2023中考數(shù)學(xué)壓軸題精析11

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11．（2023?XX鹽城）（此題總分值12分）如圖，已知一次函數(shù)y=－x+7與正比

4

例函數(shù)y=3x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y

軸．

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以一致速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都中止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

y??y=-x+7C?x=3

（1）根據(jù)題意，得?4，解得?y=4，∴A(3，4).?

?P?y=3x

令y=－x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB=8，得1111

(3+7)×4－×3×(4－t)－t(7－t)－4=82222t×整理,得t2－8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)，4≤t＜7.

AlBORxyCPlABORx1

由S△APR=×(7－t)×4=8，得t=3（舍）

2

∴當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8.②當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.此時(shí)直線l交AB于Q。∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7－t

當(dāng)AP=AQ時(shí)，（4－t）2+32=2(4－t)2,整理得，t2－8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)當(dāng)AP=PQ時(shí)，（4－t）2+32=(7－t)2,整理得，6t=24.∴t=4(舍去)當(dāng)AQ=PQ時(shí)，2（4－t）2=(7－t)2整理得，t2－2t－17=0∴t=1±32(舍)當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t＜7.此時(shí)直線l交AO于Q。過(guò)A

作AD⊥OB于D,則AD=BD=4.

設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t－4，AP=7－t.AEAC5

由cos∠OAC=AQ=AO，得AQ=3(t－4)．541

當(dāng)AP=AQ時(shí)，7－t=3(t－4)，解得t=8.1

當(dāng)AQ=PQ時(shí)，AE＝PE，即AE=AP

21

得t－4=2(7－t)，解得t=5.

OyCPAlQBORxyClPEQAFBRDx當(dāng)AP=PQ時(shí)，過(guò)P作PF⊥AQ于F115AF=2AQ=2×3(t－4).

AF33在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AP＝5，得AF＝5AP153226即2×(t－4)=×(7－t)，解得t=3543.41226

∴綜上所述，t=1或8或5或43時(shí)，△APQ是等腰三角形.

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一次函數(shù)，二元一次方程組，勾股定理，三角函數(shù)，一元二次方程，等腰三角形。

4

（1）聯(lián)立方程y=－x+7和y=3x即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，今y=－x+7=0即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）①只要把三角形的面積用t表示，求出即可。應(yīng)注意分P在OC上運(yùn)動(dòng)和P在CA上運(yùn)動(dòng)兩種狀況了。

②只要把有關(guān)線段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的條件時(shí)t的值即可。應(yīng)注意分別探討P在OC上運(yùn)動(dòng)（此時(shí)直線l與AB相交）和P在CA上運(yùn)動(dòng)（此時(shí)直線l與AO相交）時(shí)AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的條件。

12、（2023?福州）已知，如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：

對(duì)稱．

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點(diǎn)；圖象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。專題：計(jì)算題；代數(shù)幾何綜合題。

分析：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)；把A的坐標(biāo)代入直線l即可判斷A是否在直線上；

（2）根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱，得出AH=AB=4，

過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，求出AC和HC的長(zhǎng)，得出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；

（3）解方程組，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)

稱，得出HN+MN的最小值是MB，過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：解：（1）依題意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），答：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（1，0）．

證明：∵直線l：，

當(dāng)x=﹣3時(shí)，，

∴點(diǎn)A在直線l上．

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（2）解：∵