2023版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七章勾股定理試題(新版)新人教版

第十七章勾股定理1.在非直角三角形中作輔助線(xiàn)的方法(1)作高(垂線(xiàn))法:解一般三角形的問(wèn)題常常通過(guò)作高或作某一邊的垂線(xiàn)段,轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用勾股定理計(jì)算或證明.【例1】在△ABC中,AB=25,AC=4,BC=2,以AB為邊向△ABC外作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線(xiàn)段CD的長(zhǎng).【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵AC=4,BC=2,AB=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB為直角三角形,∠ACB=90°.分三種情況:情況1:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB,垂足為點(diǎn)E.易證△ACB≌△BED,易求CD=210;情況2:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CA,垂足為點(diǎn)E.易證△ACB≌△DEA,易求CD=213;情況3:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為點(diǎn)F.易證△AFD≌△DEB,易求CD=32.(2)根據(jù)圖形特點(diǎn)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形法:有些幾何圖形,比如四邊形,本身就具備直角的已知條件,但沒(méi)有直角三角形,此時(shí)要根據(jù)圖形特點(diǎn)巧構(gòu)直角三角形【例2】如圖,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四邊形ABCD的面積.【標(biāo)準(zhǔn)解答】延長(zhǎng)AD,BC交于E點(diǎn),如圖.∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,則BE=AE2-∵DE=CE2-∴四邊形ABCD的面積=△ABE的面積-△CDE的面積=63.△ABC中,AB=4,BC=3,∠BAC=30°,則△ABC的面積為.

2.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想處理問(wèn)題(1)分類(lèi)討論思想:在一些求值計(jì)算中,有些題目沒(méi)有給出圖形,當(dāng)畫(huà)出符合題意的圖形不唯一時(shí),要注意分情況進(jìn)行討論,避免漏解.【例1】已知三角形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為20cm和30cm.第三邊上的高為10cm,則此三角形的面積為cm2.

【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)AB=20cm,AC=30cm,AD=10cm有兩種情況:一種在直角三角形ABD中利用勾股定理得BD=AB2-AD同理解得CD=202cm,則三角形ABC的面積=12×BC×=12×103+202×10=(1002+50二種:在直角三角形ABD中,BD=AB2-AD在直角三角形ACD中,CD=AC2-AD則BC=(202-103)cm,所以三角形ABC的面積為(1002-503)cm2.答案:(1002+503)或(1002-503)(2)方程思想:勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式,求線(xiàn)段的長(zhǎng)時(shí)可由此列出方程,運(yùn)用方程思想分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,以便簡(jiǎn)化求解.【例2】如圖,長(zhǎng)方形ABCD沿著對(duì)角線(xiàn)BD折疊,使點(diǎn)C落在C′處,BC′交AD于點(diǎn)E,AD=8,AB=4,則DE的長(zhǎng)為.

【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵∠CBD=∠DBE,∠CBD=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.設(shè)DE的長(zhǎng)為x,則AE=8-x,在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即42+(8-x)2=x2,解得:x=5.答案:51.已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別是3和4,則第三邊的長(zhǎng)為.

2.長(zhǎng)方形紙片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是邊BC上的點(diǎn),以AE為折痕折疊紙片,使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為.

3.折疊問(wèn)題及最短路徑問(wèn)題幾何圖形的折疊問(wèn)題及最短路徑問(wèn)題是當(dāng)前中考的熱點(diǎn),這兩類(lèi)問(wèn)題都需要構(gòu)造直角三角形,借助勾股定理解決.(1)利用勾股定理解決圖形折疊問(wèn)題【例1】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn),那么△ADC′的面積是.

【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,∴AB=10cm,∵將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn),∴DC=DC′,BC=BC′=6cm,∴AC′=4cm,設(shè)DC=xcm,則AD=(8-x)cm,在Rt△ADC′中,AD2=AC′2+C′D2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴△ADC′的面積=12×4×3=6(cm2答案:6cm2【例2】如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD中,已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為 ()A.3B.4C.5D.6【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,AD=8,∴BC=8,∵△AEF是△AEB翻折而成,∴BE=EF=3,AB=AF,△CEF是直角三角形,∴CE=8-3=5,在Rt△CEF中,CF=CE2-設(shè)AB=x,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即(x+4)2=x2+82,解得x=6.(2)最短距離問(wèn)題求立體圖形表面上兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題,關(guān)鍵是把立體圖形的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形,采用“化曲為直”的方法,利用平面上“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”的公理解題.把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解數(shù)學(xué)題的重要轉(zhuǎn)化思想之一.【例3】如圖,已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側(cè)面上,過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲,則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為 ()A.42dmB.22dmC.25dmD.45dm【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.如圖,把圓柱的側(cè)面展開(kāi),得到矩形,則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度.∵圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm,圓柱高為2dm,∴AB=2dm,BC=BC′=2dm,∴AC2=22+22=4+4=8,∴AC=22,∴這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC=42dm.1.如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合,折痕為MN,則線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為()A.53B.C.4D.52.如圖,圓柱形容器高18cm,底面周長(zhǎng)為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)已知螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為cm.

2題圖3題圖3.我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處.則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是尺.

答案解析：1.在非直角三角形中作輔助線(xiàn)的方法【跟蹤訓(xùn)練】【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形可知符合要求的△ABC共有兩個(gè)(如圖),過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,∵AB=4,∠BAC=30°,∴BD=2,AD=23,CD=32-2故AC=23-5或AC=23+5,S△ABC=12×(23-5)×2=23-或S△ABC=12×(23+5)×2=23+5答案:23-5或23+52.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想處理問(wèn)題【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】當(dāng)3,4為直角邊長(zhǎng)時(shí),則第三邊是斜邊,其長(zhǎng)為5;當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí),第三邊是直角邊,其長(zhǎng)是7.故第三邊長(zhǎng)為5或7.答案:5或72.【解析】①∠EFC=90°時(shí),如圖1,∵∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,∴點(diǎn)A,F,C共線(xiàn),∵長(zhǎng)方形ABCD的邊AD=8,∴BC=AD=8,在Rt△ABC中,AC=AB2+設(shè)BE=x,則CE=BC-BE=8-x,由翻折的性質(zhì)得,AF=AB=6,EF=BE=x,∴CF=AC-AF=10-6=4,在Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3,即BE=3;②∠CEF=90°時(shí),如圖2,由翻折的性質(zhì)得,∠AEB=∠AEF=12∴四邊形ABEF是正方形,∴BE=AB=6.綜上所述,BE的長(zhǎng)為3或6.答案:3或63.折疊問(wèn)題及最短路徑問(wèn)題【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選C.設(shè)BN=x,則依據(jù)折疊原理可得DN=AN=9-x,又D為BC的中點(diǎn),所以BD=3,在Rt△NBD中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,則有32+x2=(9-x)2,解得x=4,即BN=4