2023線性代數(shù)試題與答案

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一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每題2分，共10分)

1．A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2．A，B是同階方陣，且，則

3．假使A與B等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。()4．若A,B均為n階方陣，則當(dāng)A?B時(shí)，A,B一定不相像。()

?1,?2,?3,?4?線性相關(guān)，則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。（）5．n維向量組?

二、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）

1．以下矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，則以下向量組中線性無關(guān)的是（）。（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設(shè)A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)33A?EE?A(A)(B)(C)(D)

4．設(shè)A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有n?m個(gè)線性無關(guān)解向量；

（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（）

（A）A與B相像（B）A?B，但|A-B|=0

大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)?。–）A=B（D）A與B不一定相像，但|A|=|B|

三、填空題（每題4分，共20分）

012?n?10。

1．nA?13A*?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______，。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關(guān)或3．向量組，，，

無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。

?1???2?1????3???4???,?,?R(A)Ax?b??，4．已知123是四元方程組的三個(gè)解，其中A的秩=3，

?4???4?2??3????4???4????，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=。5．設(shè)

四、計(jì)算以下各題（每題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

T??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)A???，求An。2.設(shè)，而

大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)！??x1?x2?ax3??1??x1?x2?2x3??1???x?ax?x?a2233.已知方程組?1有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5．A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）

求矩陣A的特征值；（2）A是否可相像對(duì)角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對(duì)稱矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，AB?BA是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)

論。

T2．設(shè)A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。

線性代數(shù)試題解答

一、

n?A??A）1．（F）（

2．（T）

?100??000?????A??010?B??010?????????000001????。3．（F）。如反例：，4．（T）（相像矩陣行列式值一致）5．（F）二、

1．選B。初等矩陣一定是可逆的。

?2，2．選B。A中的三個(gè)向量之和為零，顯然A線性相關(guān)；B中的向量組與?1，?3等價(jià),其秩為3，B向量組線性無關(guān)；C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線

性組合，C、D中的向量組線性相關(guān)。

2A3．選C。由A?A?5E?0??A?2E?3E??A?2E?(A?E)?3E，

2

大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)！1?1??A?2E??(A?E)3)。

4．選D。A錯(cuò)誤，由于m?n，不能保證R(A)?R(A|b)；B錯(cuò)誤，Ax?0的基礎(chǔ)解系含有n?R?A?個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，由于有可能R(A)?n?R(A|b)?n?1，

Ax?b無解；D正確，由于R(A)?n。

5．選A。A正確，由于它們可對(duì)角化，存在可逆矩陣P,Q，使得

PAP?1?diag(?1,?2,?,?n)?QBQ?1，因此A,B都相像于同一個(gè)對(duì)角矩陣。

n?1???1n!（按第一列展開）三、1．

12?353A3A2．3；3（=）

3．相關(guān)（由于向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。?1,?2,?4。由于?3?2?1??2，

A?|?1?2?4|?0。4．?1234??k?20?2?4?。由于R?A??3，原方程組的導(dǎo)出組的基

TT礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為?2??3?2?1，由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。5．a(chǎn)?6（R?A??2?A?0)四、

?1A?EB?A?B?(A?E)A。將A?E與A組成一???A?B?AB1．解法一：

?1(A?E|A)(E|(A?E)A)。個(gè)矩陣，用初等行變換求

?021121??100001??????332342??332342?????A?E|A?=??121122??(r1?r3)?121122??100001??100001??????03234?1??01122?2???r21121?21121?2?3r1,r3?r1?02?r3?0?r??????????????????????100001??100001?????01122?202322?2?????????rr?2r00132?500?1?3?25332????????????????

大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)！?001??100001?????B???103??010?103??32?5??r0132?5?2?r3?0??。?。故???????1A?EB?A?B?(A?E)A。??解法二：A?B?AB??001??021???101???????B?(A?E)?1A???103?(A?E)?1??332????1?1?3??????????????32?5?。?121??32?6?，因此??111?1????1?1?11?A???T??1?1?11?????111?1???，A2??4A，2．解：

An?(??T)(??T)?(??T)??(?T?)(?T?)?(?T?)?T???4?n?1??T???4?n?1A。

3．解法一：由方程組有無窮多解，得R(A)?R(A|b)?3，因此其系數(shù)行列式

1|A|?1?11a?12?0a1。即a??1或a?4。

當(dāng)a??1時(shí)，該方程組的增廣矩陣

??10??11?1?1???01???(A|b)??1?12?