x,x<4,x2 3 5 6 4六、模型求解根據(jù)模型可以列出以下方程：目標函數(shù)：minZ=1.5大x1+1。5*x2+2.4*x3+0。6*x4+1.8*x5+1。0大x6；約束條件：0o45大x1+0.45大x2+1.05大x3+0。4大x4+0。5大x5+0。5大x6>6.0;10大x1+28*x2+50*x3+25大x4+22*x5+75*f>325;415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235大x6〉17500；8*x1+3大x2+53*x3+27大x4+5大x5+8*x6>245；0.3大x1+0。35*x2+0。6大x3+0。15大x4+0.25*x5+0.8*x6>5.0;x1+x2+x3+x4+x5+x6=14；x4〈=2；x1<=4；x2<=4；x3〈=4；x5〈=4；x6<=4；

得到的最終運行結(jié)果見附錄。根據(jù)ling。程序結(jié)果可得出下表2表2lingo運行結(jié)果VariableValueReducedCostX14。000X21.700X32.300X42。000X500。2640000X64.000Objectivevalue:19。27000七、結(jié)果分析問題一解答目標函數(shù)值為19。27,即若病人每周需要14份蔬菜，生活費用最小為19。27元。此時各蔬菜份數(shù)如下表3:表3蔬菜的份數(shù)蔬菜青豆胡蘿卜花菜卷心菜甜菜土豆份數(shù)41.72。32。004。02。問題二解答當市場蔬菜價格發(fā)生怎樣波動時，所建模型的適用性。Ling。里面可以直接求出目標函數(shù)系數(shù)和約束條件右端常數(shù)項的靈敏度分析，結(jié)果見附錄.分析如下表4:表4價值系數(shù)的變化結(jié)果VariableCurrentCoefficientAllowableIncreaseAllowableDecreaseX11。500.0900InfX21。500.27500。10X32。406.60000。90X40。601。3320InfX51。800000Inf0。264X61。0000000。5900000Inf分析如下：目標函數(shù)x1原來的費用系數(shù)為1.50,允許增加0.09,允許減少到無窮大。說明當它在［0,1。50+0。09］=［0,1.59］范圍變化時，最優(yōu)基保持不變，但價值系數(shù)發(fā)生了改變，而約束條件不變，所以最優(yōu)值發(fā)生變化。即此時青豆價格在0到1.6之間時，總費用最優(yōu)基不變，最小費用發(fā)生變化。目標函數(shù)x2原來的費用系數(shù)為1.50,允許增加0.275，允許減少0.1。說明當它在［1。4,1.775］范圍變化時，最優(yōu)基保持不變，但價值系數(shù)發(fā)生了改變，而約束條件不變,所以最優(yōu)值發(fā)生變化.即此時胡蘿卜價格在1.4到1.775之間時，總費用最優(yōu)解不變，最小費用發(fā)生變化。同理可知，x3在［1.5,9］,x4在［0,1。932］,x5在［1。536, ］,x6在［0,1.59］范圍內(nèi)最優(yōu)基不變，但由于價值系數(shù)發(fā)生改變，最優(yōu)解發(fā)生改變。以上為問題二答案，結(jié)果列表5如下：表5價值系數(shù)變化范圍蔬菜范圍青豆[0,1.6]胡蘿卜[1。4,1.775]花菜[1。5,9]卷心菜[0,1.932]甜菜[1。536,]土豆[0,1。59]八、 模型的改進和推廣模型中使用的是軟件lingo求解線性規(guī)劃問題，實際上我們還可以用圖解法求解線性規(guī)劃問題,，單純形法，此類方法會使得整個模型更加直觀明了。但linggo最為簡便，分析更加輕松，節(jié)省時間。在該問題的求解中，考慮的方面較為簡略，還有很多因素可以考慮。其中的決策變量，常數(shù)項的靈敏度分析也可簡單讀出，此模型還可用于產(chǎn)品的開發(fā)與組建，例如人工奶粉，人工營養(yǎng)液等等。九、 模型的評價優(yōu)點：建立的模型的原理簡單易懂，lingo編程簡單，時間很快?？梢浦残院?，對于類似的營養(yǎng)搭配問題都可以根據(jù)此模型來求解.缺點：這種模型中要將變量的值一一輸入，對于數(shù)值比較大且較多的題目而言，工作量會很大，應(yīng)尋找更優(yōu)的解決方案。參考文獻牛映武.運籌學(xué).西安：西安交通大學(xué)出版社，19945.魏國華，王芬。 線性規(guī)劃。北京：高等教育出版社，1989郎艷懷，經(jīng)濟數(shù)學(xué)方法教程。上海：上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2004袁新生，邵大宏，郁時煉，LING。和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：科學(xué)出版社，2007姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2006附錄：運行結(jié)果1Globaloptimalsolutionfound.用ling。求解線性規(guī)劃問題Objectivevalue:Infeasibilities：Totalsolveriterations:19Objectivevalue:Infeasibilities：Totalsolveriterations:0。0000002LPModelClass：LPTotalvariables:12Nonlinearvariables：0Integervariables:0Totalconstraints:13Nonlinearconstraints：0Totalnonzeros:48Nonlinearnonzeros：0VariableValueReducedCostX14.0000000.000000X21.7000000。000000X32.3000000。000000X42.0000000.000000X50。0000000。2640000X64.0000000。000000F0。96533330.000000A0.0000000。000000B0.0000000。000000C0.0000000.000000D0。0000000.000000E16.910930。000000RowSlackorSurplusDualPrice119.27000—1.00000021.7800000.00000030。0000000.00000046525。5000。00000050.000000—0.1800000E—0160。0000000。00000070.000000—1.44600080.0000001。33200090.0000000。9000000E—01102.3000000.000000111。7000000.000000124。0000000.000000130。0000000。5900000運行結(jié)果2：Current Allowable AllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX11。5000000.9000000E—01INFINITYX21.5000000.27500000.1000000X32.4000006.6000000.9000000X40。60000001.332000INFINITYX51.800000INFINITY0.2640000X61。0000000.5900000INFINITYF0.0000000.33415840.000000A0。000000INFINITY0。000000B0。000000INFINITY0。000000C0.000000INFINITY0。000000D0.000000INFINITY0。000000E0。0000000.0000000.000000RighthandSideRanges：Current Allowable AllowableRowRHSIncreaseDecrease26.0000001。780000INFINITY3325.0000396。350072.40000417500.006525。500INFINITY5245。0