5年希望杯試題及答案

第十五屆(2017年)小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽五年級培訓題

1.計算：2016×20172017－2017×20162016.

2.計算：32.2÷2.7＋386÷54－4.88÷0.27.

3.計算：6051×0.125－0.375×1949＋3.75×1.2.

5.用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，{a}表示a的小數(shù)部分，即{a}=a－[a]，

定義一種運算“⊕”：a⊕b=(a-b)÷(b+1)，求[3.9]⊕{5.6}+[4.7]的值.

6.找規(guī)律，填數(shù)：0，2，12，36，80，150，252，______，_______，…

7.如圖1所示的七個圓內填入七個連續(xù)自然數(shù)，使每相鄰圓內的數(shù)之和等于

連線上的數(shù)，求這七個自然數(shù)的和.

1

8.有一串數(shù)，最前面的4個數(shù)是2，0，1，6，從第5個數(shù)起，每一個數(shù)是它前面相鄰4個數(shù)之

和的個位數(shù)字，問在這一串數(shù)中，會依次出現(xiàn)2，0，1，7這4個數(shù)嗎?

9.小華在電腦上玩一種游戲：輸入一個大于零的自然數(shù)，則輸出的數(shù)比輸入的數(shù)擴大一倍還多1，

若先輸入的數(shù)既不是質數(shù)，也不是合數(shù)，再將輸出的數(shù)輸入，…則輸出的數(shù)中，首先超過100的數(shù)

是多少?

10.從1123個1×1的正方形紙片中，依次取出1個，3個，5個，7個，…，(2n-1)個，求最大的n.

11.已知x是兩位數(shù)，y是一位數(shù)，若1123=x×x+11y×y，求x+y.

12.20152015+20162016+20172017的個位數(shù)字是多少?(定義：xn表示n個x相乘)

13.1×2×3×4×…×2016×2017的積的末尾有多少個連續(xù)的0?

14.111a是四位數(shù)，若111a－3是7的倍數(shù)，求自然數(shù)a.

2

15.有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的和是三位數(shù)，并且是31的倍數(shù)，求這三個數(shù)的和的最小值.

17.100名同學面向老師站成一行.大家先從左至右按1，2，3，…依次報數(shù)；再讓報數(shù)是4的倍

數(shù)的同學向后轉，接著又讓報數(shù)是5的倍數(shù)的同學向后轉.問：背向老師的有多少人?

18.一個自然數(shù)，它除了1以外的兩個不同約數(shù)的和最大是60，求這個自然數(shù).

19.三位數(shù)中，被6除，余數(shù)是5的有多少個?

20.有一類四位數(shù)，除以5余3，除以7余6，除以9余6，求這類四位數(shù)中最小的數(shù).

3

21.求被7除余5，被8除余2的最小的三位數(shù).

22.是三位數(shù)，若－a可被13整除，求自然數(shù)a的最小值.

23.是三位數(shù)，若+1是7的倍數(shù)，－1是13的倍數(shù)，求自然數(shù)a.

24、a=201720162016......2016(10個2016),求a÷7的余數(shù)

解答：a=201720162016......2016

這個要迭代，首先：

a1=2017a=2017201620162016...

