2023勾股定理全章分類練習(xí)題及答案

勾股定理測試1勾股定理(一)學(xué)習(xí)要求掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．課堂學(xué)習(xí)檢測一、填空題1．如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么______＝c2；這一定理在我國被稱為______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．(1)若a＝5，b＝12，則c＝______；(2)若c＝41，a＝40，則b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，則c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，則b＝______，c＝______．3．如圖是由邊長為1m的正方形地磚鋪設(shè)的地面示意圖，小明沿圖中所示的折線從A→B→C所走的路程為______．4．等腰直角三角形的斜邊為10，則腰長為______，斜邊上的高為______．5．在直角三角形中，一條直角邊為11cm，另兩邊是兩個連續(xù)自然數(shù)，則此直角三角形的周長為______．二、選擇題6．Rt△ABC中，斜邊BC＝2，則AB2＋AC2＋BC2的值為()．(A)8(B)4(C)6(D)無法計算7．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC邊上的高線，DC＝2，則BD等于()．(A)4(B)6(C)8(D)8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()．(A)150cm2(B)200cm2(C)225cm2(D)無法計算三、解答題9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面積；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c邊上的高h(yuǎn)c；(5)若a、b、c為連續(xù)整數(shù)，求a＋b＋c．綜合、運用、診斷一、選擇題10．若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的值可能有()．(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個二、填空題11．如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線l的距離分別是1、2，則正方形的邊長是______．12．在直線上依次擺著7個正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答題13．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，AD＝20，求BC的長．拓展、探究、思考14．如圖，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形(如圖①)，探究S1＋S2與S3的關(guān)系；圖①(2)以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形(如圖②)，探究S1＋S2與S3的關(guān)系；圖②(3)以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓(如圖③)，探究S1＋S2與S3的關(guān)系．圖③測試2勾股定理(二)學(xué)習(xí)要求掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．課堂學(xué)習(xí)檢測一、填空題1．若一個直角三角形的兩邊長分別為12和5，則此三角形的第三邊長為______．2．甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，此時甲、乙兩人相距______km．3．如圖，有一塊長方形花圃，有少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了______m路，卻踩傷了花草．3題圖4．如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛______m．4題圖二、選擇題5．如圖，一棵大樹被臺風(fēng)刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高()．(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如圖，從臺階的下端點B到上端點A的直線距離為()．(A)(B)(C)(D)三、解答題7．在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?8．在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?綜合、運用、診斷一、填空題9．如圖，一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為60°時，其影長AC為______米．10．如圖，有一個圓柱體，它的高為20，底面半徑為5．如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點，沿圓柱表面爬到與A相對的上底面B點，則螞蟻爬的最短路線長約為______(取3)二、解答題：11．長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了______m．12．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少需要多少米?若樓梯寬2米，地毯每平方米30元，那么這塊地毯需花多少元?拓展、探究、思考13．如圖，兩個村莊A、B在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水．鋪設(shè)水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用W．測試3勾股定理(三)學(xué)習(xí)要求熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．課堂學(xué)習(xí)檢測一、填空題1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，則AB＝______，AB邊上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，則BC邊上的高AD＝______，AC邊上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，則AC＝______，AB邊上的高CD＝______．4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，則△ABC的面積為______．5．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB邊上的高CD＝3，則AC＝______，AB＝______，BC邊上的高AE＝______．二、選擇題6．已知直角三角形的周長為，斜邊為2，則該三角形的面積是()．(A)(B)(C)(D)17．若等腰三角形兩邊長分別為4和6，則底邊上的高等于()．(A)(B)或(C)(D)或三、解答題8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別為BC和AC的中點，AD＝5，BE＝求AB的長．9．在數(shù)軸上畫出表示及的點．綜合、運用、診斷10．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延長AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的長．11．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的長．12．如圖，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的長．13．已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF．求證：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，求AC的長是多少?15．如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面積S1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，…，Sn(n為正整數(shù))，那么第8個正方形的面積S8＝______，第n個正方形的面積Sn＝______．測試4勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)要求掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．課堂學(xué)習(xí)檢測一、填空題1．如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是______三角形，我們把這個定理叫做勾股定理的______．2．在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做____________；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的____________．