專題19 概率、統(tǒng)計

專題18概率、統(tǒng)計★★★高考在考什么【考題回放】1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么甲是乙的(B)A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件2．在正方體上任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為（C）A．B．C．D．3．某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程．從班級中任選兩名學(xué)生,他們是選修不同課程的學(xué)生的慨率是．(結(jié)果用分數(shù)表示)4．一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1,一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是．5．某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為（D）（A）1（B）2（C）3（D）46．某射手進行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響。（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（用數(shù)字作答）；（2）求射手第3次擊中目標(biāo)時，恰好射擊了4次的概率（用數(shù)字作答）；（3）設(shè)隨機變量表示射手第3次擊中目標(biāo)時已射擊的次數(shù)，求的分布列．【專家解答】（Ⅰ）記“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（Ⅱ）射手第3次擊中目標(biāo)時，恰好射擊了4次的概率（Ⅲ）由題設(shè)，“”的概率為（且）所以，的分布列為：34…k…P……★★★高考要考什么【考點透視】等可能性的事件的概率,互斥事件有一個發(fā)生的概率,相互獨立事件同時發(fā)生的概率,獨立重復(fù)試驗、離散型隨機變量的分布列、期望和方差．【熱點透析】1．相互獨立事件同時發(fā)生的概率,其關(guān)鍵是利用排列組合的內(nèi)容求解m，n．2．獨立重復(fù)試驗，其關(guān)鍵是明確概念，用好公式，注意正難則反的思想．3．離散型隨機變量的分布列、期望和方差，注意取值的完整性以及每一取值的實際含義．★★★突破重難點【范例1】某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品級用戶拒絕的概率．解(1),,,所以的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望E()=(2)P()=【點晴】本題以古典概率為背景，其關(guān)鍵是利用排列組合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。【變式】袋中裝著標(biāo)有數(shù)學(xué)1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：（1）取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(3)計分介于20分到40分之間的概率．解：（=1\*ROMANI）解法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，則解法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因為，所以．（=2\*ROMANII）由題意有可能的取值為：2，3，4，5．所以隨機變量的概率分布為2345因此的數(shù)學(xué)期望為（Ⅲ）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，則【范例2】某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：6789100p現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．(=1\*ROMANI)求p；(=2\*ROMANII)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率(Ⅲ)求的分布列解：(Ⅰ)p=1-0．3-0．3-0．2=0．2(Ⅱ)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為；(Ⅲ)的可能取值為7、8、9、10分布列為78910P0．040．210．390．36【點晴】本題已知分布列逆求其他事件的概率和分布列，注意利用分布列的性質(zhì)用于驗證答案或求最后一個事件的概率，例如?！咀兪健考住⒁覂纱b有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球．兩甲，乙兩袋中各任取2個球．(Ⅰ)若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；(Ⅱ)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n．解：（=1\*ROMANI）記“取到的4個球全是紅球”為事件．（=2\*ROMANII）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件．由題意，得所以，化簡，得解得，或（舍去），故．【點晴】本題屬于古典概率，已知概率的結(jié)果，利用方程的思想逆求出n是該題的關(guān)鍵?！痉独?】甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是eq\f(1,3),eq\f(2,5),eq\f(1,2)．(Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投籃3次的進球數(shù),求隨機變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ．解:(Ⅰ)記"甲投籃1次投進"為事件A1，"乙投籃1次投進"為事件A2，"丙投籃1次投進"為事件A3，"3人都沒有投進"為事件A．則P(A1)=eq\f(1,3)，P(A2)=eq\f(2,5)，P(A3)=eq\f(1,2)，∴P(A)=P(．．)=P()·P()·P()=[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]=(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(2,5))(1－eq\f(1,2))=eq\f(1,5)∴3人都沒有投進的概率為eq\f(1,5)．(Ⅱ)解法一:隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3，ξ~B(3，eq\f(2,5))，P(ξ=k)=C3k(eq\f(2,5))k(eq\f(3,5))3－k(k=0，1，2，3)，Eξ=np=3×eq\f(2,5)=eq\f(6,5)．解法二:ξ的概率分布為:ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)Eξ=0×eq\f(27,125)+1×eq\f(54,125)+2×eq\f(36,125)+3×eq\f(8,125)=eq\f(6,5)．【點晴】已知概率求概率，主要運用加法公式（互斥）和乘法公式（獨立）以及n次獨立重復(fù)試驗（二項分布），注意條件和適用的范圍，另外利用二項分布期望和方差結(jié)論使問題簡潔明了?！咀兪健磕嘲踩a(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢)．若安檢不合格,則必須進行整改．若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強行關(guān)閉．設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0．