這個要迭代首先

a1=20172016=2017*10000+2016=2016*10000+10000+2016

考慮到2016是7的倍數(shù)，所以a1除7的數(shù)=10000/7為4

a2=a1*10000+2016=(7m+4)*10000+2016

a7=40000/72

所以2除的數(shù)為

a=a2*10000+2016=(7n+2)*10000+2016

依次3

a7=20000/71

所以3除的數(shù)為

a=a3*10000+2016=(7k+1)*10000+2016

依次4

a7=10000/74

所以4除的數(shù)為

4

至此可以看出迭代的余數(shù)規(guī)律為4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1

迭代10次，余數(shù)應該是4

2016=2017*10000+2016=2016*10000+10000+2016

考慮到2016是7的倍數(shù)，所以a1除7的數(shù)=10000/7為4

a2=a1*10000+2016=(7m+4)*10000+2016

a7=40000/72

所以2除的數(shù)為

a=a2*10000+2016=(7n+2)*10000+2016

依次3

a7=20000/71

所以3除的數(shù)為

a=a3*10000+2016=(7k+1)*10000+2016

依次4

a7=10000/74

所以4除的數(shù)為

至此可以看出迭代的余數(shù)規(guī)律為4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1

迭代10次，余數(shù)應該是4

25.五年級(2)班同學分為5組，按組活動.第一組到第五組的人數(shù)分別是12人，6人，10人，13

人，7人.其中有一個小組需要留在教室內，其余四組去操場跑步和跳繩，若跑步的人數(shù)比跳繩的

人數(shù)的2倍多5人，則留在教室的是第幾組?

26.小華將連續(xù)偶數(shù)2，4，6，8，10，…逐個相加，結果是2016.驗算時發(fā)現(xiàn)漏加了一個數(shù)，那么，

這個漏加的數(shù)是多少?

5

27.三個質數(shù)的平方和是390，這三個質數(shù)分別是多少?

28.3個不同的質數(shù)a，b，c滿足a+b=c，且b×c=143，求a×(b+c)的值.

29.下面是著名的百羊問題.原文如下：

《算法統(tǒng)宗》(明)程大位

甲趕羊群逐草茂，乙拽一羊隨其后，

戲問甲及一百否?甲云所說無差謬，

所得這般一群湊，再添半群小半群，

得你一只來方湊，玄機奧妙誰猜透?

原文的意思是說，一個牧羊人趕著一群羊，有人牽著一只羊從后面跟來，問牧羊人：“你這群羊有100

只嗎?”牧羊人說：“如果我再有這樣一群羊，加上這群羊的一半，再加上一半的一半，連同你這一

只羊，就剛好滿100只.”請問牧羊人趕著多少只羊?

30.用兩個3，三個2，兩個1可以組成多少個互不相同的七位數(shù)?

31.從1到2017的所有奇數(shù)的平方數(shù)中，個位數(shù)是5的有幾個?

6

32.從1到101這101個自然數(shù)中，

(1)至少選出_____個才能保證其中一定有兩個數(shù)的和是7的倍數(shù)；

(2)如果要保證其中一定有兩個數(shù)的和是6的倍數(shù)至少要選出______個.

33.A，B，C，D四人久別重逢.

(1)四人站成一排照相，問有多少種站法?

(2)四人圍成一圈照相有多少種站法?

34.電視臺打算3天播完6集電視劇，其中可以有若干天不播，共有多少種播出的方法?

35.屬相各異的12位同學按鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、犬、豬的順序圍成一圈

傳遞一袋不足200顆糖的幸運禮包.每人接到禮包后取出一顆糖，然后將禮包往下傳.屬牛的最牛，

先取糖，將禮包傳給屬虎的同學，…，若

最后取到糖的同學屬龍，則

(1)禮包里至少有多少顆糖?

(2)禮包里至多有多少顆糖?

36.紙箱中有赤，橙，黃，綠，青，藍，紫七色襪子，每種襪子都是單色，且數(shù)量足夠多，那么從

中至少取多少只襪子可以保證有一雙同色的襪子?

7

37.五年(1)班有46名學生參加3項活動.其中有24人參加了數(shù)學小組，20人參加了語文小組，

參加美術小組的人數(shù)是既參加數(shù)學小組又參加美術小組人數(shù)的4倍，又是3項都參加的人數(shù)的8倍，

既參加美術小組也參加語文小組的人數(shù)是3項都參加的人數(shù)的3倍，既參加數(shù)學小組又參加語文

小組的有10人，問參加美術小組的人數(shù)是多少?

38.有1克、2克、4克、8克、16克重的砝碼5枚，若只能在一邊放砝碼，問：

(1)用這些砝碼可稱出多少種不同的重量?

(2)若4克的砝碼破損后只剩下3克，則可稱出多少種不同的重量?

39.小明家住在一條胡同里，這條胡同里的門牌號碼從1號、2號、…連續(xù)下去.全胡同所有住戶的

門牌號之和減去小明家的門牌號碼，其結果為265.則

(1)這條胡同共有多少家住戶?

