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本文格式為Word版,下載可任意編輯——2023線性代數(shù)試題與答案大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)!2023線性代數(shù)期末試題及參考答案
一、判斷題(正確填T,錯(cuò)誤填F。每題2分,共10分)
1.A是n階方陣,??R,則有?A??A。()
?1?1?1AB?0(AB)?BA。()2.A,B是同階方陣,且,則
3.假使A與B等價(jià),則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。()4.若A,B均為n階方陣,則當(dāng)A?B時(shí),A,B一定不相像。()
?1,?2,?3,?4?線性相關(guān),則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。()5.n維向量組?
二、單項(xiàng)選擇題(每題3分,共15分)
1.以下矩陣中,()不是初等矩陣。
?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??(A)?2.設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān),則以下向量組中線性無關(guān)的是()。(A)?1??2,?2??3,?3??1(B)?1,?2,?3??1(C)?1,?2,2?1?3?2(D)?2,?3,2?2??3
?12(A?2E)?()A?A?5E?03.設(shè)A為n階方陣,且。則
11(A?E)(A?E)33A?EE?A(A)(B)(C)(D)
4.設(shè)A為m?n矩陣,則有()。
(A)若m?n,則Ax?b有無窮多解;
(B)若m?n,則Ax?0有非零解,且基礎(chǔ)解系含有n?m個(gè)線性無關(guān)解向量;
(C)若A有n階子式不為零,則Ax?b有唯一解;(D)若A有n階子式不為零,則Ax?0僅有零解。
5.若n階矩陣A,B有共同的特征值,且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則()
(A)A與B相像(B)A?B,但|A-B|=0
大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)?。–)A=B(D)A與B不一定相像,但|A|=|B|
三、填空題(每題4分,共20分)
012?n?10。
1.nA?13A*?A?2.A為3階矩陣,且滿足3,則=______,。
?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性(填相關(guān)或3.向量組,,,
無關(guān))的,它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。
?1???2?1????3???4???,?,?R(A)Ax?b??,4.已知123是四元方程組的三個(gè)解,其中A的秩=3,
?4???4?2??3????4???4????,則方程組Ax?b的通解為。
?2?31??A??1a1????503??,且秩(A)=2,則a=。5.設(shè)
四、計(jì)算以下各題(每題9分,共45分)。
?121??A??342????122??,求矩陣B。1.已知A+B=AB,且
T??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)A???,求An。2.設(shè),而
大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)!??x1?x2?ax3??1??x1?x2?2x3??1???x?ax?x?a2233.已知方程組?1有無窮多解,求a以及方程組的通解。
4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型
222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
5.A,B為4階方陣,AB+2B=0,矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)
求矩陣A的特征值;(2)A是否可相像對(duì)角化?為什么?;(3)求|A+3E|。
五.證明題(每題5分,共10分)。
1.若A是對(duì)稱矩陣,B是反對(duì)稱矩陣,AB?BA是否為對(duì)稱矩陣?證明你的結(jié)
論。
T2.設(shè)A為m?n矩陣,且的秩R(A)為n,判斷AA是否為正定陣?證明你的結(jié)論。
線性代數(shù)試題解答
一、
n?A??A)1.(F)(
2.(T)
?100??000?????A??010?B??010?????????000001????。3.(F)。如反例:,4.(T)(相像矩陣行列式值一致)5.(F)二、
1.選B。初等矩陣一定是可逆的。
?2,2.選B。A中的三個(gè)向量之和為零,顯然A線性相關(guān);B中的向量組與?1,?3等價(jià),其秩為3,B向量組線性無關(guān);C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線
性組合,C、D中的向量組線性相關(guān)。
2A3.選C。由A?A?5E?0??A?2E?3E??A?2E?(A?E)?3E,
2
大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)!1?1??A?2E??(A?E)3)。
4.選D。A錯(cuò)誤,由于m?n,不能保證R(A)?R(A|b);B錯(cuò)誤,Ax?0的基礎(chǔ)解系含有n?R?A?個(gè)解向量;C錯(cuò)誤,由于有可能R(A)?n?R(A|b)?n?1,
Ax?b無解;D正確,由于R(A)?n。
5.選A。A正確,由于它們可對(duì)角化,存在可逆矩陣P,Q,使得
PAP?1?diag(?1,?2,?,?n)?QBQ?1,因此A,B都相像于同一個(gè)對(duì)角矩陣。
n?1???1n!(按第一列展開)三、1.
12?353A3A2.3;3(=)
3.相關(guān)(由于向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù))。?1,?2,?4。由于?3?2?1??2,
A?|?1?2?4|?0。4.?1234??k?20?2?4?。由于R?A??3,原方程組的導(dǎo)出組的基
TT礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量,取為?2??3?2?1,由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。5.a(chǎn)?6(R?A??2?A?0)四、
?1A?EB?A?B?(A?E)A。將A?E與A組成一???A?B?AB1.解法一:
?1(A?E|A)(E|(A?E)A)。個(gè)矩陣,用初等行變換求
?021121??100001??????332342??332342?????A?E|A?=??121122??(r1?r3)?121122??100001??100001??????03234?1??01122?2???r21121?21121?2?3r1,r3?r1?02?r3?0?r??????????????????????100001??100001?????01122?202322?2?????????rr?2r00132?500?1?3?25332????????????????
大學(xué)生校園網(wǎng).努力打造的學(xué)生最實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)!?001??100001?????B???103??010?103??32?5??r0132?5?2?r3?0??。?。故???????1A?EB?A?B?(A?E)A。??解法二:A?B?AB??001??021???101???????B?(A?E)?1A???103?(A?E)?1??332????1?1?3??????????????32?5?。?121??32?6?,因此??111?1????1?1?11?A???T??1?1?11?????111?1???,A2??4A,2.解:
An?(??T)(??T)?(??T)??(?T?)(?T?)?(?T?)?T???4?n?1??T???4?n?1A。
3.解法一:由方程組有無窮多解,得R(A)?R(A|b)?3,因此其系數(shù)行列式
1|A|?1?11a?12?0a1。即a??1或a?4。
當(dāng)a??1時(shí),該方程組的增廣矩陣
??10??11?1?1???01???(A|b)??1?12?
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