人版初三年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和經(jīng)典習(xí)題含答案解析

./二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地,形如〔是常數(shù),的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí),隨的增大而增大；時(shí),隨的增大而減?。粫r(shí),有最小值．向下軸時(shí),隨的增大而減??；時(shí),隨的增大而增大；時(shí),有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí),隨的增大而增大；時(shí),隨的增大而減?。粫r(shí),有最小值．向下軸時(shí),隨的增大而減??；時(shí),隨的增大而增大；時(shí),有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí),隨的增大而增大；時(shí),隨的增大而減??；時(shí),有最小值．向下X=h時(shí),隨的增大而減?。粫r(shí),隨的增大而增大；時(shí),有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí),隨的增大而增大；時(shí),隨的增大而減?。粫r(shí),有最小值．向下X=h時(shí),隨的增大而減??；時(shí),隨的增大而增大；時(shí),有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上"值正右移,負(fù)左移；值正上移,負(fù)下移"．概括成八個(gè)字"左加右減,上加下減"．四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過(guò)配方可以得到前者,即,其中．六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí),隨的增大而減??；當(dāng)時(shí),隨的增大而增大；當(dāng)時(shí),有最小值．2.當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí),隨的增大而增大；當(dāng)時(shí),隨的增大而減小；當(dāng)時(shí),有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：〔,,為常數(shù),；2.頂點(diǎn)式：〔,,為常數(shù),；3.兩根式〔交點(diǎn)式：〔,,是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)⑴當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大；⑵當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大．一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對(duì)稱軸．〔同左異右b為0對(duì)稱軸為y軸3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái),決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系〔二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí),圖象與軸交于兩點(diǎn),其中的是一元二次方程的兩根．.②當(dāng)時(shí),圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí),圖象與軸沒有交點(diǎn).當(dāng)時(shí),圖象落在軸的上方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有；當(dāng)時(shí),圖象落在軸的下方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有．拋物線的圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,；二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是<>A.<2,－11>B.〔－2,7C.〔2,11D.〔2,－32.把拋物線向上平移1個(gè)單位,得到的拋物線是〔A.B.C.D.3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的<>4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號(hào);②當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;③④當(dāng)時(shí),的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是<>A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)〔-1,-3.2及部分圖象<如圖>,由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是〔Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則點(diǎn)在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7.方程的正根的個(gè)數(shù)為〔A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)8.已知拋物線過(guò)點(diǎn)A<2,0>,B<-1,0>,與軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A.B.C.或D.或二、填空題9．二次函數(shù)的對(duì)稱軸是,則_______。10．已知拋物線y=-2〔x+32+5,如果y隨x的增大而減小,那么x的取值范圍是_______.11．一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過(guò)點(diǎn)〔－1,2,②當(dāng)＜0時(shí),函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是〔只寫一個(gè)即可。12．拋物線的頂點(diǎn)為C,已知直線過(guò)點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則b=,c=。14．如圖,一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是16米,跨度是40米,在線段AB上離中心M處5米的地方,橋的高度是<π取3.14>.三、解答題：第15題圖15.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是,圖象經(jīng)過(guò)<1,-6>,且與軸的交點(diǎn)為<0,>.第15題圖<1>求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;<2>當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0?<3>當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點(diǎn)燃后,其上升高度h〔米和時(shí)間t〔秒符合關(guān)系式〔0<t≤2,其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算．這種爆竹點(diǎn)燃后以v0=20米/秒的初速度上升,〔1這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后,經(jīng)過(guò)多少時(shí)間離地15米？〔2在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi),判斷爆竹是上升,或是下降,并說(shuō)明理由.17.如圖,拋物線經(jīng)過(guò)直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線頂點(diǎn)為D.〔1求此拋物線的解析式；〔2點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使：5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料〔這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨噸．該建材店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn),準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷售量就會(huì)增加7.5噸．綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x〔元,該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y〔元．〔1當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷售量；〔2求出y與x的函數(shù)關(guān)系式〔不要求寫出x的取值范圍；〔3該建材店要獲得最大月利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？〔4小靜說(shuō)："當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),月銷售額也最大．"你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x〔分之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43<0≤x≤30>.〔1當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),學(xué)生的接受能力逐步減弱？〔2第10分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力是多少？〔3第幾分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？2、如圖,已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上.問(wèn)矩形DEFG的最大面積是多少?3、如圖,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始,沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始,沿著BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng).如果P,Q同時(shí)出發(fā),問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘△PBQ的面積最大?最大面積是多少?4、如圖,一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃,球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí),達(dá)到最大高度3.5米,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.<1>建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線的表達(dá)式;<2>該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米,在這次跳投中,球在頭頂上方0.25米處出手,問(wèn)：球出手時(shí),他跳離地面的高度是多少.5、如圖,要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,如果用50m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng),設(shè)它的長(zhǎng)度為xm.<1>要使雞場(chǎng)面積最大,雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？<2>如果中間有n<n是大于1的整數(shù)>道籬笆隔墻,要使雞場(chǎng)面積最大,雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少m？比較<1><2>的結(jié)果,你能得到什么結(jié)論？6、某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷售量m<件>與每件的銷售價(jià)x<元>滿足關(guān)系：m=140－2x.<1>寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;<2>如果商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤(rùn),每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？.二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題參考答案一,選擇題、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空題、9．10．＜-311．如等〔答案不唯一12．113．-8714．15三、解答題15．<1>設(shè)拋物線的解析式為,由題意可得解得所以<2>或-5<2>16．〔1由已知得,,解得當(dāng)時(shí)不合題意,舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后1秒離地15米．〔2由題意得,＝,可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),又拋物線開口向下,所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時(shí)間內(nèi),爆竹在上升．17．〔1直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A〔3,0,B〔0,－3．則解得所以此拋物線解析式為．〔2拋物線的頂點(diǎn)D〔1,－4,與軸的另一個(gè)交點(diǎn)C〔－1,0.設(shè)P,則.化簡(jiǎn)得當(dāng)＞0時(shí),得∴P〔4,5或P〔－2,5當(dāng)＜0時(shí),即,此方程無(wú)解．綜上所述,滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為〔4,5或〔－2,5．18．〔1=60〔噸．〔2,化簡(jiǎn)得：．〔3．紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn),材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元．〔4我認(rèn)為,小靜說(shuō)的不對(duì)．理由：方法一：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),x為210元,而對(duì)于月銷售額來(lái)說(shuō),當(dāng)x為160元時(shí),月銷售額W最大．∴當(dāng)x為210元時(shí),月銷售額W不是最大．∴小靜說(shuō)的不對(duì)．方法二：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),x為210元,此時(shí),月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí),月銷售額為18000元．∵17325＜18000,∴當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),月銷售額W不是最大．∴小靜說(shuō)的不對(duì)．二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、〔10≤x≤13,13＜x≤30；〔259；〔313.2、過(guò)A作AM⊥BC于M,交DG于N,則AM==16cm.設(shè)DE=xcm,S矩形=ycm2,則由△ADG∽△ABC,故,即,故DG=<16-x>.∴y=DG·DE=<16-x>x=-<x2-16x>=-<x-8>2+96,從而當(dāng)x=8時(shí),y有最大值96.即矩形DEFG的最大面積是96cm2.3、設(shè)第t秒時(shí),△PBQ的面積為ycm2.則∵AP=tcm,∴PB=<6-t>cm;又BQ=2t.∴y=PB·BQ=<6-t>·2t=<6-t>t=-t2+6t=-<t-3>2+9,當(dāng)t=3時(shí),y有最大值9.故第3秒鐘時(shí)△PBQ的面積最大,最大值是9cm2.4、解：<1>設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c.由圖知圖象過(guò)以下點(diǎn)：<0,3.5>,<1.5,3.05>.∴拋物線的表達(dá)式為y=－0.2x2+3.5.<2>設(shè)球出手時(shí),他跳離地面的高度為hm,則球出手時(shí),球的高度為h+1.8+0.25=<h+2.05>m,∴h+2.05=－0.2×<－2.5>2+3.5,∴h=0.2<m>.5、解：<1>依題意得雞場(chǎng)面積y=－∵y=－x2+x=<x2－50x>=－<x－25>2+,∴當(dāng)x=25時(shí),y最