(2)小明家的門牌號碼是幾號?

40.數(shù)一數(shù)，圖2中共有多少個三角形?

8

41.(1)圖3中有多少個長方形(包括正方形)?

(2)圖3中包含*的長方形有多少個(包括正方形)?

42.波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基(Sierpinski)在1915年提出了謝爾賓斯基三角形.以下是它的構造方法：

①取一個實心的等邊三角形；

②沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；

③去掉中間的那一個小三角形；

④對其余三個小三角形重復②③④.

這樣下去可以重復無數(shù)次操作，如圖4所示.如果原來的大等邊三角形面積為256，那么在4次

操作之后，三角形中被去掉的空白部分面積為多少?

9

43.如圖5，8個小等邊三角形組成了一個梯形.

(1)數(shù)一數(shù)圖5中有幾個等邊三角形；

(2)若去掉一個三角形，使得三角形的總數(shù)減少1個，你能辦得到么?減少兩個呢?

44.所謂閉折線，就是一些線段首尾相接構成一個回路.比如五角星，它是一個有5條邊的閉折線，

并且它的5條邊互相相交，共有5個交點(不包括線段的端點交點).請問：一個有6條邊的閉折線，

它的6條邊之間最多可以有多少個交點(不包括線段的端點交點)?

45.如圖6，將正面為白色，背面為紅色，面積為105的長方形彩紙背面向正面折起一部分，使這

部分重合到彩紙內，這時，白色彩紙的面積只剩下了原來的0.2倍，求被折起的這部分(陰影部分)

的面積.

46.如圖7，長方形ABCD中，△ABP的面積為30，△CDQ的面積為35，求陰影部分的面積.

10

47.如圖8，8邊形的8個內角都是135°.已知AB=EF，BC=20，DE=10，GF=30，求AH的長.

48.如圖9，四邊形ABCD是一個正方形，梯形AEBD的面積是26，△AOE的面積比△BOD的面

積小10，求正方形的邊長.

49.如圖10，直角梯形ABCD中，DF⊥BC，AB=10，DE的長度是EF的4倍，陰影部分的面積為

90.求梯形ABCD的面積.

50.如圖11，在梯形ABCD中，AB=15，CD=5，梯形的面積為80，求△AOB的面積.

11

51.如圖12，過平行四邊形ABCD內的一點P作邊的平行線EF，GH，若平行四邊形BEPH的面積

為4，平行四邊形PFDG的面積為7，求△PAC的面積.

52.如圖13，△ABC中，試在AB上取點E，在AC上取點F，D，連接EF，ED，BD，使得△AEF，

△EDF，△BDE，△BCD的面積都相等(說出一種方法即可，但要證明其正確性).

53.如圖14(a)邊長分別為13，5的兩個正方形疊放在一起，兩個正方形內部的陰影部分的面積差

為M.如圖14(b)邊長分別為15，9的兩個正方形疊放在一起，兩個正方形內部的陰影部分的面積

差為N.試比較M與N的大小.

54.在邊長是2米的等邊三角形內任意丟放5顆小石子，則總有兩顆小石子的距離不大于1米，請

說出理由.

55.張大伯利用一堵舊墻AB，用長50m的籬笆圍成一個留有1m寬的門的梯形場地CDEF(CD∥

EF)，如圖15所示.若DE的長為10m，則梯形場地CDEF的最大面積是多少?

12

56.如圖16，ABCD是正方形，AEGD，EFHG，F(xiàn)BCH都是長方形，若圖16中所有長方形(含正方形)

的周長之和為190，EF=5，求正方形ABCD的面積.

57.用2017個等腰直角三角形能不能拼成一個正方形?請說明理由.(注：等腰直角三角形不要求

一樣大).

、

58.一只烏鴉從其鳥巢飛出，飛向其巢北10千米東7千米的A地，在A地它發(fā)現(xiàn)有一個稻草人，

所以就轉向巢北4千米東5千米的B地飛去，在B地吃了一些谷物后立即返巢，其所飛的途徑

構成了一個三角形，這個三角形的面積為多少平方千米?

