183 幾何應(yīng)用 數(shù)學(xué)分析課件（華師大 四版） 高教社ppt 華東師

本文格式為Word版，下載可任意編輯——183幾何應(yīng)用數(shù)學(xué)分析課件（華師大四版）高教社ppt華東師數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用§3幾何應(yīng)用一、平面曲線的切線與法線二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線四、*用參數(shù)方程表示的曲面*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容在本節(jié)中所探討的曲線和曲面,由于它們的方程是以隱函數(shù)(組)的形式出現(xiàn)的,因此在求它們的切線或切平面時,都要用到隱函數(shù)(組)的微分法.§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線與法線

F(x,y)?0;曲線L：

P0(x0,y0)為L上一點,在P0近旁,F滿足條件：

平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

隱函數(shù)定理條件,可確定可微的隱函數(shù):

y?y(x)(或x?x(y));由于y???Fx(P0)Fy(P0)L在P0處的切線方程為：

?y?y0???F(P)F(P)(x?x)x0y00???或x?x高等教育出版社0????F(P)F(P)(y?y).y0x00??后退

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目錄

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?數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

總之,當(dāng)(Fx(P0),Fy(P0))?(0,0)時,就有?法向量:n?(Fx(P0),Fy(P0));切線方程為Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?0;(1)法線方程為Fy(P0)(x?x0)?Fx(P0)(y?y0)?0.(2)數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

例1求笛卡兒葉形線

2(x?y)?9xy?033在點P0(2,1)處的切線與法線.解設(shè)F(x,y)?2(x?y)?9xy.33由于Fx?6x?9y,Fy?6y?9x連續(xù)，且(Fx(P0),Fy(P0))?(15,?12)?(0,0),22于是在P0?2,1?處切線與法線分別為15(x?2)?12(y?1)?0,即5x?4y?6?0;12(x?2)?15(y?1)?0,即4x?5y?13?0.數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

例2設(shè)一般二次曲線為

22L:Ax?2Bxy?Cy?2Dx?2Ey?F?0,P0(x0,y0)?L.試證L在點P0處的切線方程為

Ax0x?B(y0x?x0y)?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0.證令G(x,y)?Ax?2Bxy?Cy?2Dx?2Ey?F,22則有?Gx(P0)?2Ax0?2By0?2D,??Gy(P0)?2Bx0?2Cy0?2E.數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社

§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

由此得到所求切線為

(Ax0?By0?D)(x?x0)?(Bx0?Cy0?E)(y?y0)?0,利用(x0,y0)滿足曲線L的方程,即

F??(Ax0?2Bx0y0?Cy0?2Dx0?2Ey0),22整理后便得到

Ax0x?B(y0x?x0y)?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0.數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

空間曲線的切線與法平面

先從參數(shù)方程表示的曲線開始探討.在第五章§3已學(xué)過,對于平面曲線

x?x(t),y?y(t),??t??,若P0(x0,y0)?(x(t0),y(t0))是其上一點,則曲線

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

在點P0處的切線為

y?(t0)x?x0y?y0y?y0?(x?x0)或?.x?(t0)x?(t0)y?(t0)下面探討空間曲線.

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

(A)用參數(shù)方程表示的空間曲線:

L:x?x(t),y?y(t),z?z(t),??t??.若P0(x0,y0,z0)?(x(t0),y(t0),z(t0))?L,且有x?(t0)?y?(t0)?z?(t0)?0,222類似于平面曲線的情形,不難求得P0處的切線為

x?x0y?y0z?z0?:??.(3)x?(t0)y?(t0)z?(t0)過點P0且垂直于切線?的平面?,稱為曲線L在點P0處的法平面.

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

由于切線?的方向向量即為法平面?的法向量,所以法平面的方程為

x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0.(4)(B)用直角坐標(biāo)方程表示的空間曲線：

?F(x,y,z)?0,L:??G(x,y,z)?0.(5)設(shè)P0(x0,y0,z0)?L;F,G在點P0近旁具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

(Jxy,Jyz,Jzx)其中JxyP0?(0,0,0),?(F,G)?(F,G)?(F,G)?,Jyz?,Jzx?.?(x,y)?(y,z)?(z,x)不妨設(shè)Jxy(P0)?0,于是存在隱函數(shù)組

x?x(z),y?y(z),z?z.這也就是曲線L以z作為參數(shù)的一個參數(shù)方程.根據(jù)公式(3),所求切線方程為x?x0y?y0z?z0?:??.x?(z0)y?(z0)1數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社

§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

應(yīng)用隱函數(shù)組求導(dǎo)公式,有

x?(z0)??Jzy(P0)Jxy(P0),y?(z0)??Jxz(P0)Jxy(P0).于是最終求得切線方程為

x?x0y?y0z?z0?:??.Jyz(P0)Jzx(P0)Jxy(P0)相應(yīng)于(3)式的法平面方程則為?:Jyz(P0)(x?x0)?Jzx(P0)(y?y0)?Jxy(P0)(z?z0)?0.數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社(6)(7)§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

例3求空間曲線

L:x?t?sint,y?1?cost,z?4sin(t2)在點P0(對應(yīng)于t0??2)處的切線和法平面.???解簡單求得P0??1,1,22?,故切向向量為

?2????(x?(t0),y?(t0),z?(t0))?(1?cost0,sint0,2cos(t02))?(1,1,2).由此得到切線方程和法平面方程分別為

?z?22?:x??1?y?1?;22數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

??:(x??1)?(y?1)?2(z?22)?0,2?即x?y?2z??4.2繪制上述空間曲線的程序與所得圖形:

symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);

ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])

x?t?sint,y?1?cost,z?4sin(t2).t??2?t?0t??2???t?2??數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

例4求曲線

L:x?y?z?50,x?y?z222222在點P0(3,4,5)處的切線與法平面.