3．分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有____________．(填序號)4．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，①若a2＋b2＞c2，則∠c為____________；②若a2＋b2＝c2，則∠c為____________；③若a2＋b2＜c2，則∠c為____________．5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，則∠B＝____________；6．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的△ABC是______三角形．7．若一個三角形的三邊長分別為1、a、8(其中a為正整數(shù))，則以a－2、a、a＋2為邊的三角形的面積為______．8．△ABC的兩邊a，b分別為5，12，另一邊c為奇數(shù)，且a＋b＋c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為______，此三角形為______．二、選擇題9．下列線段不能組成直角三角形的是()．(A)a＝6，b＝8，c＝10(B)(C)(D)10．下面各選項給出的是三角形中各邊的長度的平方比，其中不是直角三角形的是()．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4(C)9∶25∶26(D)25∶144∶16911．已知三角形的三邊長為n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，則此三角形()．(A)一定是等邊三角形(B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形(D)形狀無法確定綜合、運用、診斷一、解答題12．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的長．13．已知：如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四邊形ABCD的面積．14．已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE＝，求證：AF⊥FE．拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，試判定△ABC的形狀，并說明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三邊，且a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷三角形的形狀．18．觀察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?請用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律并證明，再根據(jù)規(guī)律寫出接下來的式子．參考答案第十八章勾股定理測試1勾股定理(一)1．a(chǎn)2＋b2，勾股定理．2．(1)13；(2)9；(3)2，；(4)1，．3．．4．5，5．5．132cm．6．A．7．B．8．C．9．(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)6；(5)12．10．B．11．12．4．13．14．(1)S1＋S2＝S3；(2)S1＋S2＝S3；(3)S1＋S2＝S3．測試2勾股定理(二)1．13或2．5．3．2．4．10．5．C．6．A．7．15米．8．米．9．10．25．11．12．7米，420元．13．10萬元．提示：作A點關(guān)于CD的對稱點A′，連結(jié)A′B，與CD交點為O．測試3勾股定理(三)1．2．16，19.2．3．5，5．4．5．6，，．6．C．7．D8．提示：設(shè)BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，則k2＋4m2＝40，4k2＋m2＝25．AB＝9．圖略．10．BD＝5．提示：設(shè)BD＝x，則CD＝30－x．在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理列出(30－x)2＝(x＋10)2＋202，解得x＝5．11．BE＝5．提示：設(shè)BE＝x，則DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴32＋(9－x)2＝x2．解得x＝5．12．EC＝3cm．提示：設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．13．提示：延長FD到M使DM＝DF，連結(jié)AM，EM．14．提示：過A，C分別作l3的垂線，垂足分別為M，N，則易得△AMB≌△BNC，則15．128，2n－1．測試4勾股定理的逆定理1．直角，逆定理．2．互逆命題，逆命題．3．(1)(2)(3)．4．①銳角；②直角；③鈍角．5．90°．6．直角．7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．9．D．10．C．11．C．12．CD＝9．13．14．提示：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長為4a，計算得出AF，EF，AE的長，由AF2＋EF2＝AE2得結(jié)論．15．南偏東30°．16．直角三角形．提示：原式變?yōu)?a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可變形為(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n為整數(shù))第十八章勾股定理全章測試一、填空題1．若一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形中最短邊上的高為______．2．若等邊三角形的邊長為2，則它的面積為______．3．如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個小正方形的面積的和是10cm2，則其中最大的正方形的邊長為______cm．3題圖4．如圖，B，C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，則點A到岸邊BC的距離是______米．4題圖5．已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D，E，F(xiàn)分別是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于______cm．5題圖6．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB＝6，BC＝8，將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD＝______．6題圖7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB邊上的高CD＝5，則BC＝______．8．如圖，AB＝5，AC＝3，BC邊上的中線AD＝2，則△ABC的面積為______．8題圖二、選擇題9．下列三角形中，是直角三角形的是()(A)三角形的三邊滿足關(guān)系a＋b＝c(B)三角形的三邊比為1∶2∶3(C)三角形的一邊等于另一邊的一半(D)三角形的三邊為9，40，4110．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()．10題圖(A)450a元(B)225a元(C)150a元(D)300a元11．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝()．(A)2(B)3(C)(D)12．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝13，CD＝6，則AC＋BC等于()．(A)5(B)(C)(D)三、解答題13．已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的長．14．如圖，已知一塊四邊形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求這塊草地的面積．15．△ABC中，AB＝AC＝4，點P在BC邊上運動，猜想AP2＋PB·PC的值是否隨點P位置的變化而變化，并證明你的猜想．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，求BC．17．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?18．如圖所示，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長都為3，另一種紙片的兩條直角邊長分別為1和3．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．圖1圖2圖3(1)請用三種方法(拼出的兩個圖形只要不全等就認(rèn)為是不同的拼法)將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形(非矩形)，每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上(要求：所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡)；(2)三種