59.圖17是一個正方體紙盒的展開圖，當折疊成紙盒時，與點1重合的點的編號有哪些?

60.一組積木組成的圖形，從正面看是，從側面看是，則

13

(1)這組積木最少是用多少塊正方體積木擺出來的?

(2)這組積木最多是用多少塊正方體積木擺出來的?

61.甲、乙、丙在猜一個完全平方的兩位數(shù).

甲說：它的因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，而且它比90大.

乙說：它是奇數(shù)，而且它比80小.

丙說：它是偶數(shù)，而且它比100小.

如果他們三個人每個人都有半句真話，半句假話，那么這個數(shù)是多少?

62.如圖18，三根繩子系在一起，現(xiàn)在要在繩子的某處點火，如果每分鐘火燃燒的距離是1，那么

至少需要幾分鐘才能燒光這些繩子?

63.已知“西門雞翅”的價格是3元錢2個雞翅，“好倫哥”的價格是20元自助餐(無論吃多少個

雞翅都是20元)，請根據(jù)圖19中的對話判斷，小笨至少能吃多少個雞翅?

64.小笨得到了一筆壓歲錢，但卻忘了具體有多少錢.他只記得這個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17，

其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調，得到一個新的三位

數(shù)，則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198.請你幫小笨算算，這筆壓歲錢有多少元?

14

65.某次考試共有12道判斷題.小聰劃了7個鉤和5個叉，結果對了8道；小笨劃了3個鉤和9

個叉，結果對了10道；大壯一道不會，索性全部打叉，那么他至少可以蒙對多少道題?

66.如圖20，在空格內填入數(shù)字1~4，使得每行、每列和每個粗線圍成的區(qū)域里數(shù)字都是1~4恰

好各一個，若M+N>4，則M×N的值是多少?

67.有61個人坐成一橫排.首先，正中間的一個人站起來，然后，按下述方法大家都或坐或站：

(1)如果鄰座的人站起來，那么1秒鐘后自己也站起來；

(2)站起1秒鐘后坐下；

(3)如果左右鄰座的人都是站著的，那么即使過了1秒鐘，自己仍然坐著.那么最初的那個人站起7

秒鐘后，有幾個人站著?

68.某學生俱樂部有11個成員，他們的名字分別是A~K.這些人分為兩派，一派人總說實話，另一

派人總說謊話.某日，老師問：“11個人里面，總說謊話的有幾個人?”那天，J和K休息，余下的

9個人這樣回答：

15

那么這個學生俱樂部的11個成員中，總說謊話的有多少個人?

69.某單位空降一名總經(jīng)理，五位職員了解了這位經(jīng)理的一些情況，現(xiàn)列表如下：

這五位職員了解的情況，每人只有1項是正確的，請判定該經(jīng)理的情況.

70.班長小英讓x名同學去種少于100棵的樹苗.若每人種7棵，則余下5棵；若每人種8棵，則

有1人只須種6棵.求：(1)人數(shù)x；(2)樹苗的棵數(shù).

71.全家四口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲.4年前他們全家的年齡之和是58歲，而

現(xiàn)在是73歲.問現(xiàn)在母親的年齡是多少歲?

16

72.有一根木棍有三種刻度，第一種刻度將木棍分成10等份，第二種刻度將木棍分成12等份，第

三種刻度將木棍分成15等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，請問木棍共被鋸成多少段?

73.某快遞公司已囤積部分快件，但仍有快件不斷運來，公司決定用快遞專車將快件分給客戶，若9

輛車發(fā)貨，12小時運完；若用8輛車發(fā)貨，16小時可以運完.問：如果先用6輛車運，3小時后

需再增加幾輛車，再過5小時可以運完?

74.10點多的某個時刻，小明發(fā)現(xiàn)1分鐘后表的時針與1分鐘前表的分針夾角是180°，那么

現(xiàn)在是10點幾分?

