雙曲線方程知求記

人教A版高二年級選修2-1第二章第三節(jié)雙曲線說疑解難雙曲線方程知求記雙曲線是圓錐曲線的核心內(nèi)容之一，而求其標準方程又是學習橢圓的首要任務(wù)．本文就求解曲線標準方程的常見方法作一探索，供同學們參考．一、依據(jù)定義求方程設(shè)|MF1|－|MF2|=±2a(a＞0)⑴當2a＞|F1F2|時，點M的無軌跡；⑵當2a=|F1F2|時，點M的軌跡為以F1、F2為端點的兩條射線；⑶當2a＜|F1F2|時，點M是以F1、F2為焦點的雙曲線，2a前取正時是右支，取負時是左支．例1求與雙曲線eq\l(\f(x2,36))－eq\l(\f(y2,32))=1共焦點，并且經(jīng)過點P(10,6eq\r(2))的雙曲線標準方程．分析：先求出公共的焦點坐標，再由P點依據(jù)定義求出2a，由焦距求出2c，由平方關(guān)系求出b，直接寫出方程．解：雙曲線eq\l(\f(x2,36))－eq\l(\f(y2,13))=1的焦點是F1(－7,0)，F(xiàn)2(7,0)，這也是所求雙曲線的焦點．∵P(10,6eq\r(2))在雙曲線上，∴2a=||PF1|－|PF2||=|eq\r((5+7)2+(6\r(6))2)－eq\r((5－7)2+(6\r(6))2)|=10，則a=5，又c=7，∴b=eq\r(c2－a2)=2EQ\r(,6)．∴橢圓的標準方程為eq\l(\f(x2,25))－eq\l(\f(y2,24))=1．點評：本題|PF1|，|PFeq\l(2)|易算，故可直接利用橢圓的定義計算2a=||PFeq\l(1)|－|PFeq\l(2)||=10，若不易計算，則可采用待定系數(shù)法求解．二、已知橢圓求方程已知橢圓求方程，需抓住題設(shè)中橢圓與雙曲線的聯(lián)結(jié)點，尋求雙曲線中a，c二量，從而由平方關(guān)系求出b，寫出方程．例2求以橢圓eq\l(\f(x2,4))+eq\l(\f(y2,9))=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標準方程．分析：由橢圓方程得出雙曲線的頂點與焦點，從而可得實半軸長a與半焦距c，按a，b，c的關(guān)系求出b，即得雙曲線標準方程．解：∵橢圓eq\l(\f(x2,4))+eq\l(\f(y2,9))=1兩焦點為(0,－EQ\r(,5))，(0,EQ\r(,5))，長軸頂點為(0,－3)，(0,3)．依題意，雙曲線的焦點為Feq\l(1)(0,－3)，F(xiàn)eq\l(2)(0,3)，頂點為Aeq\l(1)(0,－EQ\r(,5))，Aeq\l(2)(0,EQ\r(,5))，即a=EQ\r(,5)，c=3，∴b=eq\r(c2－a2)=2，∵所求雙曲線焦點在y軸上，∴所求雙曲線標準方程為eq\l(\f(x2,5))－eq\l(\f(y2,4))=1．點評：同一題中的兩條曲線，不管類型是否相同，都要注意a，b，c是不同的，所以一般情況下只對所求的曲線使用字母，而對已知曲線直接描述．三、已知漸近線求方程已知漸近線求方程，即知a，b的比值．可設(shè)出雙曲線的標準方程，用待定系數(shù)法求，也可挖掘漸近線與方程之間的聯(lián)系，即由y=±eq\l(\f(b,a))xeq\l(\f(x2,a2))－eq\l(\f(y2,b2))=0，設(shè)出雙曲線方程eq\l(\f(x2,a2))－eq\l(\f(y2,b2))=k(k≠0)，再依題目條件求解．例3求與雙曲線eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))=1的漸近線相同，且過點P(5,－4)的雙曲線的標準方程．分析1：將P點代入eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))，結(jié)果為正值焦點在x軸，為負值在y軸，然后用待定系數(shù)法求解．解1：∵eq\l(\f(52,10))－eq\l(\f((－4)2,8))=eq\l(\f(1,2))＞0，∴雙曲線的焦點在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為eq\l(\f(x2,a2))－eq\l(\f(y2,b2))=1(a＞0，b＞0)．