數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例

第八節(jié)數(shù)學(xué)建?！⒎址匠痰膽?yīng)用舉例微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程的實(shí)際應(yīng)用，尤其是微分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的魅力.內(nèi)容分布圖示★衰變問(wèn)題★邏輯斯諦方程★價(jià)格調(diào)整問(wèn)題★人才分配問(wèn)題模型★追跡問(wèn)題★返回內(nèi)容要點(diǎn)：一、衰變問(wèn)題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量,這種現(xiàn)象稱為放射性物質(zhì)的衰變.根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知,衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比,求放射性元素在時(shí)刻t的質(zhì)量.用x表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻t的質(zhì)量,則SKIPIF1<0表示x在時(shí)刻t的衰變速度,于是“衰變速度與現(xiàn)存的質(zhì)量成正比”可表示為SKIPIF1<0(8.1)這是一個(gè)以x為未知函數(shù)的一階方程,它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型,其中SKIPIF1<0是比例常數(shù),稱為衰變常數(shù),因元素的不同而異.方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間t增加時(shí),質(zhì)量x減少.解方程(8.1)得通解SKIPIF1<0若已知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0代入通解SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0則可得到方程(8.1)特解SKIPIF1<0它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注:物理學(xué)中,我們稱放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí)間為半衰期,不同物質(zhì)的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素(SKIPIF1<0)的半衰期約為50億年;通常的鐳(SKIPIF1<0)的半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征,然而半衰期卻不依賴于該物質(zhì)的初始量,一克SKIPIF1<0衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸SKIPIF1<0衰變成半噸所需要的時(shí)間同樣都是1600年,正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳-14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ).二、邏輯斯諦方程:邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型,下面我們借助樹(shù)的增長(zhǎng)來(lái)建立該模型.一棵小樹(shù)剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢,漸漸地,小樹(shù)長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來(lái)越快,幾年不見(jiàn),綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了;但長(zhǎng)到某一高度后,它的生長(zhǎng)速度趨于穩(wěn)定,然后再慢慢降下來(lái).這一現(xiàn)象很具有普遍性.現(xiàn)在我們來(lái)建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比,則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情形,因?yàn)闃?shù)不可能越長(zhǎng)越快;但如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差,則又明顯不符合中間一段的生長(zhǎng)過(guò)程.折衷一下,我們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度,又與最大高度與目前高度之差成正比.設(shè)樹(shù)生長(zhǎng)的最大高度為H(m),在t(年)時(shí)的高度為h(t),則有SKIPIF1<0(8.2)其中SKIPIF1<0是比例常數(shù).這個(gè)方程為L(zhǎng)ogistic方程.它是可分離變量的一階常數(shù)微分方程.下面來(lái)求解方程(8.2).分離變量得SKIPIF1<0兩邊積分SKIPIF1<0得 SKIPIF1<0或 SKIPIF1<0故所求通解為SKIPIF1<0其中的SKIPIF1<0是正常數(shù).函數(shù)SKIPIF1<0的圖象稱為L(zhǎng)ogistic曲線.圖8-8-1所示的是一條典型的Logistic曲線,由于它的形狀,一般也稱為S曲線.可以看到,它基本符合我們描述的樹(shù)的生長(zhǎng)情形.另外還可以算得SKIPIF1<0這說(shuō)明樹(shù)的生長(zhǎng)有一個(gè)限制,因此也稱為限制性增長(zhǎng)模式.注:Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”,因此許多現(xiàn)象本質(zhì)上都符合這種S規(guī)律.除了生物種群的繁殖外,還有信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷售等.例如流感的傳染、在任其自然發(fā)展(例如初期未引起人們注意)的階段,可以設(shè)想它的速度既正比于得病的人數(shù)又正比于未傳染到的人數(shù).開(kāi)始時(shí)患病的人不多因而傳染速度較慢;但隨著健康人與患者接觸,受傳染的人越來(lái)越多,傳染的速度也越來(lái)越快;最后,傳染速度自然而然地漸漸降低,因?yàn)橐呀?jīng)沒(méi)有多少人可被傳染了.下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明邏輯斯諦的應(yīng)用.人口阻滯增長(zhǎng)模型1837年,荷蘭生物學(xué)家Verhulst提出一個(gè)人口模型SKIPIF1<0(8.3)其中SKIPIF1<0的稱為生命系數(shù).我們不詳細(xì)討論這個(gè)模型,只提應(yīng)用它預(yù)測(cè)世界人口數(shù)的兩個(gè)有趣的結(jié)果.有生態(tài)學(xué)家估計(jì)k的自然值是0.029.利用本世紀(jì)60年代世界人口年平均增長(zhǎng)率為2%以及1965年人口總數(shù)33.4億這兩個(gè)數(shù)據(jù),計(jì)算得SKIPIF1<0從而估計(jì)得:(1)世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億.(2)到2000年時(shí)世界人口總數(shù)為59.6億.后一個(gè)數(shù)字很接近2000年時(shí)的實(shí)際人口數(shù),世界人口在1999年剛進(jìn)入60億.新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng),t時(shí)刻的銷量為SKIPIF1<0由于產(chǎn)品性能良好,每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品,因此,t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長(zhǎng)率SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成正比,同時(shí),考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量N,統(tǒng)計(jì)表明SKIPIF1<0與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量SKIPIF1<0也成正比,于是有SKIPIF1<0 (8.4)其中k為比例系數(shù).