01 第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——01第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第九章重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

與定積分類似，二重積分的概念也是從實踐中抽象出來的，它是定積分的推廣，其中的數(shù)學思想與定積分一樣，也是一種“和式的極限〞.所不同的是：定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是一個區(qū)間；而二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，積分范圍是平面上的一個區(qū)域.它們之間存在著密切的聯(lián)系，二重積分可以通過定積分來計算.

分布圖示

★曲頂柱體的體積

★非均勻平面薄片的質(zhì)量★二重積分的概念★二重積分的性質(zhì)

★例1★例4

★內(nèi)容小結(jié)★習題9-1★返回

★二重積分的中值定理★例2★例3★例5★課堂練習

內(nèi)容要點

一、二重積分的概念

引例1求曲頂柱體的體積；引例2求非均勻平面薄片的質(zhì)量二重積分的定義二、二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)1—性質(zhì)6

二重積分與定積分有類似的性質(zhì).

性質(zhì)1

??[?f(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d?.

DDD性質(zhì)2假使閉區(qū)域D可被曲線分為兩個沒有公共內(nèi)點的閉子區(qū)域D1和D2,則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.

DD1D2這特性質(zhì)說明二重積分對積分區(qū)域具有可加性.

性質(zhì)3假使在閉區(qū)域D上,f(x,y)?1,?為D的面積,則

??1?d????d???.

DD這特性質(zhì)的幾何意義是:以D為底、高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積.

性質(zhì)4假使在閉區(qū)域D上,有f(x,y)?g(x,y),則

??f(x,y)d????g(x,y)d?.

DD特別地,有

??f(x,y)d????|f(x,y)|d?.

DD性質(zhì)5設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,?為D的面積,則

m????f(x,y)d??M?.

D這個不等式稱為二重積分的估值不等式.

例題選講

二重積分的性質(zhì)

例1不作計算，估計I?x22(xe??D2?y2)d?的值，其中D是橢圓閉區(qū)域：

ab解區(qū)域D的面積??ab?,在D上

?y22?1(0?b?a).

?0?x2?y2?a2,

?1?e0?ex由性質(zhì)6知??2?y22?ea,

d????ea,ab??22??De(x?y2)??De(x2?y2)d??ab?ea.

2

例2（E01）估計二重積分I???Dd?x?y?2xy?1622的值,其中積分區(qū)域D為矩形閉區(qū)

域{(x,y)|0?x?1,0?y?2}.

解?f(x,y)?1(x?y)?162,積分區(qū)域面積??2,

在D上f(x,y)的最大值M?111?(x?1,y?2),(x?y?0),最小值m?432?425故

22?I?0.4?I?0.5.54例3判斷

r?x?y?1??ln(x2?y2)dxdy(r?1)的符號.

解當r?|x|?|y|?1時，0?x2?y2?(|x|?|y|)2?1,

故lnx(2?y2)?0;

又當|x|?|y|?1時，ln(x2?y2)?0,于是

例4積分解

r?|x|?|y|?1??ln(x2?y2)dxdy?0.

??D331?x2?y2dxdy有怎樣的符號,其中D:x2?y2?4.

??D1?x2?y2dxdy

?x2?y2?1??31?x2?y2dxdy?1?x2?y2?3??31?x2?y2dxdy?3?