兩雙曲線的漸近線方程是y=±eq\l(\f(2,\r(5)))x，于是有方程組EQ\b\lc\{(\s(\f(b,a)=\f(2,\r(5))，,\f(25,a2)－\f(16,b2)=1，))解得EQ\b\lc\{(\s(a2=5，,b2=4，))故所求雙曲線方程為eq\l(\f(x2,5))－eq\l(\f(y2,4))=1．點評：先確定焦點位置，從而設(shè)出標準方程，再由漸近線的斜率和代P入方程聯(lián)立求a，b是通法．本題也可同時設(shè)出兩個標準方程，分別求解，不過這樣較繁．分析2：與已知雙曲線漸近線相同的雙曲線系方程可設(shè)為eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))=k(k≠0)，再用待定系數(shù)法求k回代即可．解2：與雙曲線eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))=1的漸近線相同的雙曲線方程可設(shè)為eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))=k(k≠0)，代入點P(5,－4)，得k=eq\l(\f(52,10))－eq\l(\f((－4)2,8))=eq\l(\f(1,2))，故所求雙曲線方程為eq\l(\f(x2,10))－eq\l(\f(y2,8))=eq\l(\f(1,2))，標準方程是eq\l(\f(x2,5))－eq\l(\f(y2,4))=1．點評：雙曲線eq\l(\f(x2,m2))－eq\l(\f(y2,n2))=1與雙曲線eq\l(\f(x2,m2))－eq\l(\f(y2,n2))=k(m,n,k皆不為零)的漸近線方程同為eq\l(\f(x2,m2))－eq\l(\f(y2,n2))=0y=±eq\l(\f(n,m))x，顯然解2比解1要簡潔，且這樣回避了因焦點位置的討論，事半而功倍．四、已知兩點求方程雙曲線的標準方程有兩種形式：eq\l(\f(x2,a2))－eq\l(\f(y2,b2))=1，eq\l(\f(y2,a2))－eq\l(\f(x2,a2))=1(a＞0，b＞0)．不管那種形式都有兩個末知數(shù)a與b．若題目沒有告訴我們焦點位置，則要分情況進行討論，且解起來比較麻煩．我們根據(jù)兩種表達式的標準方程的特點，歸納為一種形式：mx2+ny2=1(mn＜0)，根據(jù)兩點的坐標就可確定m與n的值，這樣方程也隨之確定．例3已知橢圓過點P(3,?4eq\r(2))和Q(eq\l(\f(9,4)),5)，求雙曲線的標準方程．分析：設(shè)出雙曲線方程mx2+ny2=1(mn＜0)，代入兩點求出m，n．解：設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn＜0)，代入P、Q兩點坐標，有EQ\b\lc\{(\s(9m+32n=1，,\f(81,16)m+25n=1，))解得EQ\b\lc\{(\s(m=\f(1,16)，,n=－\f(1,9)，))滿足條件mn＜0，∴雙曲線的標準方程為eq\l(\f(x2,16))－eq\l(\f(y2,9))=1．點評：在不知雙曲線焦點位置的情況下，已知兩點求雙曲線的方程常用mx2+ny2=0(mn＜0)形式，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，但求出m與n的值后，一定要注意滿足它們的限定條件．四、轉(zhuǎn)化軌跡求方程軌跡條件符合雙曲線定義時，可轉(zhuǎn)化為由雙曲線定義求出a，b，c，直接寫出方程．例4已知⊙A：(x+5)eq\l(2)+yeq\l(2)=49，⊙B：(x－5)eq\l(2)+yeq\l(2)=1，動圓C與⊙A，⊙B都外切，求動圓圓心C的軌跡方程．分析：動圓C與⊙A，⊙B都外切，點C到圓心A，B的距離之差為定值，故C的軌跡符合雙曲線的定義，即動點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，故可用定義求解．Cy解：依題意知⊙A的圓心為A(－5,0)，半徑為7；Cyx⊙B的圓心為B(5,0)，半徑為1．xBAO設(shè)動圓半徑為r，則|CA|－|CB|=(7+r)－(1+r)=6，BAO知動點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的