解曲線L是一球面與一圓錐面的交線.令

F(x,y,z)?x?y?z?50,G(x,y,z)?x?y?z.222222根據(jù)公式(6)與(7),需先求出切向向量.為此計算F,G在點P0處的雅可比矩陣:

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

?Fx?G??xFyGyFz??x??2?Gz?P?0?xz??6810???.??y?z?P0?68?10?y由此得到所需的雅可比行列式:

68Jxy(P0)??0,68810Jyz(P0)???160,8?10106Jzx(P0)??120.?106數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社

§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

故切向向量為

??(?160,120,0)∥(?4,3,0),據(jù)此求得

?y?4?x?3?,?3x?4y?25?0,?即?3切線:??4z?5;??z?5?0,?法平面:?4(x?3)?3(y?4)?0?(z?5)?0,即?4x?3y?0(平行于z軸).數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

曲面的切平面與法線

以前知道,當(dāng)f為可微函數(shù)時,曲面z=f(x,y)在點P0(x0,y0,z0)處的切平面為

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面

z?z0?fx(P0)(x?x0)?fy(P0)(y?y0).現(xiàn)在的新問題是:曲面S由方程

F(x,y,z)?0(8)給出.若點P0(x0,y0,z0)?S,F(x,y,z)在P0近旁具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),而且

(Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0))?(0,0,0),數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社(9)§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面

不妨設(shè)Fz(P0)?0,則由方程(8)在點P0近旁惟一地確定了連續(xù)可微的隱函數(shù)z?f(x,y).由于

Fy(P0)Fx(P0)fx(P0)??,fy(P0)??,Fz(P0)Fz(P0)所以S在P0處的切平面為

Fy(P0)Fx(P0)z?z0??(x?x0)?(y?y0).Fz(P0)Fz(P0)又因(9)式中非零元素的不指定性,故切平面方程

一般應(yīng)寫成

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面

Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0.隨之又得到所求的法線方程為

??(10)x?x0y?y0z?z0??.Fx(P0)Fy(P0)Fz(P0)(11)回想1現(xiàn)在知道,函數(shù)F(x,y,z)在點P的梯度

???gradF(P)?Fx(P)i?Fy(P)j?Fz(P)k,其實就是等值面F(x,y,z)?c在點P的法向量:

?n?(Fx(P),Fy(P),Fz(P)).數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面

回想2若把由(5)表示的空間曲線L看作兩曲面

F(x,y,z)?0和G(x,y,z)?0的交線(圖18－9),則L

在P0的切線與此二曲

G(x,y,z)?0?n1P0面在P0的法線都相垂而這兩條法線的直.

方向向量分別是?n1?(Fx,Fy,Fz)P,0?n2?(Gx,Gy,Gz)P,0??LF(x,y,z)?0?n2圖18－9

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社

§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

(12)式中三個函數(shù)在P0近旁都存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).由于S在P0處的法線必垂直于S上過P0的任意兩條曲線在P0的切線,所以只需在S上取兩條特

?n(u?u0)?(v?v0)?P0殊的曲線(見圖18－10):?1?2S圖18－10x?x(u,v0),y?y(u,v0),z?z(u,v0)和x?x(u0,v),y?y(u0,v),z?z(u0,v),它們的切向量分別為???1?(xu,yu,zu)(u0,v0),?2?(xv,yv,zv)(u0,v0),則所求的法向量為

數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用高等教育出版社§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

??(y,z)?(z,x)?(x,y)????n??1??2??,,.???(u,v)?(u,v)?(u,v)?(u0,v0)至此,不難寫出切平面方程和法線方程分別為

x?x0xu(u0,v0)xv(u0,v0)y?y0z?z0yu(u0,v0)zu(u0,v0)?0,yv(u0,v0)zv(u0,v0)x?x0?(y,z)?(u,v)(u0,v0)?y?y0?(z,x)?(u,v)(u0,v0),(u0,v0)?z?z0?(x,y)?(u,v)(u0,v0).?1?(xu,yu,zu)高等教育出版社??2?(xv,yv,zv)?(u0,v0),數(shù)學(xué)分析第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用§3幾何應(yīng)用

平面曲線的切線

與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線

用參數(shù)方程表示的曲面

例7設(shè)曲面的參數(shù)方程為

2233x?u?v,y?u?v,z?u?v.試對此曲面的切平面作出探討.

(13)解先計算在點P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))處的法向

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