75.三堆蘋果共48個.先從第一堆中拿出與第二堆個數(shù)相等的蘋果放入第二堆，再從第二堆中拿

出與第三堆個數(shù)相等的蘋果放入第三堆，最后又從第三堆中拿出與第一堆個數(shù)相等的蘋果放入第一

堆，這時三堆蘋果數(shù)恰好相等.第一堆蘋果原來有多少個?

76.甲、乙共有26顆糖.甲先拿走乙的一半，乙發(fā)現(xiàn)后，也拿走了甲的一半.甲不服氣，又偷偷拿

了乙5顆糖，此時甲比乙多2顆，問：乙剛開始時有多少顆糖果?

77.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，在距A地70千米處第一次相遇.各自到達對方出發(fā)地后

立即返回，途中又在距A地50千米處相遇.問：A，B兩地相距多少千米?

17

78.一列火車速度不變地駛過長為600米的鐵路橋需1分鐘，以相同的速度完全穿過長為2200米

的隧道需要3分鐘，問：火車長多少米?(從車頭上橋到車尾離橋即為完全駛過鐵路橋)

79.張華從家到學校上課，先用每分鐘80米的速度走了3分鐘，發(fā)現(xiàn)這樣走下去將遲到3分鐘；

于是她就改用每分鐘110米的速度前進，結果提前了3分鐘到校.張華家離學校有多遠?

80.有A，B，C三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一條公路追趕前面的一個騎車人，這三輛車分別

用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人.現(xiàn)在知道A車每小時行24千米，B車每小時行20千米，

那么，C車每小時行多少千米?

81.某人沿著電車道旁的便道以4.5千米每小時的速度步行，每14.4分鐘有一輛電車迎面開過，每

24分鐘有一輛電車從后面追過來，如果電車按相等的時間間隔以同一速度不停的往返運行，問：電

車發(fā)車間隔是多少分?

82.星期六小王去球館打球，去時發(fā)現(xiàn)家中的鐘沒電了，于是換上電池，把鐘暫時調整到8時整，

到球館時球館的鐘剛好是8時整，打球到11時整，他以原速度回家發(fā)現(xiàn)家中的鐘剛好是12時整，

小王根據(jù)這些時間關系再次調整了時間，如果小王在路上的速度是60米/分鐘，請問：

18

(1)從家到球館的路程是多少米?

(2)小王到家的準確時間是幾點?

83.某汽車從A地開往B地，如果在計劃行駛時間的前一半時間每小時行駛30千米，而后一半時

間每小時行駛50千米，則按時到達；但汽車以每小時行駛40千米的速度從A地行駛至離A，B中

點還差40千米的地方發(fā)生故障，而停車檢修半小時，此后以50千米每小時的速度行駛，仍按時

到達B地，問：

(1)原計劃時間是幾小時?

(2)A，B兩地的距離是多少千米?

84.甲、乙兩名同學從山腳開始爬山，到達山頂后立即下山，在山腳和山頂之間不斷往返運動.已知

山坡長360米，甲上山的速度是乙上山的速度的1.5倍，并且甲乙下山的速度是各自上山速度的

1.5倍.當甲第三次到達山頂時，乙所在的位置距山頂多少米?

85.熊大和熊二清晨起床后去學校的環(huán)形跑道上跑步鍛煉，已知環(huán)形跑道的一周是400米，兩只熊

分別在相距80米的A，B兩處同時跑，熊大每秒跑3米，熊二每秒跑2米，那么熊大和熊二幾秒

后第一次相遇?

86.甲、乙二人在一條相距20千米的平直公路的兩處同時同向騎自行車(時速不超過60千米)前

進，一小時后兩人相距15千米，已知乙的時速比甲的時速的2倍少10千米，求甲，乙二人的時

速.

19

87.加工一批零件，如果甲先做4小時，乙再加入一起做，完成時甲比乙多做400個，如果乙

先做4小時，甲再加入一起做，完成時甲比乙多做40個.如果一開始甲乙就一起做，那么，完成

時甲比乙多做多少個?

