給學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

12§６．３樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)

為由樣本推斷總體，要構(gòu)造一些合適的設(shè)X1X2Xn為總X的一個(gè)樣本樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該本的統(tǒng)計(jì)量 ＊數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的樣本統(tǒng)nX1X2,Xn為總X的一個(gè)樣n

１．樣本X

Xi

X2nX2

nn

２．樣本S2

n

(XiX1nn1nn(XXik４．樣本ｋ階原點(diǎn)矩 k

1

Xk ki1n i1５．樣本ｋ階

Bk

nnn

(XX)k,ki仍分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本i樣本（ｋ階）原點(diǎn)矩、樣本（ｋ階）中心矩E

k)E(

k)E(

k)111Akn

nn

XikkXik g(A,A,,

g(,

,,)６．順序統(tǒng)計(jì)

將樣本中的各分量按由小到大的次序排列X(1)X(2)X(n,則稱X(1X(2,X(n)樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)量X(i)稱為樣本的第i個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。特別地X(1)X(n)分別為樣本極小值與樣本極大值X(n)X(1為樣本的620均值為：x1(156134161151153.5試計(jì)算其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差 解：x1 x

s2

n1

2nx

xi xis 88＊分組樣本均值的工資區(qū)間組中工人數(shù)ni13工資區(qū)間組中工人數(shù)ni13641001

x

xn

nikik其中：xi表示第i個(gè)組的組中值（即區(qū)間的中點(diǎn)ni為第ii1,2,knin。＊例２：設(shè)如下

如果將它們畫在見它們的“分程度是不同的：樣本Ａ在這三個(gè)樣本中比較而樣本ＣA

xAxBxCs2sAs2sBs2sC

CBAs2 s2s2CBA

－－－－反映取值的分散§６．４抽樣

取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)分2分布，ｔ分布，Ｆ－－－－三大重要

設(shè) 量X的分布函數(shù)為F(x)對(duì)給定實(shí)數(shù)(01T為隨 量X的分布的水平為 的雙側(cè)分位若實(shí)數(shù)F滿足不等式P{XFF為 量X的分布的水平 的上側(cè)分?jǐn)?shù) 2

(r)

xr1exdx (r0)0X1,X2,,Xn是取自總N(0,1)稱統(tǒng)計(jì)

X

X2X2服從自由度為 2分布，記2~2(n。自由度是指所包x n 1x2密度f(x)2n2(n

e ,xx其中：()為Ｇａｍｍａ函 １2分布的可

2~2(m2~2(n),2

相互獨(dú)

~2(mn證

~N

2

X

2

X mn

mm

2122212

Xi

~2(miik

~2(niki

，

1,2,k)且相互獨(dú)則

2~2(niiii２2分布的數(shù)學(xué)期望與方

2~2(n，則E(2nD(22n證X

~N E(X2)D(X)iE(X4)

t

t D(X2)E(X4)[E(X2)]231 X1X2Xn相互獨(dú)立E(2) ii ii iiii

E(

2)

D(X2) ３2分布的

2~2(n，對(duì)給定的實(shí)數(shù)(0稱滿足條件P{22(n)} f(x)dx 2(n2(n分布的水平的上側(cè)分位數(shù)簡稱為上側(cè)分位數(shù)對(duì)不同的與ｎ，分位數(shù)2如：2

(9)

2分布的正態(tài)近2(n)

0.5

2n1)22

(50)0.5(1.645

2501)2三、t

Y/X設(shè)X~N(0),Y~2(n)且X與Y相互獨(dú)立則稱t 服從自由度為n的ｔ分Y/X為t~t(n密度f(x)

x2

2n(n/2) nt＊ｔ分布具有如下

１．f(x的圖形關(guān)y軸對(duì)稱，且limf(x)0x２．當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布limf(x)

1e1(r)0

xr1exdx (r３t分布的分

設(shè)T~t(n，對(duì)給定的實(shí)數(shù)(01 滿足條件 t f(x)dx 的tn為t(n分布的水平為的上側(cè)分位數(shù)P{|T|t2n――ｔ分布的雙側(cè)分t/2(

f(x)dx

f(x)dx, t/2(n)t1n)t(n－－查表可得P{T

/

(n)}2

P{T

/

(n)}19F

X~2(m),Y~2(n),且Ｘ與Ｙ相互獨(dú)FXmnX服從自由度為(mnY/ Ｆ分布，記F~F(mn密度

m

m2x

1mx

1(mn)2n f(x)

,x(m/2)(n/2){[(mn)/

＊Ｆ分布具有如下１X~t(n)X2~F(1,n２F~F(mn1~F(nmF

F1(n,４F分布的分

設(shè)F~F(m, ，對(duì)給定的實(shí)(0 P{FF(m,n)}

(m,n

f(x)dx FmnF(mn分布的水平為的上側(cè)分位數(shù)查表

＊例３：設(shè)0.05，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平0.05的上側(cè)解：水平為0.05的上側(cè)分位數(shù) )10.05查表

水平為0.05的雙側(cè)分位數(shù) )10.025查表 ＊例４：X1,,X6是來自總體N(0,1)

本本樣YX1X2X32X4X常數(shù)Ｃ，使CY2

X62試求X1XX~NX4XX~NX1X2X33X4X5X33

~N~N

且相互獨(dú)立，則解X1X233X4X5X

~N~N

且相互獨(dú)立，3X 23

23 33

6

~2 CYC[(

X

X3)2

( X)2 2 C 1Y~2 五、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)設(shè)總體Ｘ的均 ，方差為

，X1X2,Xn是取自Ｘ的一個(gè)樣本，X與S2分別EXDX2n。n X 2nE(S)En1

E(

2)nE(

2)in1 i

(22)n(2/n2)

n

設(shè)總X~N

n2),X1X2 n（１）X~N(,2/n)（２）U證：

Xnn

設(shè)總體X~N

n2),X1X2 是取n2

n1S21

(XX)2

~2(n1)n n

XS2相互獨(dú)證：較難，此處略設(shè)總X~N

n2),X1X2 是n1n1 （１）

(Xi

~(n)n （２）T ~t(n1n S證：略（Ｐ１４３例１）X~N(

2Y~N(

2是兩個(gè) 相互獨(dú)立的正態(tài)總體X1,X2,Xn1

是取總體Ｘ的樣本，XS2分別為該樣本的樣本均值與樣本方差。Y1,Y2,Yn是取自總體Ｙ的樣本，1212YS2分別為此樣本的樣本均值與樣2記S 是S 與S

的加權(quán)平均，即 S(n1)S2S

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