分離變量積分,可以解得SKIPIF1<0 (8.5)由 SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),則有SKIPIF1<0即銷量SKIPIF1<0單調(diào)增加.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一半時(shí),產(chǎn)品最為暢銷,當(dāng)銷量不足N一半時(shí),銷售速度不斷增大,當(dāng)銷量超過(guò)一半時(shí),銷售速度逐漸減少.國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明.許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(8.5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近.根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析,許多分析家認(rèn)為,在新產(chǎn)品推出的初期,應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳,而在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間,產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過(guò)80%時(shí),應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn),可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.三、價(jià)格調(diào)整模型在本章第一節(jié)例3已經(jīng)假設(shè),某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系.一般情況下,商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù),商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù),為簡(jiǎn)單起見(jiàn),分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為SKIPIF1<0(8.6)其中SKIPIF1<0均為常數(shù),且SKIPIF1<0當(dāng)供給量與需求量相等時(shí),由(8.6)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格SKIPIF1<0并稱SKIPIF1<0為均衡價(jià)格.一般地說(shuō),當(dāng)某種商品供不應(yīng)求,即SKIPIF1<0時(shí),該商品價(jià)格要漲,當(dāng)供大于求,即SKIPIF1<0時(shí),該商品價(jià)格要落.因此,假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格SKIPIF1<0的變化率與超額需求量SKIPIF1<0成正比,于是有方程SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度.將(8.6)代入方程,可得SKIPIF1<0(8.7)其中常數(shù)SKIPIF1<0方程(8.7)的通解為SKIPIF1<0假設(shè)初始價(jià)格SKIPIF1<0代入上式,得SKIPIF1<0于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0知,SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0說(shuō)明隨著時(shí)間不斷推延,實(shí)際價(jià)格SKIPIF1<0將逐漸趨近均衡價(jià)格SKIPIF1<0.四、人才分配問(wèn)題模型每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍,其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.設(shè)t年教師人數(shù)為SKIPIF1<0科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為SKIPIF1<0又設(shè)1外教員每年平均培養(yǎng)SKIPIF1<0個(gè)畢業(yè)生,每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為SKIPIF1<0表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率SKIPIF1<0于是有方程SKIPIF1<0(8.8)SKIPIF1<0(8.9)方程(8.8)有通解SKIPIF1<0 (8.10)若設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0于是得特解SKIPIF1<0(8.11)將(8.11)代入(8.9)方程變?yōu)镾KIPIF1<0(8.12)求解方程(8.12)得通解SKIPIF1<0(8.13)若設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0于是得特解SKIPIF1<0(8.14)(8.11)式和(8.14)式分別表示在初始人數(shù)分別為SKIPIF1<0情況,對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的取值,在t年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù).從結(jié)果看出,如果取SKIPIF1<0即畢業(yè)生全部留在教育界,則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),由于SKIPIF1<0必有SKIPIF1<0而SKIPIF1<0說(shuō)明教師隊(duì)伍將迅速增加.而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮,勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展,反過(guò)來(lái)也會(huì)影響教育的發(fā)展.如果將SKIPIF1<0接近于零.則SKIPIF1<0同時(shí)也導(dǎo)致SKIPIF1<0說(shuō)明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率SKIPIF1<0,將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè),以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局.五、追跡問(wèn)題設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位,乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速SKIPIF1<0向正北行走;甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā),始終對(duì)準(zhǔn)乙以SKIPIF1<0的速度追趕.求追跡曲線方程,并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí),被甲追到.建立如圖8-8-2所示的坐標(biāo)系,設(shè)所求追跡曲線方程為SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)時(shí)刻t,甲在追跡曲線上的點(diǎn)為SKIPIF1<0乙在點(diǎn)SKIPIF1<0于是有SKIPIF1<0(8.15)由題設(shè),曲線的弧長(zhǎng)OP為SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0代入(8.15),得SKIPIF1<0兩邊對(duì)x求導(dǎo),整理得SKIPIF1<0這就是追跡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.這是一個(gè)不顯含y的可降階的方程,設(shè)SKIPIF1<0,代入方程得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0兩邊積分,得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0將初始條件SKIPIF1<0代入上式,得SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0(8.16)兩邊同乘