88.猴子A，B一起上山摘桃子，猴子B單獨摘完需要50天，如果猴子A第一天摘，猴子B第

二天摘，這樣交替摘，恰好整天數(shù)可摘完.如果猴子B第一天摘，猴子A第二天摘，這樣交替摘，

恰好比上次輪流的方法多用半天摘完，那么猴子A單獨摘完需要多少天?

89.一個玻璃容器里所裝的糖水中含有10克糖，再倒入濃度為5%的糖水200克，配成濃度為2.5%

的糖水.那么原來這個玻璃容器的水有多少克?

90.用黑、白兩種顏色的皮塊縫制而成的足球，黑色皮塊是正五邊形，白色皮塊是正六邊形，若一

個球上共有黑、白皮塊32塊，則

(1)黑色皮塊有多少塊?

(2)白色皮塊有多少塊?

91.小聰與小笨一起爬樓梯上樓，小聰家住5層，小笨算了一下，自己的速度必須是小聰?shù)?倍，

20

這樣才可以與小聰同時到達各自家中，那么小笨家住幾層?

92.一個牧民買了一頭母羊，每年能生2只公羊，4只母羊，每只小母羊兩年后，又可以每年生

6只羊，其中2只公羊，4只母羊.這樣從今年開始到第4年底，一共有多少只羊?

93.一輛長途汽車的起點是甲站，終點是丙站，中途?？恳艺?從甲站到乙站和從乙站到丙站的票價

都是2元，而從甲站到丙站的票價是3元，一天這輛長途汽車離開甲站時載有45名乘客，到了乙

站有12人下車，19人上車，那么該長途汽車這一天的車票收入是多少元?

94.甲、乙兩人共帶90千克行李坐飛機旅行，機場規(guī)定：每人所帶行李重量不超過規(guī)定重量免費，

超出部分重量按標準收費.兩人分開帶行李分別收費是16.8元和13.2元；如果由一人帶行李就要收

42元.問：免費規(guī)定重量是不超過多少千克?

95.大壯加工一批產(chǎn)品，他每加工出一件正品，得報酬0.75元，每加工出一件次品，罰款1.50元，

這天他加工的正品是次品的7倍，得到11.25元的報酬.那么他這天加工出幾件次品?

96.一個工人與用人單位簽訂了一個月的短期合同，雙方約定，每工作一天得80元，不上班不但沒

工資，且每天要倒扣10元.月末結賬時，該工人領到工資2030元，問這個工人工作了多少天?

21

97.顧客和店主有如下對話：

顧客：老板，這件商品多少元?

店主：這件商品五折減5角和六折減6角的結果一樣.

顧客：按“五折減5角”的優(yōu)惠價買可以么?

店主：不行!

顧客：按“九折減9角”的優(yōu)惠價來買可以嗎?

店主：不行!

問：(1)這件商品的單價是多少?

(2)店主為什么堅持不賣?

98.小聰趕著一頭豬到山外的生豬收購站去賣，過秤知豬重150斤，他和收購站的工作人員有如下

對話：

收購員：你這頭豬肚子這么大又這么重，是不是故意讓豬吃了很咸的豬食，然后大量喝水造成的?

不收!

小聰：我們家有誠信的家風，絕不會這樣!請收購吧，我走了很遠的山路才到這里.

收購員：如果馬上收購，豬的重量要打九折，如果你明天早上來，當面再稱豬的重量，收購價提高

兩成五，兩種選擇由你確定!

請幫助小聰作出選擇，并說明理由.

99.一種商品，甲店：“買四贈一”，乙店：“優(yōu)惠”，如果只從經(jīng)濟方面考慮，你選擇去哪家商

店?

22

100.有27位客人來某廠參觀學習，廠領導派車去火車站接人，廠里有兩種車子：可乘3人(司機

除外)的小轎車和可乘7人(司機除外)的面包車，若要求車子全都滿載，請確定派車的方案.

參考答案

1.08.不會15.186

2.19.12716.13

3.3010.3317.35

4.1011.3518.40或45

5.5.512.819.150

6.392，57613.50220.1203

7.3514.621.138

23

22.150.4576.16

23.951.1.577.130

24.452.略78.200

25.