5,整改后安檢合格的概率是0．8,計算(結(jié)果精確到0．01):(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率．解：（Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1－，且每家煤礦是否整改是相互獨立的．所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是．（Ⅱ）由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)服從二項分布B(5,0．5)．從而的數(shù)學(xué)期望是E＝，即平均有2．50家煤礦必須整改．(Ⅲ)某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是．由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是【點晴】注意n次獨立重復(fù)試驗的條件、公式的記憶以及二項分布的期望結(jié)論，另外至多、至少等概率問題常使用正難則反的思想運用?！痉独?】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．（Ⅰ）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；（Ⅱ）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小．（說明理由）解：設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應(yīng)的概率為a，b，c設(shè)在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為P2，則P2＝ab＋ac＋bc＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝[ab(1-c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)]0P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率．【點晴】本題作為含有字母的概率問題，增加了一定的難度，問題（Ⅱ）又運用了不等式作差的方法比較兩期望的大小?！咀兪健楷F(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1．2萬元、1．18萬元、1．17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行2次獨立的調(diào)整,記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項目每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應(yīng)利潤是1．3萬元、1．25萬元、0．2萬元．隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤．(=1\*ROMANI)求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;(=2\*ROMANII)當(dāng)時,求的取值范圍．【解析】(=1\*ROMANI)解法1:的概率分布為1．21．181．17PE=1．2+1．18+1．17=1．18．由題設(shè)得,則的概率分布為012P故的概率分布為1．31．250．2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=++=．解法2:的概率分布為1．21．181．17PE=1．2+1．18+1．17=1．18．設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價格下降”(i=1,2),則P(=0)=;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布為1．31．250．2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=++=．(=2\*ROMANII)由,得:因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0．3．【點晴】本小題考查二項分布、分布列、數(shù)學(xué)期望以及與不等式等其他知識的綜合應(yīng)用,考查了運用概率知識解決實際問題的能力．★★★自我提升1．在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于（A）．A．B．C．D．2．某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為20的樣本。若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是（C）．A．2B．3C．5D．133．將7個人（含甲、乙）分成三個組，一組3人，另兩組2人，不同的分組數(shù)為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a、p的值分別為（A）．A.a=105p=B．a(chǎn)=105p=C．a(chǎn)=210p=D．a(chǎn)=210p=4．從到這個數(shù)字中任取個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個數(shù)不能被整除的概率為（B）A．B．C．D．5．在一個小組中有8名女同學(xué)和4名男同學(xué)，從中任意地挑選2名同學(xué)擔(dān)任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是_（結(jié)果用分數(shù)表示）．6．設(shè)離散型隨機變量可能取的值為1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的數(shù)學(xué)期望，則．;7．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層可以?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在20層下電梯的人數(shù)．求：（Ⅰ）隨機變量ξ的分布列；（Ⅱ）隨機變量ξ的期望．解：（1）的所有可能值為0，1，2，3，4，5。由等可能性事件的概率公式得從而，的分布列為012345（II）由（I）得的期望為8．A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；（Ⅱ）觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。解:(1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只",i=0,1,2,Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只",i=0,1,2,依題意有:P(A1)=2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9),P(A2)=eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9)．P(B0)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,4),P(B1)=2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,2),所求概率為:P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)=eq\f(1,4)×eq\f(4,9)+eq\f(1,4)×eq\f(4,9)+eq\f(1,2)×eq\f(4,9)=eq\f(4,9)